NAVIER

Membre de l’Académie des sciences de l’Institut.

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Livs philosophes d'Alexandrie ont connu quelques éléments d'un art qui a pour objet la grandeur mesurable, et qui consiste à suppléer aux opérations de l'esprit par la combinaison régulière d'un petit nombre de signes. Cet art a pris un grand essor chez les nations modernes ; il est devenu l'analyse mathématique, science sublime, qui, en nous découvrant les lois générales du mouvement et celles de la chaleur, explique tous les grands phénomènes de l'univers, et qui éclaire la société civile dans ses usages les plus importants.

La théorie des équations déterminées, principal fondement de cette science analytique, a été long-temps arrêtée dans ses progrès par des difficultés capitales que l'on peut résoudre aujourd'hui. C'est le but que je me suis proposé dans cet ouvrage ; il est le fruit d'un long travail entrepris dès ma première jeunesse, et que les soins les plus divers n'ont pour ainsi dire jamais interrompu.

La recherche des racines des équations est la question. principale de la théorie. Je me suis attaché à traiter complètement cette question , et je l'ai résolue par une méthode

exacte et générale dont l'application est toujours facile et s'étend à toutes les fonctions déterminées.

Elle ne dérive point d'une vue singulière, et en quelque sorte indépendante dé$ théorèmes déja connus; au contraire, elle rappelle et emprunte tous ces éléments; elle montre les rapports qu'ils ont entre eux et en développe les conséquences les plus éloignées.

Les découvertes capitales qui ont fondé l'analyse algébrique sont les théorèmes de François Viete sur la composition des coefficierits ; la règle que Déscartes a donnée dans’ sa Géométrie concernant le‘rnombre dés racines positives ou négatives ; celle du parallèlogramme analytique due à Newton et que Lagrange à démontrée ; la méthode newtonienne des substitutions suécessives; les recherches de Waring et de Lagrange sur les fonetions invariables des racines ét sur l'équation aux différences; la théorié des fractions continues, telle qu'elle est'exphiquée dans les ouvrages de Lagrange; enfin la méthode que Daniel Bernoulli a déduite des séries récurrentes.

Nous avons rappelé ces éléments dans notre ouvrage, non pour en expliquer les principes ; qui sontconnus depuis long-temps, mais pour leur donner une extension entièrement nouvelle ; et résoudre toutes les questions fondamentales que les’ premiers inventeurs ‘ont considérées: Il n'y en à aucune qui n'y soit discutée avec le plus'grand soin: Il résulte de cet examen une méthode exégétique universelle qui ne laisse rien d’incértain, parce qu'elle donnedes règles faciles et usuelles pour la distinction des racines

PRÉFACE. 3 imaginaires. Le lecteur attentif pourra juger sil est vrai que ces problèmes difficiles soient tous complètement résolus,

Cesprincipes appartiennent à l'analyse générale, etnotre théorie n’est point bornée aux équations algébriques; elle résoud toutes les équations déterminées.

Les ‘questions les plus importantes de la philosophie naturelle, comme celles qui ont pour objet d'exprimer les dernières oscillations des corps, ou les conditions de la stabilité du système solaire, ou divers mouvements des fluides, ou enfin les lois mathématiques de la chaleur, exigent une connaissance approfondie de la théorie des équations.

J'indiquerai maintenant l'ordre que l'on a suivi dans la composition et la rédaction. |

Les éléments de la science sont exposés clairement dans plusieurs ouvrages qui ont rendu cette étude facile et commune. Je suppose ici que les théorèmes principaux sont connus du lecteur; Je Les ai rapportés dans l'Introduction. Je présente sous ce titre l'indication historique dessources principales, avec l'énoncé exact et précis de toutes les propositions qu'il est nécessaire de se rappeler très-distinctement avant de lire ce traité. Cette énumération marque | le point dont jesuis parti; toutes les recherches suivantes sont nouvelles.

Parmi ces propositions élémentaires qui forment dl'introduction , j'ai compris quelques théorèmes très-simples de l'analyse appelée infinitésimale. On ne peut faire aucun

r PRÉFACE.

progrès considérable dans la théorie des équations, sans quelqu'usage de l'analyse différentielle, ou, ce qui est la” même chose, de la méthode des fluxions. Les sciences n'admettent pas toujours l’ordre contingent et pour ainsi dire fortuit qui s'est établi dans le cours des inventions. Les connaissances mathématiques les plus diverses sont toutes de la même nature, leur étude ne demande qu'une attention persévérante; on a appelé transcendantes celles qui ont été découvertes les dernières.

J'a1 conservé sans aucune innovation les dénominations usitées, afin de ne point exiger l'étude importune de notations nouvelles, qui ne sont presque jamais nécessaires. À la vérité plusieurs de ces dénominations ont été admises avant que l'on eût acquis une connaissance très-exacte des éléments. Il pourrait être utile d'y apporter quelque changement; 1l est préférable d'attendre cet avantage du progrès continuel des idées et de l'assentiment des géomêtres.

