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de manière à ne déterminer jamais que des chiffres exacts, c’est- .

à-dire des ghiffres qui appartiennent à la véritable valeur de la racine,

(27) Si la différence z des deux premières valeurs approchées « et € est une unité décimale d’un ordre assez élevé, la différence 2” des nouvelles valeurs approchées 4’ et 6” est en général une unité décimale d’un ordre beaucoup plus élevé. Par exemple si la valeur J"() 2 f7(a)

plus petite que le carré de la différence précédente 1. On en conclut

du coefficient

ne surpasse point l'unité, la différence 7 est

que si le dernier chiffre décimal de la valeur approchée 6 est de l'ordre x, et que l’on forme une valeur plus approchée 6” en ajou-

tant à 6 le quotient — 1, on est assuré de l'exactitude de tous

les chiffres décimaux du résultat qui précèdent le chiffre décimal de Fe , qui est plus grande que

la racine, deviendrait plus petite si l’on en retranchait 2°, ou

l'ordre 2n. En effet la valeur 6 —

une unité décimale de l’ordre 27. Aïnsi en calculant le quotient S(6) PT)” qui est de l'ordre 27: mais on ne doit point regarder les chiffres

on peut conserver tous les chiffres décimaux jusqu'à celui

suivants comme appartenant à la racine; il est donc inutile de les déterminer , et l’on ne doit pousser la division que jusqu'au chiffre qui exprime un certain nombre d'unités égales à (-=)°". On voit que chaque opération donne alors à la racine cherchée un nombre de chiffres décimaux exacts égal au double du nombre des chiffres décimaux qui étaient déja connus.

f”"(B) 2 f” (a) grande que l'unité, le nombre de nouveaux chiffres décimaux exacts que l’on obtient en divisant f(6) par f'(6),est moins grand ou plus grand que le nombre des chiffres décimaux qui étaient déja connus. Pour déterminer avec certitude jusqu’à quel chiffre du quo-

Lorsque la valeur du coefficient est plus grande ou moins

tient cette division doit être continuée, on fera usage de la règle suivante.

On examinera quel est le rang du premier chiffre du quotient

et l'on remarquera quelle est l'unité décimale immédiatement

2/' (a) supérieure à la valeur de ce quotient. Si, par exemple, le quotient f"(B) 2 Ja) cette unité décimale; et si le même quotient avait pour premier chiffre 3 au rang des mille, on prendrait 10000 pour cette unité

avait pour premiers chiffres 0,003, on prendrait 0,01 pour

décimale. Cela posé, soit (-=)* cette unité décimale plus grande que la valeur du quotient dont il s'agit, l'exposant k pouvant être positif ou négatif; et soit aussi (-=)" l'unité décimale qui est égale à la différence à des deux premières limites désignées par + et 6. f”(B) f"(B) 2 f” (a) 2f'(a) moindre que (-=)"#. Alors en effectuant la division de f (6) par f'(€), il faudra s'arrêter au chiffre de l’ordre décimal 27 + k. En (6)

effet lorsqu'on ajoute le quotient — FT) à la partie 6 de la valeur }

Le coefficient:

étant moindre que (-=)*, le terme &*. sera

de la racine qui est déja connue, on obtient un résultat qui diffère de la véritable valeur de la racine d’une quantité moindre que la

différence des deux quantités e — FE) et a — f(œ) Or cette diffé-

gs JE) rence , exprimée par — 2° ER A est elle-même moindre, abstraction faite du signe, que CD.) ÿ*: donc en continuant la division indiquée par — jusqu'au chiffre décimal de l'ordre

2n+#, on est assuré que l'erreur du résultat que l'on obtiendra est moindre qu’une unité décimale de cet ordre. Il ne restera plus qu’à avoir égard à la partie du quotient que l'on aura négligée. (28) IL faut maintenant considérer que la limite désignée par 6, et que l’on emploie pour former une valeur plus approchée 6”, en

} à , 6 é NE ,

ajoutant à 6 le quotient 7, est toujours la limite appelée ex-

térieure, c’est-à-dire celle qui, étant substituée dans les fonctions

f(x) et f(x), donne deux résultats de même signe. Dans les cas

représentés par les figures 9 et 12 cette limite 6 répond au point

b;et dans les cas représentés par les figures 10 et 11 la même limite 6 Hi ; 27

répond au point a. Or l'inspection seule des figures indique que, dans tous les cas, on s’éloignerait de la valeur de la racine en prenant la valeur de la sous-tangente un peu trop faible, abstraction faite du signe, et que l’on s’en approchera au contraire en prenant cette même valeur un peu trop forte. Il en serait autrement si la tangente était menée par le point 77 dans les figures 9 et 12, où par le point » dans les figures 10 et 11: on devrait alors au contraire prendre un nombre inférieur plutôt que supérieur à la véritable valeur de la sous-tangente. Mais en employant la limite extérieure 6, qu'il est toujours facile de distinguer d’après la condition énoncée ci-dessus, il est évident que l’on doit, pour former la nouvelle valeur approchée 6’, ajouter à 6 une quantité qui soit plutôt au-dessus

