XI. ‘of

Substituant les nombres — 1, — 10, — etc.

re) 1, 10, etc.

- on trouve

x: d'A Nr Sd X (— 10)... + — + — + (—1) + — + — — (o) SH DE 01 40 (1) OO + + + +

Toutes les racines doivent être cherchées entre — ro et 1, parce que. la suite (—-10) n'a que des changements de signe, et que la suite (1) n’a que des permanences de signe.

1° En formant, selon la règle énoncée article 31, la série des indices entre les limites -—10 et —1,ona

(— 10)... + — + — + ONU ATLMIU AT (—1). + — + — —

Dans cette série 0 0 0 0 1, le dernier indice est 1 : donc l'équation a une seule racine réelle entre les limites — 10 et — 1. Cette racine est séparée de toutes les autres.

29 En comparant les deux suites (— 1) et (o), on voit que cet intervalle est un de ceux où l’on ne doit chercher aucune racine, parce que les deux suites ont le même nombre de changements de signe, Si l'on formait pour ces deux suites la série des indices, on trouverait

(— 1) 0 + — + — — ORON ORLRD (oO)... + — + + —,;

il s'ensuit que l'intervalle ne peut contenir aucune racine. 3° Les deux suites (o) et (1) donnent pour la série des indices

XX KE NOK (oO)... + — + + — 24 6 8 Le 4 Où | As 0 SN (1) RÉRET OEM 24 18 14 10 T

Il s’agit de procéder à la séparation de ces racines, et de reconnaître si elles sont toutes les trois réelles, ou si deux sont imaginaires. On parcourra la série des mdices de droite à gauche , depuis le dernier terme 3 jusqu’à ce l’on trouve pour la première fois l'indice 1 : on le trouve sous la fonction X””. Cet indice est suivi de 2, ce qui à lieu nécessairement; et comme il est précédé de o, on

voit que la condition des trois indices consécutifs o 1 2 est satisfaite. On est averti par cette condition qu’il faut procéder à l'application de la règle (article 28) pour la distinction des racines imaginaires.

Nous avons placé au-dessous des signes les valeurs numériques qui proviennent des substitutions. Les fonctions auxquelles répondent les trois indices consécutifs o 1 2 sont f (a f(x), f'(æ). On considérera, suivant la règle énoncée, les quotients

é et En sans avoir égard aux signes de ces résultats. Si l’un de ces quotients, ou si leur somme, surpasse la différence 1 des deux limites, on est assuré que deux des racines indiquées dans l’intervalle sont imaginaires. Or cette condition a lieu, puisque la différence des limites est seulement 1 : donc deux racines de l'équation proposée manquent entre les limites o et 1. On doit maintenant, comme la règle le prescrit, retrancher 2 de chaque indice à partir du dernier des trois indices consécutifs o 1 2. On formera ainsi la

nouvelle série de l'intervalle, XX: Ne NET X’ x (OS

AE

Le dernier indice de la nouvelle série étant 1, il s'ensuit que la proposée à entre o et 1 une seule racine réelle : elle est entièrement séparée des autres.

L'opération de la distinction des racines est terminée, parce qu'il n'y a maintenant aucun des intervalles partiels dont le dernier indice-ne soit ou o, ou 1. On en conclut qu'une première racine réelle est comprise — 10 et—1 , qu'une seconde racine réelle est comprise entre © et 1, et que les deux autres racines sont imaginaires.

(40) Nous déduirons de la même règle la résolution de l'équation