Toutes les recherches qui doivent composer cet ouvrage sont achevées depuis long-temps. On publie aujourd'hui les deux premiers livres qui contiennent ce que la théorie des équations à de plus essentiel, et forment en quelque sorte un traité distinct, La seconde partie, qui termine l’ouvrage, et dont l'étendue est à peu près égale à celle de la première, paraitra l'année suivante.

Comme les deux premiers livres ne donneraient qu'une idée incomplète de l'objet de ces recherches, il m'a paru nécessaire de présenter d'avance une Exposition synoptique

qui réunisse tous les résultats et fasse bien connaitre leurs rapports mutuels.

Une vue principale avait été indiquée par François Viete, : que l'on peut regarder comme le second inventeur de l'algèbre. Harriot, Oughtred, Wallis et Newton l'avaient adoptée ; mais on s'en est écarté, et l'on a suivi une route trés-différente, nécessairement bornée, et qui n'aboutit qu'à des recherches purement curieuses, sans quon ait pu résoudré une seule des difficultés qu'elles présentaient. Je propose aujourd'hui de ramener la science à des principes plus simples et plus féconds qui se lient à tous les éléments déja connus, et contribueront certainement aux progrès des autres branches de l'Analyse mathématique.

Paris, 1829.

JHx. FOURIER.

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(1) Nous avons reçu des Grecs et des Arabes les premières notions de l'algèbre. Les livres de Diophante, qui sont aujourd’hui le plus ancien monument de cette science, portent tous les caractères de l'invention. L'auteur résout par une analyse ingénieuse un ordre assez étendu de questions relatives aux propriétés des nombres : la lecture de la partie de cet ouvrage qui nous a été transmise, suffit pour prouver que les règles élémentaires de l'algèbre étaient déja connues à l’école d'Alexandrie.

L’antique civilisation de l'Orient est attestée par les productions admirables des arts; mais l'histoire n’a conservé qu'un souvenir confus de ces temps qui ont précédé de plusieurs siècles les origines fabuleuses de la Grèce.

Les principes de l'algèbre indienne, tels qu'on en trouve quelques vestiges, ont-ils été communiqués aux Arabes, aux Perses, et ensuite à l'Europe, ou plutôt les géomètres grecs ne sont-ils pas les vrais et seuls inventeurs? Le défaut de monuments ne permet plus de résoudre entièrement cette question. Quoi qu'il en soit, les théories fort étendues dont la science analytique se compose maintenant sont toutes l'ouvrage des modernes.

Léonard Bonacci de Pise a écrit vers RAP 11 20 À au retour de ses voyages en Grèceeten Asie, le premier traité de cette science qui ait paru dans l'Occident. Celui de Luc Paciolo fut publié au commencement du XVIe siècle, époque à Jamais mémorable dans l'histoire de l’Europe. Scipion Ferrei parvint à résoudre les équations du 3° degré, ou plutôt il en donna une transformation i ingénieuse

et inattendue. T'artaglia, Cardan et ensuite Raphaël Bombelli renouvelèrent ou répandirent cette découverte. Louis Ferrari de Bologne découvritunesolution du mêmegenre pour les équations du 4° degré. Ces formules ne conduisirent point à la résolution des équations supérieures, et même pour le 3e et le 4° degré elles sont inapplicables dans un grand nombre de cas. On n'avait résolu complètement par un moyen semblable que les équations du second degré; la formule très-simple qui donne cette solution était connue dès l'origine de l'algèbre.

François Viète, l’un des plusillustres fondateurs des sciences mathématiques , considéra sous un point de vue beaucoup plus général la question de la résolution des équations. Il entreprit de découvrir une méthode exégétique propre à déterminer les valeurs effectives des inconnues, et fonda ses recherches sur les vrais principes du calcul algébrique. Mais on ne pouvait point alors former cette méthode parce qu’elle exige quelque connaissance de l'analyse différentielle. |

Viète remarqua le premier la composition des coefficients , ce qui est l'origine de la théorie deséquations. Il fit connaître toute l'étendue des formules de l'algèbre, et il en découvrit de nouvelles applications, en sorte qu’on peut le regarder comme le second inventeur de cette science. |

Harriot, Oughtred, Wallis suivirent la doctrine de Viète, et le premier de ces géomètres donna aux équations une forme générale que l’on a conservée. |

Descartes exprima par des équations les propriétés des lignes courbes, et fonda ainsi l'analyse générale des fonctions, qui devait bientôt s'appliquer aux plus grands phénomènes de l'univers. Il enrichit l'algébre d'une heureuse découverte, celle qui exprime les rapports singuliers du nombre des racines positives ou négatives avec les signes des coefficients. Wallis, l’un des plus ingénieux promoteurs de l’analyse moderne, mais historien partial, a fait d'inutiles efforts pour attribuer l'invention de cette règle des signes à Harriot son compatriote.

L'algèbre proprement dite a reçu de Newton deux méthodes capitales: l'une est celle que l’on a désignée sous le nom de parallélogramme analytique; elle fut annoncée en 1676 à Leibnitz, qui en désira la communication. Cette règle, dont Lagrange a donné une démonstration analytique, et que Laplace a étendue à un autre ordre de questions, avait eu pour objet la formation des séries; mais elle appartient surtout à l'algèbre, comme un de ses éléments principaux. C'est une des branches de la résolution exégétique que Viète avait en vue. La seconde méthode algébrique due à Newton est celle des substitutions successives; elle s'applique à toutes les parties de l'analyse mathématique.