« 6 « ’ de la valeur du quotient 7 qui représente la sous-tangente,

qu'au-dessous de la véritable valeur de ce quotient. Il résulte de cette remarque qu'après avoir continué la division

indiquée par 55 jusqu’au chiffre de l’ordre décimal 2 x + #,

y compris ce même chiffre, on doit, au lieu de négliger tous les chiffres suivants, augmenter d’une unité le chiffre de l’ordre 2n+ A auquel on s’est arrêté. On ajoutera donc le résultat obtenu de cette manière à la limite 6, en ayant égard au signe de ce résultat, et l'on connaîtra la nouvelle limite plus approchée 6’ qui est l'objet de la recherche.

Nous observerons d’ailleurs qu’en formant ainsi cette nouvelle limite plus approchée 6”, c’est-à-dire en arrêtant la division indiquée par — 7? au chiffre décimal de l’ordre 27 + k et augmentant ce chiffre d'une unité, on ajoute à la véritable valeur de la quantité “HAUT une quantité qui ne peut surpasser UT UIÉE

HO | Ar DA CE |

ui par conséquent ne peut surpasser la différence — 2°. PRE q P P 2 f'(&...6)

des deux nouvelles limites. Donc la nouvelle limite 6” diffère à plus forte raison de la racine d’une quantité moindre qu'une unité décimale de l’ordre 27 + k. Mais cette limite 6” peut se trouver plus

grande ou plus petite que la racine : c'est ce qu'on reconnaitra en la substituant dans la fonction f(x). Si la limite 6” est plus grande que la racine, on retranchera une unité du dernier chiffre décimal, ce qui donnera la seconde limite 4”. Si au contraire la limite 6° est moindre que la racine, on formera la seconde limite en ajoutant une unité au dernier chiffre décimal. On parvient donc de cette manière à obtenir deux nombres entre lesquels la racine est nécessairement comprise, et qui ne diffèrent plus l’un de l’autre que d’une unité décimale de l’ordre 2 n + #.

Si l'on veut pousser plus loin l’approximation, on opérera sur les deux nouvelles limites que l’on vient d'obtenir comme on l'avait fait sur les deux limites précédentes. On distinguera celle de ces deux limites qui, étant substituée dans les fonctions f(x) et f(x), donne deux résultats de même signe : soit 6, la limite dont il s'agit, et », l'ordre décimal du dernier chiffre de cette limite. On

calculera le quotient — F0,

une nouvelle limite plus approchée, jusqu'au chiffre décimal de

qui doit être ajouté à 6, pour former

l'ordre 27, + #, et y compris ce chiffre : on augmentera ensurte ce même chiffre d’une unité. Ainsi le nombre des chiffres décimaux exacts que l’on obtient à chaque nouvelle opération augmente de plus en plus. Si » désigne le nombre des chiffres décimaux primitivement connus, c’est-à-dire si les limites données « et 6 ne diffèrent l’une de l’autre que par une unité décimale égale à (-=)", le nombre de chiffres décimaux exacts qui sera connu par une première opération sera 27 + k; ce même nombre sera 4n + 3k après une seconde opération, 8 x + 74 après une troisième, et ainsi de suite.

Le procédé d’approximation de la racine ne commence à avoir un cours régulier et rapide que lorsque le nombre 27 + À est plus grand que », ou lorsque l'on a r > —k, ce qui pourrait ne pas arriver si À ou À étaient négatifs. Il est donc nécessaire, après avoir déterminé le nombre #, qui est l'exposant de l'unité décimale de l'ordre immédiatement supérieur à celui du premier chiffre du

quotient DE de s'assurer si la condition nr > —} est satisfaite. Si elle ne l'était pas on devrait rapprocher les limites données a etb, par la substitution de nombres intermédiaires, jusqu’à ce que la différence de ces deux limites füt égale au plus à (-=)", le nombre n étant égal à 1—#.

(29) Les considérations qui viennent d’être exposées conduisent à la règle suivante. *

Étant données deux limites a et à entre lesquelles est comprise une seule racine de l'équation proposée f(æ)—0, tandis que les équations subordonnées f(x) =0, f"(x)—=0, f"(x)=0 n'ont point de racines entre ces mêmes limites, il s’agit d'obtenir deux nouvelles limites aussi rapprochées qu'il est possible, et entre lesquelles la racine de l'équation proposée soit également comprise.

