FEAR

Si l'on développe cette expression jusqu’au second terme seulement, on à |

FE) —6f(b—E6.....b)—0

On désigne par f(b—6....b) ce que devient la fonction f(x) lorsqu'on met au lieu de x une certaine quantité b—6....b, que l'on sait être comprise entre les valeurs extrêmes de la variable. Ces valeurs extrêmes sont b— 6 et , ou x et à. On a donc

7 Fe...)

Gt: J(È) un 001

On peut encore exprimer ainsi cette valeur de x "

On en conclut

car toute valeur comprise entre x et b est a fortiori comprise entre a et b.

I faut observer que la fonction f(x), qui est par hypothèse positive lorsque x —a et lorsque x— b, demeure constamment positive lorsqu'on donne à + une valeur quelconque comprise entre a et d ; car ce signe ne pourrait changer que si une de ces valeurs intermédiaires rendait nulle la fonction f ‘(x), ce qui est contraire à notre hypothèse. Donc la fonction f(x) conserve le signe + dans

tout l'intervalle compris entre a et b. Il en est de même de la fonction f(x), et on le démontre de la même manière. Done la fonction f(x), positive depuis x—a jusqu'à x — b, est toujours croissante dans cet intervalle, puisque sa fluxion du premier ordre, savoir f(x), est toujours positive dans ce même intervalle.

Il suit de là que parmi toutes les valeurs que recoit la fonction f(x) lorsqu'on fait varier x depuis 4 —a jusqu'à æ=—6, la plus petite est f (a) et la plus grande f”(b). Or la valeur exacte de x est ainsi exprimée,

Let ob Ta rame

Donc en remplaçant f'(a...b) par f’(b), on divisera f (b) par une quantité trop grande. On retranchera donc de & moins qu’on ne devrait retrancher pour trouver la valeur exacte de la racine: donc

FO est une quantité &’ moindre que à, et plus grande que la \

racine cherchée. Ainsi l’on a déduit de la plus grande limite une valeur D’ plus approchée de la racine que ne l'était la limite D, et

qui surpasse encore la valeur de cette racine.

(7) On peut aussi employer la moindre limite pour trouver une valeur plus approchée de la racine. Soit «a + x la valeur exacte de la racine x, « étant une quantité inconnue. On a l'équation

J {a na a) —O, ou, développant jusqu'au second terme seulement,

J(a)+af'(a....a+ax)=—=0.

La valeur de la variable sous le signe /” est une certaine quantité que l'on sait être comprise entre a et & + «, ou entre a etx. On a donc

et parce que toute quantité comprise entre a et x est l’une des va-

leurs comprises entre & et à, on a

ECRRMQUE, Aa. 0) Donc ee Pre) Me 14 Se EE):

11 faut remarquer que la valeur de f(a) est négative, et que celle de f'(a...b) est positive: en sorte que le second terme de l'expression de x est une quantité positive ajoutée à la limite «. On a vu précédemment que la plus grande des valeurs que l’on puisse trouver en substituant dans f’(a) une quantité comprise entre a et b est f'(b). Si donc dans la dernière expression de la valeur dex, on écrit /"(d) au lieu de f'(a...b), on rendra trop petite la quantité qui est ajoutée à la limite à. Donc la valeur exacte de x est certainement plus grande que

h AO

(8) Nous venons de déduire d’une première valeur approchée a,

moindre que la racine, une seconde valeur plus approchée que a ;

puisque, sans cesser d’être moindre que la racine +, elle est plus grande que a. Soit a' cette nouvelle valeur approchée, on aura