Albert Girard, qui écrivait en Hollande, a connu le premier les propositions qui expriment la somme des puissances entières des racines. Newton donna ces théorèmes dans son Arithmétique universelle, et il en indique l'usage pour trouver la valeur approchée de l’une des racines. C’est en quelque sorte l'origine de la méthode des séries récurrentes , que Daniel Bernoulli a déduite d’autres principes , et qui a été clairement exposée et discutée dans les ouvrages d’Euler et de Lagrange. Ces propriétés des séries récurrentes forment une des principales théories algébriques.

Les règles d'élimination, et les théorèmes relatifs aux fonctions des racines, sont les conséquences générales des remarques de Viète et d'Albert Girard sur la composition des coefficients. Les propositions de ce genre ne conduisent point à une méthode applicable qui ferait connaître effectivement les racines ; mais elles expriment des rapports théoriques très-importants.

Hudde d'Amsterdam a découvert les propriétés des racines égales. Ces théorèmes, qui ont été connus avant la méthode différentielle, et qui toutefois dérivent des mêmes principes, forment un élément simple et nécessaire de l'analyse algébrique.

Je ne rappellerai point les tentatives multipliées, qui ont eu pour objet de réduire en formules analogues à celles de Cardan les racines des équations de tous les degrés. Cette recherche aurait pour objet de trouver toutes les racines d’une équation par un nombre

limité d'opérations simples, dont la nature ést déterminée d'avance, et dont aucune ne peut donner plus de deux valeurs réelles différentes. On n'obtient ainsi que des transformations très-compliquées , où la vérité que l'on cherche est beaucoup plus cachée qu’elle ne l'était dans l'équation elle-même. Le temps, et pour ainsi dire l'espace, manqueraient bientôt à l'analyste pour effectuer de tels calculs, si le degré de l'équation était élevé. Les vues de Leibnitz et de Thschirnhausen sur ce genre de questions n'ont pu être réalisées. Les ouvrages de Lagrange, de Vandermonde et de quelques-uns de leurs successeurs , ont assez fait connaître les limites de cette recherche. |

De Gua, del’ Académie des Sciences de Paris,a considéréles courbes paraboliques qui rendent si manifestes plusieurs propriétés Importantes des équations, et il a donné une proposition remarquable sur la nature des racines. |

Rolle inventa une règle pour trouver les limites des racines, en diminuant successivement d’une unité le degré de l'équation. Cette méthode, quoique imparfaite, conduit dans plusieurs cas à la connaissance des limites, et elle n’est autre chose qu'une application très-simple de l'analyse différentielle, dont Rolle refusait d'admettre les principes. Au reste cette tentative n'eut aucune suite, parce que l'inventeur ne put surmonter l'obstacle principal qui avait arrêté tous les analystes précédents, et qui consistait à distinguer avec certitude les racines imaginaires. La règle que Newton a proposée, à limitation de celle de Descartes, pour énumérer ces racines, n'est point suffisante, et l'inventeur en reconnaissait l’imperfection ; elle atteste seulement la difficulté de la question. Lagrange et Waring parvinrent à la résoudre au moyen de l'équation qui exprime la plus petite différence des racines de la proposée; mais cette solution est seulement théorique, l'application en serait impraticable si le degré de l'équation était un peu élevé. |

L'un des plus célèbres géomètres de l'Académie des Sciences de Paris, Fontaine, avait proposé une méthode générale pour reconnaître la nature des racines des équations. Une discussion appro-

fondie de cette méthode a montré l’imperfection inévitable à laquelle elle est sujette, et les recherches ultérieures ont confirmé le Jugement qui en a été porté par D’Alembert et Lagrange.

J'ai cité dans des Mémoires précédents, et j'aurai occasion d’indiquer dans le cours de cet ouvrage, les recherches plus récentes qui ont été publiées sur la résolution des équations numériques. Quant à l'usage des fractions continues pour l’expression des racines, ce procédé n’est pas un élément essentiel de l'algèbre; il peut être remplacé par un mode quelconque de développement arithmétique.

Je me suis proposé dans l'énumération précédente de rappeler l'origine et les progrès de l'algèbre, en indiquant toutes les sources principales de l’histoire de cette science; et je viens d'exprimer le plus distinctement qu'il m'a été possible le caractère de chaque découverte.

(2) L'ouvrage que je publie a pour objet l'examen de toutes les questions fondamentales de l'analyse algébrique. Les deux premiers livres concernent la résolution numérique des équations, et l’on y trouvera uue solution complète et facile de ce problème célèbre.

Dans les deux livres suivants, on a eu pour but de généraliser les premières recherches, et de résoudre aussi par une méthode exégétique du même genre les équations littérales qui contiennent une ou plusieurs inconnues.

J'ai traité, dans divers Mémoires lus à l’Institut de France, d’autres questions qu'il importait d'examiner pour donner plus d’étendue à l'analyse algébrique.