On choisira la plus grande en nombre des deux quantités f”(a) et f’(b), et on commencera à la diviser par la plus petite en nombre des deux quantités 2,f"(a) et 2 f"(b) : il suffit de connaître le rang du premier chiffre du quotient, et de remarquer quelle est l’unité de l'ordre décimal immédiatement plus grande que ce quotient. Soit (-—)" cette unité : on connaîtra ainsi le nombre Æ qui peut être positif ou négatif.

Soit (=)" l'unité décimale qui est au moins égale à la différence des deux limites données a et b. On examinera si le nombre » est au moins égal à 1 —Æ. Si cette condition n'était pas remplie, il faudrait rapprocher les limites & et à par la substitution de nombres intermédiaires.

Ayant done reconnu que la condition »n—1—%#, où r > 1 —#, est satisfaite, on distinguera entre les limites & et b celle de ces limites qui , étant substituée dans les fonctions f(x) et f(x), donne deux résultats de même signe : soit 6 cette limite, On divisera, suivant la règle de la division ordonnée, (6) par /"(6), én continuant l'opération jusqu'à ce que le dernier chiffre trouvé au quotient soit de l’ordre décimal 2 n + k. On augmentera ce dernier chiffre d’une unité, et l’on ajoutera le quotient ainsi obtenu à la limite 6, où on

le retranchera de cette limite suivant que les quantités (6) et f'(€) seront de signes différents ou de mème signe. La nouvelle limite 6" formée de cette manière pourra être plus grande ou moindre que la véritable valeur de la racine, ce qu'il sera facile de reconnaitre en substituant cette valeur 6” dans f(x); mais elle différera toujours de la racine d'une quantité moindre que ()°"+£. Par conséquent en diminuant ou en augmentant d’une unité le dernier chiffre de £’, on formera une seconde limite moindre que la racine si la limite 6" qu'on vient d'obtenir est plus grande, et plus grande que la racine si la limite 6” était plus petite.

On opérera ensuite sur ces nouvelles limites comme on l'avait fait sur les premières limites données a et D, etainsi desuite. Chaque nouvelle opération fera connaître un nombre de chiffres appartenant à la valeur de la racine de plus en plus grand. Les nombres des chiffres décimaux exacts qui suivent la virgule après la première , la seconde, la troisième, etc. opération sont respectivement on+k,4n+3k, 8n+7k, ete. La marche du calcul est assurée et régulière; elle ne donne lieu à aucune opération superflue, et l’on n’est jamais exposé à déterminer aucun chiffre qui n’appartienne point à la véritable valeur de la racine.

Nous avons d’ailleurs regardé l’exposant £ comme un nombre constant. Il peut arriver quelquefois qu'en calculant de nouveau sa valeur au moyen des limites de plus en plus rapprochées que donne la suite de l'opération, on trouve pour ce nombre # une valeur plus” grande que la première, ce qui rendrait l’approximation plus rapide.

(30) Nous appliquerons les règles précédentes à l’équation La SEE 0:

La suite des fonctions est

f(x)=2x —22—5 TO) =9 29 f')=6x f”(@)—6;

et en substituant d'abord les nombres de la progression décuple, on trouve

FC) , f'@) , F'@) , JE)

(NO DRE —+- O — csish..

LES 0) NC + — — (4) 2.50 + rt + se

LDC + + Fe

L'équation a deux racines indiquées entre — 1 et o, et une autre racine indiquée entre 1 et 10 : on reconnaît immédiatement que les deux premières racines sont imaginaires, parce que la somme

; 5 nef ui des quotients “tn surpasse la différence 1 des deux limites, Par

conséquent cette équation a une seule racine réelle comprise entre leCNT0;

Pour avoir deux limites qui ne diffèrent entre elles que par une unité de l’ordre du dernier chiffre, on substituera des nombres intermédiaires et l’on trouvera

(orne PA PL Pam PI 1 73 10 I O O I SLR TE RER TRIER:

Ainsi la racine est comprise entre 2 et 3, et la suite des indices étant 0001, on pourrait procéder à l’approximation. Mais en divisant la plus grande des valeurs de f(x), qui est 18, par la plus

petite des valeurs de 2/"(æ), quiest 2.10,on obtient pour quotient

550,9 : l'unité décimale de l’ordre immédiatement supérieur au

premier chiffre de ce quotient étant 1, on a donc À —o. La différence des deux limites entre lesquelles la racine est comprise étant

aussi égale à 1, on a également »— 0. Par conséquent la condition n— où >1—# n'étant pas satisfaite, on est averti que les limites 2 et 3 ne sont pas assez rapprochées pour que l'on doive commencer immédiatement l’approximation,

En substituant done des nombres intermédiaires de l’ordre décimal immédiatement inférieur, il viendra

SF), F'(@), Fa), (x)

ON NE ché du ie 12 10 I