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On divisera donc 12 par 345 selon la règle de la division ordonnée, et l’on écrira successivement à la suite du diviseur les chiffres qui doivent le compléter. Il faut remarquer que ces chiffres ne sont point connus au commencement de l'opération , mais on les trouve successivement en élevant au carré la valeur du quotient, et l'on procède comme il suit. |

Lorsqu'on connaît quelques-uns des premiers chiffres du quotient, on détermine les premiers chiffres du carré du quotient, en ne retenant dans cette valeur du carré que les chiffres qui sont connus avec certitude : ce sont ces chiffres exacts qui doivent être écrits successivement à la suite du diviseur. On obtient ainsi la racine de l'équation à° + 345x=— 12, savoir x—=0,03/782486...

Ces calculs sont présentés dans les tableaux suivants.

103 tes LE LRU BE ue % 0,034782486....

(24) Nous avons énoncé dans l'article 19 les questions qu'il était nécessaire de résoudre pour réduire le calcul des racines aux procédés les plus simples, en sorte que l'on ne puisse arriver par aucune voie plus briève à la connaissance effective des valeurs de ces racines. La première de ces questions est purement arithmétique: elle est résolue par la règle de la division crdonniée., La seconde ; dont la solution est très-facile, consiste à régler le calcul des substitutions successives de manière qu'il n'y ait aucune opération superflue. La troisième question a pour objet de déterminer avec certitude le nombre des chiffres exacts que donne chaque nouvelle opération. Nous allons montrer quelle doit être la marche du calcul pour satisfaire à ces dernières conditions.

Premièrement supposons que l'on ait substitué dans le premier membre f(x) de la proposée une valeur 6, déja approchée, de la racine æ, et que l’on ait déterminé par ces substitutions les valeurs numériques des fonctions f(b), f(8), f"(b),.. ft (b). On à trouvé en divisant f(b) par f'(b) une nouvelle partie € de la racine , et pour continuer l’approximation il faut substituer b 4€ dans les fonctions

Sa), Sax), f(x)... f(x). Il est manifeste que le calcul serait

mal ordonné si l’on substituait la quantité entière b +6, car on répéterait sans nécessité une grande partie des opérations précédentes : il faut done se réduire aux seuls calculs dont on ne peut se dispenser pour ajouter aux résultats déja trouvés les parties qui proviennent de l'addition du terme 6. On peut négliger cette réduction lorsqu'on n’a en vue qu'une approximation très-bornée, mais si l’on veut déterminer un très-grand nombre de chiffres de la racine on reconnaît combien il est préférable de donner une autre forme au calcul. Or il est aisé de conclure des éléments du calcul algébrique que pour substituer la valeur b +6 dans les fonctions f(x), J'(x), f(&), f"(æ), on doit observer la règle suivante.

Ayant écrit sur une première ligne les valeurs déja connues /(b), SO), F0), ... SE), f XL), on place la fraction € au-dessous de chacune des fonctions qui suivent la première / (à), et on multiplie par ce facteur commun 6, ce qui donne les termes d'une secondeligne.

CABCUL DES RACINES. 199

On écrit le facteur 6 au-dessous de chacun des termes de cette seconde ligne qui suivent le premier à gauche; on multiplie par le facteur commun 6, et l'on divise chaque produit par 2, ce qui donnera les termes d’une troisième ligne.

On écrit 8 au-dessous de tous les termes qui suivent le premier terme à gauche de cette troisième ligne; on multiplie par le facteur 6, et l’on divise les produits par 3.

On continue ainsi à multiplier par 6 tous les termes de chaque ligne, excepté le premier à gauche ,‘et l'on divise tous les produits par l'indice du rang de cette même ligne.

Après ces opérations on ajoute ensemble les seuls premiers termes des différentes lignes : on connaît ainsi f(b-+ 6). On ajoute ensemble tous les seconds termes des différentes lignes, et la somme est f'(b +6). On continue ainsi de prendre la somme de tous Îles troisièmes termes , ou de tous les quatrièmes termes des différentes lignes, ce qui donne f”(b + 6), f"(b +6); ainsi de suite jusqu'à ce que l'on connaisse les valeurs numériques de toutes les fonctions f(b+6),f'(b +6), f'(b +6), etc.

Lorsqu'on a formé ces valeurs numériques, on trouve une nouvelle partie } de la racine en divisant f(d + 6) par f"(6 + 6). [ reste donc à faire connaître combien cette division doit donner de chiffres exacts, c'est-à-dire de chiffres décimaux qui appartiennent certainement à la racine, parce qu'ils sont communs à deux des limites dont on a expliqué les propriétés dans les articles 16 et 17.

(25) Après avoir caleulé une des limites, par exemple celle qui résulte de l’approximation newtonienne, on pourrait calculer la seconde limite que nous avons proposé de joindre à cette première, et qui est en effet nécessaire pour définir l'approximation. Ce second calcul étant effectué, on ne conserverait comme exacts que les chiffres communs aux deux limites, et l’on trouverait ainsi la fraction qui doit être ajoutée à la suite de 6. Mais en opérant de cette manière on répéterait une grande partie du calcul numérique précédent: nous parvenons à réduire cette opération à sa forme la plus simple en ne considérant que la différence de la seconde limite à

la première. En effet il a été démontré article 9 que l'on peut déterminer immédiatement la seconde limite lorsque la première est connue.