1° On a démontré dans ces Mémoires que l'emploi des séries récurrentes n'est point borné au calcul de certaines racines réelles, et qu'il s'applique à toutes les racines ou réelles ou imaginaires, et en général à chacun des coefficients des facteurs composés de tous les ordres.

2° On a exposé les principes de l'analyse des inégalités , et des applications variées de cette analyse, qui se lie à celle des probabilités.

Ces recherches sur les séries récurrentes et sur les inégalités,

appartiennent aussi aux théories algébriques: je les ai comprises dans ce traité, parce qu'elles servent à fonder les conséquences principales. Je pense que cet ouvrage contribuera à fixer les éléments généraux de l'analyse des équations , en donnant à cette analyse une forme nouvelle qu'elle conservera toujours.

La résolution des équations numériques a été l’objet d’un traité spécial publié par Lagrange, et connu de tous les géomètres. L'i]lustre auteur a eu principalement en vue, dans cet ouvrage, d'exposer de nouveau et de perfectionner la méthode qu'il avait donnée dans lerecueil des Mémoires de l’Académie de Berlin , années 1767 et 1768. Les notes qu'il a jointes à ce traité présentent aussi une discussion très-ingénieuse et très-claire de diverses autres questions algébriques. La méthode que j'ai suivieest fondée sur d’autres principes. J'ai donné dans des Mémoires précédents (Société Philomatique, année 1820, pag. 156 et 181) la substance de cette méthode. Je reproduirai ici l'ensemble des propositions, avec toutes les démonstrations et les développements nécessaires.

On rappellera d’abord quelques définitions et l'énoncé de plusieurs théorèmes fondamentaux, dont la démonstration se trouve dans tous les traités généraux. J'ai supposé la connaissance de ces éléments , et je vais en rapporter l'énoncé en faisant connaître distinctement le sens que j'attache aux définitions communes, et aux propositions déja établies.

(3)Nous considérons une équation algébrique dela forme suivante :

LUE ART LE D QE, 05 ON 0 0 3 ( ) (m)

L'exposant m est entier, et les coefficients &,,a,,4,,...@, sont des nombres donnés positifs ou négatifs. Nous désignons par X ou fx le premier membre de cette équation. X est une fonction algébrique et entière de x; elle indique une suite d'opérations élémentaires que l’on pourrait effectuer sur la variable x : la forme de ces opérations est parfaitement connue, et le nombre en est limité.

Si un nombre & substitué au lieu de x dans la fonction algébrique fx donne zéro pour résultat, on appelle ce nombre « une racine de

l'équation proposée; et dans ce cas le premier membre fx est exactement divisible par æ— à.

Une équation peut avoir plusieurs racines différentes &,6,y...: ces racines correspondent à autant de facteurs du premier degré Z—x,x—6,x—7y...;le premier membre fx est divisible par chacun de ces facteurs et par leur produit.

Si les coefficients à,, &,, a;,...a, dela proposée ne sont point des nombres, mais s'ils contiennent des lettres a, b, c, etc. qui représentent des grandeurs connues, en sorte que ces coefficients soient

formés d’une somme de termes tels que Ha? 67, l'équation est appelée littérale: p, q sont des exposants numériques donnés, positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires, et les coefficients H sont aussi des nombres connus. La résolution de l'équation littérale consiste

à trouver pour x un polynome formé de termes tels que H! a? 87, qui, substitué à la place de x, réduise à zéro le premier membre de l'équation.

Les opérations qui servent à extraire la racine carrée ou cubique, ou la racine d’un degré quelconque d’un nombre donné A ou d’une quantité littérale À, sont connues depuis long-temps; on en exprime

le résultat par le radical VA. Les premiers inventeurs de l'algèbre ayant résolu les équations du second degré par l'emploi du radical

VA, on s’est long-temps proposé de résoudre les équations algébriques de tous les degrés par un procédé analogue, c’est-à-dire au moyen des seules opérations exprimées par les signes radicaux. Considérée sous ce point de vue, la résolution consisterait à assigner pour une équation proposée d’un degré quelconque un nombre limité d'opérations, tellement ordonnées que le résultat de la dermère füt une des racines, en n’admettant au nombre de ces opérations à effectuer que les règles élémentaires du calcul, et celles qui sont indiquées par les signes radicaux.

Quelques auteurs ont appelé résolution générale des équations celle qui exprimerait ainsi les valeurs des racines au moyen d'un

nombre fini de radicaux, ce qui est très-facile pour les équations du second degré. |

On a trouvé aussi des formules de ce genre pour les équations du troisième et du quatrième degré; mais on a reconnu ensuite que ces transformations ne sont point propres à donner effectivement les valeurs des racines numériques ou littérales, et qu’au contraire elles s'écartent beaucoup du but réel que l’on se propose, qui est de conpaître en nombres , ou en une suite de monomes, les valeurs des racines. Nous prouverons dans le cours de cet ouvrage que l’on parvient facilement à trouver ces valeurs par des opérations spéciales effectuées sur tous les coefficients à la fois, et qui ne consistent point à combiner entre elles un certain nombre d’extractions de racines. Les formules qui résultent de ces combinaisons ne font point connaître les racines cherchées. En effet si ces racines sont des nombres ou entiers Ou irrationnels, on ne trouve pas ces nombres, mais des expressions très-complexes dans lesquelles on ne reconnaîtrait point les valeurs des racines: on peut seulement prouver que les valeurs inconnues équivalent à ces expressions: développées; la valeur cherchée recoit une forme singulière où elle est plus cachée que dans l'équation qu'il fallait résoudre. Toutes les fois qu'une équation d'un degré quelconque a plus de deux racines réelles , on est assuré que toutes les racines se présenteraient sous la forme des quantités imaginaires , etil faut une démonstration pour prouver qu’elles sont réelles. Si la racine cherchée est un polynome fini, comme serait a —b® + a, l'expression en radicaux ne donnerait point ce polynome, elle ne ferait connaître les racines que si l'équation est du second degré. Proposer de résoudre ainsi une équation élevée, c’est assigner d'avance certaines opérations que l’on a voulu choisir, savoir celles qui servent à extraire les racines carrées, cubiques, quatrièmes, etc., et demander dans quel ordre il faut effectuer un nombre limité de telles opérations, en sorte que le résultat de la dernière donne toutes les racines, On présuppose ce qui est inconnu, savoir la nature du calcul qui doit donner ces racines. L’analogie du second degré est trop incomplète pour fonder ce jugement a priorë

INTRODUCTION. 15 sur l'espèce des opérations. Il était même assez facile de prévoir qu'un nombre limité d’extractions de racines de divers ordres ne peut pas conduire à la connaissance effective des valeurs cherchées, car il n'y à aucune extraction de racine qui donne en nombres réels plus de deux valeurs différentes, et l’on ne voit pas comment il serait possible qu’en effectuant un nombre fini de ces opérations , on arrivat à une dernière qui donnerait un nombre impair de valeurs différentes.

Quoique cette remarque ne forme point une démonstration régulière de l'impossibilité de la solution, elle suffirait pour avertir de l’inutilité de la recherche, qui présente en effet une sorte de contradiction ; aussi est-il arrivé que l’on n'a pu trouver une expression réelle des racines de l'équation du troisième-degré, lorsque l'équa-. tion a plus de deux racines réelles. De là on peut conclure qu'il en serait de même de l'équation générale du quatrième degré, et des degrés supérieurs ; car si l’on pouvait trouver en général pour ces équations plus de deux racines réelles, la difficulté inhérente au troisième degré ne subsisterait pas. Il est manifeste qu'en présupposant la nature des opérations, dont on demande un nombre fini, on imprime à la recherche un caractère trop particulier. Si la perfection de l'analyse algébrique exigeait une telle solution, il faudrait renoncer à connaître les racines des équations, et la science, ainsi bornée dès son origine, ne pourrait faire aucun progrès: mais nous prouverons par la suite que la marche de cette science est à la fois plus assurée et incomparablement plus simple.

En effet on reconnaîtra qu’il est facile de découvrir toutes les racines par une méthode générale de son propre genre, qui n'est point une combinaison des règles élémentaires des extractions de racines, mais qui dépend du calcul simultané de tous les coefficients de la proposée. Si les racines sont des nombres finis, l'opération s'arrête d'elle-même, et donne ces nombres. Si ces racines sont irrationnelles, on les détermine aussi exactement qu'on le veut. Lorsque l'équation est littérale, et que les racines sont des poly-

:é INTRODUCTION.

nomes finis, on trouve immédiatement ces polynomes, non par une suite d'essais incertains, comme on l’a proposé autrefois dans l'Arithmétique universelle et d'autres ouvrages, mais par une opération régulière et facile dont la marche est toujours la même. Si les racines ne peuvent être exprimées par un nombre fini de termes, on trouve successivement toutes les parties des racines, c’est-à-dire des suites de monomes dont chacune étant substituée par ordre dans le premier membre rend tous les termes nuls. La lecture de notre ouvrage ne laissera aucun doute sur la vérité de ces conséquences. Lorsque les grandeurs inconnues sont exprimées par plusieurs équations, par exemple si l’on propose deux équations algébriques pour déterminer x et y qui entrent dans chacune des équations , la résolution a pour objet de trouver deux valeurs de + et y qui, substituées ensemble dans chaque équation, en réduisent le premier membre à zéro. Ces valeurs doivent être exprimées, soit en nom-

bres , soit par des suites de monomes tels que Ha?” 67... , selon que les équations sont nu mériques ou littérales ; et il s’agit de déterminer tous les systèmes possibles de deux valeurs de x et y propres à satisfaire aux équations proposées. La même question s'applique aux équations qui contiennent troisinconnues, ou un plus grand nombre.

On a déduit des propriétés des lignes trigonométriques une résolution des équations des premiers degrés, beaucoup plus claire et plus utile que celle qui dépendrait de la combinaison des signes radicaux ; et c’est encore dans les ouvrages de Viète que l’on trouve l'origine de ce procédé. Mais on ne parvient pas par cette voie. à une résolution générale des équations.

(4) Nous traiterons dans les deux premiers livres des équations à une seule inconnue, et dont les coefficients sont des nombres donnés.