Nous désignons par a et b deux premières valeurs approchées, dont l’une a est moindre que la racine, et l’autre b est plus grande que la racine. Ces valeurs sont telles, par hypothèse, que l'équation proposée f(x)—0 ayant une seule racine comprise entre les limites a et b, les trois équations subordonnées f(x) —0, f(x) —0o et f(x) = 0 n’ont aucune racine comprise entre ces mêmes limites. On reconnaît que les deux nombres & et b remplissent cette condition lorsque en comparant les deux suites de signes (a) et (b), on trouve que les indices correspondants aux fonctions f(x), f(x) et f(x) sont égaux à zéro; c’est-à-dire lorsque la série des indices est ainsi terminée, 000 1. Si les indices correspondants à chacune des fonctions f(x), f(x), f(x) n'étaient pas égaux à zéro, on resserrait l'intervalle des deux nombres en substituant des nombres intermédiaires, et l’on parviendrait bientôt à trouver deux limites a et ©, par lesquelles la condition dont il s’agit serait satisfaite. Nous ne considérons pas ici, conformément à ce qui a été dit art. 14, les cas particuliers où l’une des fonctions f(x), f(x), f"(æ) aurait un facteur commun avec la fonction proposée.

Cela posé, on distinguera entre les deux limites à et b celle de ces deux limites qui, étant substituée dans les fonctions f(x) etf"(æ), donne deux résultats de même signe. Nous désignerons, comme dans l’article 16, par € la limite dont il s’agit, que nous avons nommée limite extérieure, et qui répond au point de la courbe par lequel la tangente doit être menée. « représentera l’autre limite, c’est-à-dire la limite intérieure. Or on déduit de ces premières valeurs 6 et 4, comme on l'a vu dans l'article cité, de nouvelles valeurs plus approchées 6” et 4", entre lesquelles la racine est également comprise et qui sont ainsi exprimées

DM, Hit) DRE A f(&)

PE (6) te nl (6) :

De plus, si l'on nomme z la différence 6— : des deux premières

limites , et 2’ la différence 6° — à’ des nouvelles limites plus rapprochées , la différence 1” sera beaucoup plus petite que à, et l’on aura (article 9) entre ces deux quantités la relation es LAC ; .6) 2f"(6) f''(a...6) représente la valeur que prend f”(x) lorsqu'on donne à æ une certaine valeur qui est comprise entre les nombres connus «u et 6.

Si la différence z devenait infiniment petite, la différence 2” deviendrait infiniment petite du second ordre; et le rapport de cette quantité 2’ au carré de z est une quantité finie que l’on peut déterminer, En effet les limites « et 6 devenant alors toutes deux égales à l’abscisse du point d’intersection, c’est-à-dire à la racine +, l'expression du rapport dont il s’agit est

Plus les limites « et 6 sont rapprochées, et plus le rapport de la différence z’ des deux nouvelles limites «et 6” au carré dela différence

fx)

des deux premières limites « et 6 approche d'être égal à =<, en 2 f'(x)

sorte que ce rapport peut différer aussi peu qu'on le voudra de cette quantité.

1} sir TI \ . .« .

La valeur de la quantité 2 » c’est-à-dire de la dernière raison de la différence des deux limites au carré de la différence des limites précédentes, ne peut être déterminée exactement, puis-

qu'elle dépend de la racine inconnue x ; mais l'expression TI E

donne un moyen facile de connaître entre quelles limites est comprise cette dernière raison. En effet comme l’on a supposé (x)—0 n'avait point de racine entre les limites

que l'équation f a et 6, la fonction f(x) sera constamment croissante ou décroissante dans l’intervalle de ces mêmes limites. Il en est de même de la fonction f(x), puisque l'équation f(x) —=0o n'a point de racine entre « ét6. Si l'on désigne donc par f”(B) la plus grande

a LIVRE DEUXIÈME.

des deux quantités f”(«) et f"(£), abstraction faite du signe, et par f'(a) la plus petite des quantités f(x) et f’(6), abstraction faite du signe, le quotient f"() 2f”(a) = ? et en général ce FEAT fe...

désignée par a...6, qui doit toujours être comprise entre « et 6.

sera nécessairement plus grand que

sera toujours plus grand que , quelle que soit la quantité

Il résulte de ce qui précède que si, après avoir formé au moyen des valeurs approchées « et 6, dont la différence est z, une valeur plus approchée 6” exprimée par

plis J'(e)?

on ajoute à cette dernière valeur le terme

ch toEt(R) TU

on aura ajouté une quantité plus srande. abstraction faite du signe J P O ? 8 ,

que la différence des nouvelles limites x’ et €’. Par conséquent on a la certitude que la racine cherchée est com prise entre les quantités