Les nombres inconnus &, 6, y. dontchacun aurait la propriété de réduire à zéro le premier membre de l'équation X— 0, sont appelés racines réelles de l'équation. Le nombre des racines réelles ne peut pas être plus grand que le degré m de l'équation , mais il peut être

moindre ; et lorsque cela arrive, on nomme imaginaires ces racines déficientes , en sorte que le nombre total des racines réelles ou imaginaires d'une équation du degré m est toujours égal à m.

Il y a des équations qui n'ont aucune racine réelle, parce qu'il n'existe aucun nombre «, tel que le premier membre X puisse être rendu nul en donnant à æ une valeur subsistante «; ou, ce qui est la même chose, qui soit divisible par x— x. Mais quels que soient les coefficients &,, a,, a;,...a, de la fonction algébrique fx, on peut toujours trouver deux nombres positifs ou négatifs y et v, tels que la fonction fx soit exactement divisible par le facteur du second degré 2° + ux + v.

On à remarqué depuis long-temps , et ensuite on a démontré cette proposition fondamentale. Ainsi la fonction X peut toujours être considérée comme égale au produit (4° + x + v) Fx: on désigne ici par F x une autre fonction algébrique.

Si l'équation du second degré #° + ux + v—o a deux racines réelles « et 6, en sorte que le facteur x° + y x + v soit le produit (æ — x) (æ— 6), les nombres « et 6 sont aussi des racines réelles de la proposée X —o. Il peut arriver qu'il n’y ait aucun nombre qui réduise à zéro le facteur du second degré x° + px + v: ce eas est celui des racines imaginaires.

On regarde ces racines imaginaires de l'équation æ° + x +—o comme appartenant à l'équation X —o. Ainsi l'expression des racines imaginaires d’une équation algébrique n’est autre chose que le signe convenu d'un facteur du second degré 2° + x + qui divise le premier membre de cette équation, et qui ne peut être rendu nul par la substitution d'aucun nombre mis à la place de x. Cette distinction des racines imaginaires, et les dénominations qui lexpriment, se sont introduites dans un temps où l’on n'avait point encore acquis une connaissance complète de la nature des équations. E est certain qu’on pourrait les remplacer par des expressions plus claires ; mais il n’y aurait aucun avantage à changer aujourd’hui les dénominations usitées : il est seulement nécessaire d'en connaître: exactement le véritable sens.

(5)On peut regarder comme uneabscisse variable la quantité + qui entre dans la fonction algébrique fx , et la valeur numérique de la fonction comme l’ordonnée correspondante y. Si l’on supposait que x reçoit toutes les valeurs possibles positives ou negatives , et si l’on déterminait la forme de la courbe, on connaïîtrait distinctement la nature de la fonction fx; les points d’intersection de la courbe et de l'axe correspondraient aux racines réelles. Pour déterminer la forme de la courbe , en substituant des valeurs de x dans la fonction fx ,l faudrait attribuer à æ toutes ses valeurs successives, ce qui ne peut s'effectuer ; mais nous prouverons par la suite que l'on parvient à déterminer complètement cette forme par un nombre très-limité de substitutions. Pour cela on ne considère pas seulement la fonetion donnée fx, on considère aussi toutes celles qui en dérivent par des différentiations répétées.

Nous supposons ici que les principes et l'usage de l'analyse différentielle sont connus du lecteur. On ne pourrait point perfectionner la théorie des équations sans recourir à ces principes; la résolution complète des équations numériques doit être regardée comme une des plus importantes applications du caleul différentiel. Au reste nous indiquons expressément dans cette introduction les propositions qui dépendent de l'analyse infinitésimale, et que nous employons dans le cours de nos recherches. Ces propositions sont démontrées dans tous les traités généraux, et il faut remarquer que les procédés de ces calculs sont très-simples, et que la vérité en est pour ainsi dire manifeste lorsqu'on les applique aux foncüons algébriques qui forment les premiers membres des équations. En général , nous employons dans le cours de cet ouvrage les dénominations et notations les plus généralement reçues, et qui sont presque toutes celles que les inventeurs ont proposées. Ainsi nous conservons le signe connu d'une quantité infiniment petite, c'està-dire d’une quantité variable dont on considère une infinité de valeurs et qui devient plus petite que toute grandeur donnée. Nous désignons aussi par : une quantité infiniment grande , c'està-dire une quantité qui n’a point une valeur actuelle déterminée,

mais qui est variable et qui augmente sans limite, en sorte qu’elle devient plus grande que toute quantité donnée.

Soient fx, L fa, Lufr, LT etc., des fonctions algébriques désignées par fx, f'x,f"x,f"x, ete., et dont chacune se déduit de la précédente en différentiant par rapport à x, et divisant par dx. On substitue certains nombres dans cette suite de fonctions, et la comparaison des résultats conduit, comme nous le démontrerons bientôt, à la connaissance des racines de l'équation fx—o, et à celle des lignes courbes dont les équations sont y=fx, y—=f'x, Y=f"x, y =f"x, etc. Il ne suffirait point, pour découvrir les racines de la proposée fx— 0, de substituer certains nombres dans la fonction fx ; il est nécessaire aussi de faire ces substitutions dans les fonctions subordonnées fx, fx, fx, etc.

En substituant un nombre a à la place de x dans une fonction donnée, on connaît la valeur correspondante de la fonction qui est représentée par l’ordonnée ; mais si l’on substitue aussi ce même nombre

rs . d dl f = a dans la fonction Tz/%; ou fx, on détermine un autre caractère

de la même fonction fx ; on connaît si cette fonction tend à augmenter ou à diminuer lorsque la valeur a de l’abscisse augmente, et l'on a la mesure exacte de l'augmentation ou de la diminution virtuelle. Cette mesureest la valeur correspondante de f”a, ou de la fluxion du premier ordre ; elle est représentée dans la figure par la tangente trigonométrique de l'angle que l'élément de l'arc fait avec la parallèle à l'axe des abscisses.

On connaît de la même manière si la première fluxion tend à augmenter ou à diminuer, lorsque la valeur a de x augmente, et cette disposition à augmenter ou à diminuer est aussi une quantité mesurable : on la détermine en substituant le même nombre a dans la seconde fluxion fx. Il en est de même des fluxions de tous les ordres. | |

La quantité fx, ou f'x, est, à proprement parler , la limite du

rapport de l'accroissement de la fonction à l’accroissement corres-

pondant de la variable, et les affections des courbes rendent trèssensibles toutes les conséquences de ce genre.

La valeur de la fonction 7, ou fx , est nulle lorsqu'au point de dx

la courbe dont l'abscisse est x la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, Si cette fonction fx a une valeur positive, lordonnée - y ou fx augmente lorsque l’abscisse augmente : ainsi la ligne est ascendante. Mais si f”x a une valeur négative, l’'ordonnée diminue lorsque x augmente : la branche de la courbe est descendante.

Le signe de la valeur de la fluxion du second ordre “LS Que, fait connaître si la courbe est concave ou convexe au point dont x est l’abscisse. Si cette fonction fx a une valeur positive, la courbe est concave : elle tourne sa convexité vers la partie inférieure de la planche. Si fx a une valeur négative, la courbe est convexe: elle tourne sa convexité vers la partie supérieure de la planche. Lorsque la valeur de la fluxion du second ordre f”x est nulle, la courbe à une inflexion au point dont x est l’abscisse. Ce point d’inflexion peut, dans des cas singuliers, n'être pas apparent : en général il sépare deux arcs dont l’un est convexe et l'autre concave. Toutes ces propositions sont très-faciles à démontrer.

(6) La notion des limites était un des éléments principaux de la géométrie grecque; on en trouve pour la première fois l'usage dans la doctrine des incommensurables, et surtout dans le théorème qui sert à comparer les volumes de deux tétraèdres qui ont une base commune et des hauteurs égales. En effet on ne peut point prouver l'égalité de ces deux volumes par la superposition effective des parties, comme cela avait lieu pour les théorèmes plus anciennement connus; il est nécessaire de considérer ici une infinité de parties. Les modernes ont ensuite appliqué leur analyse à cette notion des limites, et c’est l'origine du calcul infinitésimal.

L’équation différentielle est celle qui exprime une relation entre les fonctions d’une ou de plusieurs variables, et les fluxions de divers ordres prises par rapport à certaines de ces variables. On a reconnu

que ces relations n’appartiennent pas seulement à la science abstraite du calcul: elles existent dans les propriétés des courbes et des surfaces, dans les mouvements des solides et des fluides, dans la distribution de la chaleur, et dans la plupart des phénomènes naturels. Les lois les plus générales du monde physique sont exprimées par des équations différentielles.

(7) Le premier membre d’une équation algébrique dont le degré m est un nombre pair peut toujours être décomposé en un certain nombre de facteurs du second degré, tels que æ° + px + y; les nombres y et, sont positifs ou négatifs. Si le degré m estimpair, l'équation contient de plus un facteur réel du premier degré, x — x. On considère ainsi toute équation d’un degré »m comme ayant un nombre m de racines, ou réelles ou imaginaires : à proprement parler, ces dernières racines manquent dans l'équation.

Les coefficients &,, &,, a;...a, pourraient être tels que si l’on construisait la ligne dont l'équation est y—/fx, le nombre d’intersections de la courbe avec l'axe des abscisses fût égal à ». Mais lorsqu'on change les valeurs de ces coefficients, il peut arriver que ‘certaines intersections disparaissent ; elles manquenten nombre pair. La forme même de la courbe peut être changée, et cette ligne peut perdre plusieurs de ses sinuosités.G’est ce défaut d’intersections ou desinuosités qui donne lieu aux racines imaginaires. Il faut remarquer , et nous le montrerons distinctement par la suite, que ces racines déficientes ou imaginaires peuvent n'être pas indiquées par la forme de la ligne dont l'équation est y —/fx. Il arrive souvent que les intersections disparaissent d’abord dans l’une des lignes subordonnées, qui ont pour équation y=—fx, y=f"x, y—f"x, etc. Nous prouverons que l’on peut déterminer facilement les intervalles où ces intersections manquent.

. ‘ (8) Lorsque le premiermembre de l'équation contient plusieurs facteurs réels du premier degré, tels que t—«,x—6,x—7, etc., deux de ces facteurs, ou trois, ou un plus grand nombre, peuvent être les mêmes: ce cas est celui des racines égales. On considère que le premier membre étant divisible par (æ—«),(æ—6),ete. l'équation

a deux racines, égales à +, ou trois racines é gales à.6, quoiqu'il n y ait.en effet qu'un seul de ces nombres qui ait. L propriété de réduire le premier membre à zéro. La construction reudrait sensible la coincidence de ces racines.

J'est façile de distinguer et de résoudre ce cas des: racines égales : il suffit de comparer entre elles les fonctions fx, f'æ, f"æ, ete.. afin de connaître s'il existe un ou plusieurs facteurs communs à Jaetf'x,ouà fx, fx, f'x,ete. Dans le.cas singulier où une. telle condition a lieu, on doit considérer séparément le. facteur commun que l'on a trouvé, et qui est une fonction algébrique de x ; ikne reste plus qu'à résoudre cette fonction en ses facteurs simples.

IL nous suffit d'énoncer ici ces théorèmes sur, les propriétés des racines égales. La démonstration en est connue, et d’ailleurs elle est une conséquence évidente des différentiations.

(9) Nous ferons principalement usage du théorème qui donne le développement successif d'une fonction algébrique du binomez +6; mais 1l faut joindre à ce théorème l'expression du reste, qui complète la série lorsqu'on l'arrête à un terme quelconque. -Voiei l'énoncé de cette proposition, qui est un,peu moins connue que les précédentes, mais qui, est entièrement nécessaire à l'analyse exacte des équations : les développements successifs de la fonction f(2+ b) sont exprimés par les équations suivantes,

JG+0)=fz+bf"(z,...:+8), fat D) =fs+bfatEf" (sr),

’ En . HAT, NEA D UE EE MOTO)

ainsi de suite.

La fonction désignée par la caractéristique f est supposée algébrique, et de même nature que la fonction fx rapportée article 3, et dont la valeur est 4"+a,x""#...+ a, b exprime un nombre déterminé ajouté à la variable z. La quantité ainsi représentée (2.273), est un certain nombre inconnu compris entre z et z + b ; et il faut

remarquer surtout que ce nombre n'a pas la même valeur dans les équations qui se succèdent: seulement il est toujours compris entre z et 24 D. Ainsi la valeur complète de la fonction /{z+ b) est formée 1° d’un certain nombre de termes du second membre, savoir d’un seul pour la premièreéquation, dedeux pour la seconde, de trois pour la troisième, ainsi desuite ; 2° d’un dernier terme qui complète la série et qui contient une fonction f(7»2) d’une,certaine quantité, m étant le nombre des termes du développement. La quantité. qui-entre comme variable dans cette fonction f(m) n’est pas connue, etil n’est jamais nécessaire qu'elle.ke soit pour l'usage qué nous voulons faire du théorème; mais il est certain que cette quantité inconnue est plus grande que z.et moindre que z + b. Le même théorème s'étend à toutes les fonctions, mais ,on ne l’applique ici qu'aux fonctions algébriques. On trouve l'origine de cette proposition générale dans les écrits de Jean Bernoulli : c’est à Lagrange qu'on doit la remarque importante qui donne l'expression exacte du reste de la série. (10) Soit y une fonction algébrique fx, et concevons que æ ayant reçu une valeur déterminée, on augmente cette valeur d’une quantité infiniment petite dx, c'est-à-dire d’une quantité variable qui décroît de plus en plus, et a zéro pour limite. [accroissement dy de la fonction est lui-même variable, ainsi que le rapport de cet accroissement dy à l'accroissement dx. En désignant par X cette quantité variable dx dont x est augmentée, le rapport dont il s’agit a pour

e (. # A) Te 74] ERIC — AA expression es , OU fx += hf" (x... x+h). Cette dernière

quantité, qui varie lorsque X devient infiniment petite,a évidemment pour limite fx : c'est ce que les géomètres expriment en écrivant el.

dx disant que f'x est la dernière raison des accroissements dy et dx, ou que la valeur de f(x + dx)est fx + dxf'x.

Il pourrait arriver que la valeur déterminée de x fût telle que f'x devint nulle. Dans ce cas on trouve l'accroissement de la fonction par l'équation

—fx, où dy=daxf'x. Is énoncent la même proposition en

! hk° {4 h3 11 ———— f(x + h)=fx+ Rfx+—f x + Tas il (hit À):

car le terme À f"'x étant nul, on a

(x+h)—fx , CT "54 Fm Es rate af (ex +h) la limite du second membre est évidemment :/f"x. C'est ce l'on exprime en écrivant

f(x + dx) =fx + :dx fx.

La dernière raison de J'accroissement de y au carré de l’accroissement de x est dans ce cas une quantité finie égale à = fx. Les mêmes conséquences s'appliquent aux cas où la substitution de la valeur attribuée à x ferait évanouir plusieurs fonctions consécutives.

Après avoir rappelé ces principes, nous traiterons l'une des questions principales de l'analyse des équations, celle qui a pour objet de déterminer les limites de toutes les racines.

SL NE RS ARR RE D AT A A ER M AA AU A A A OR AR RUE TE DA EE SE LAS A/S A NS AT TE D NS