RÉSULTATS DEMONTRES DANS CET OUVRAGE

(1) pe premier livre a pour objet une méthode générale qui sert à trouver deux limites de chaque racine réelle, et à distinguer les ra- cines imaginaires. Pour résoudre l’équation algébrique

X— GAL" GLT + dl... +0, X'+aL+ a... —=0O

du deghé m, dans laquelle les coefficients a,, a,, a,, etc. sont des nombres connus, on considère à la fois toutes les fonctions qui sont dérivées du premier membre X par des différentiations successives. Nous désignons ces fonctions comme il suit, en les écrivant dans l'ordre inverse, à

» (D (Coms MEMICS Ge D. die

Si l'on attribue à la variable x une valeur donnée & qui croît successivement depuis «==— + jusqu'à «— + +, et si l’on écrit le signe du résultat de chaque bhÉtition , on forme une suite de signes qui répond au nombre substitué x. Dans cette suite de signes, que nous indiquons par («), on remarque combien de fois il arrive qu'un signe est suivi d’un signe semblable, et combien de fois un signe est suivi d'un sine différent ; on nomme variation cette dernièré succession de signes, et l’on compte combien de fois la suite (x) contient de ces variations. Cela posé, le nombre « croissant par degrés insen-

sibles, la suite de signes (x) ne conserve pas toujours le nombre de variations qu'elle avait d’abord, et que nous désignons par J: ce nombre diminue graduellement ÿiLétait d’abord égal à m, il devient nul. On démontre qu'il ne peut que diminuer à mesure que « augmente.

Le nombre 7 des variations dela suite (x) ne change que s’il arrive que le nombre substitué « fait évanouir une des fonctions dérivées; 1}: peut arriver dans; ce cas que le nombre. des variations qui répond à une valeur infiniment peu plus grande que «, diffère du nombre de variations qui répond à une valeur infiniment peu plus petite que «. Dans ce passage d’une première valeur de « à une seconde valeur infiniment peu différente, il est possible que la suite de signes perde un certain nombre de variations. Il est possible aussi que le nonibre'des väriations qui répond à la prémièré valéur de a, soit le même que le nombre dés variations qui répond à la secondé

valeur de «. Nôus ne considérons point ce qui a lieu lorsque la suite conserve toutes les variations qu’elle avait auparavant, mais seulement ce qui a lieu lorsque la suite perd un certain nombre de variatuions. Or il se présente ici deux cas totalement! différénts: le premier , lorsque! dans’la suite qu perd untcertain nombre'de ses variations la dernière fonction X devient nulle; le second, lors: que la suite (x) perd quelques-unes de sés: variations sans que‘là dernière fonction X devienne nulle. Le premier cas se rapporte!au nombre des racines réelles, et le second au nombre des racines imaginaires. L'équation X—o a autant de racines réelles que la suite perd de variations lorsque X devient nulle, et cétte équation a autant de racines imaginaires que la suité des signes perd de variations sans que X dévienne nulle. Ce théorème est général, il n'est sujet à aucune exception: voici lés deux: ‘applications prite Pr qu 41 fournit.

* H'est'aisé de connaître combien on doit chercher dé racines aveñhré Hitervalle donné. Si l'on veut savoir combien l'équation X— 0 peut avoir dé racines entre deux limites désignées par @'et b, où substitüé la moindre limite'a dans la suite totale des fsñetions,

et l’on substitue aussi la plus grande limite à dans la même suite, afin de comparer le nombre des variations de la suite (a) au nombre des variations de la suite (b).Si ces deux nombres de variations sont les mêmes, on est assuré que la proposée X—o ne peut avoir aucune racine entre «& et b : il est impossible qu'aucun nombre plus grand que a et moindre que b rende X nulle.

(A)Si le nombre des variations de la suite (&) surpasse le nombre des variations de la suite (b), et que la différence soit z, il faut chercher un nombre z de racines entre a et b. Il est impossible qu'il y ait dans cet intervalle un nombre de racines plus grand quei;il peut y en avoir moins, et celles qui manquent sont en nombre pair.

La règle que Descartes a donnée concernant le nombre des racines positives ou le nombre des racines nég atives qu ‘une équation peut avoir, est un corollaire du théorème técédent(A); il suffit de prendre o et = pour les limites a et b des racines dont il s’agit. Lorsque deux des racines que le théorème général (A) indique comme devant être cherchées entre deux limites données n'existent point dans cet intervalle, elles manquent dans l'équation proposée X—o, c'est-àdire qu’elles correspondent à deux racines imaginaires de cette équation.

Si pour un autre intervalle a', d' différent de a, b, 1l arrive aussi que deux des racines que le rHésrèe indique comme devant être cherchées entre & et b, ne se trouvent pas dans cet intervalle, il arrive aussi que ces deux racines manquent dans l'équation X—o; elles correspondent à deux autres racines imaginaires de l'équation X—0o. En général les racines imaginaires de l'équation X—o sont respectivement celles qui manquent dans certains intervalles où le théorème indique qu'elles doivent être cherchées. Nous avons dit que la proposée X—o ne peut avoir aucune racine dans un ‘intervalle lorsque la substitution des deux limites a et b donne le même nombre de variations pour les deux suites de signes (a) et (8.) Il suit de là qu'une méthode de résolution qui n'indique pas les inter-

valles où les racines doivent être cherchées est très-défectueuse : car +

les intervalles où il est impossible qu’il y ait des racines sont heaucoup plus étendus que les intervalles où les racines peuvent se trouver. C'est pour cette raison qu'on ne doit point faire usage de la méthode qui consiste à substituer successivement des nombres A, 2, 3A, 4A, etc., dont la différence est moindre que la plus petite différence des deux racines : car on peut opérer ainsi sur des intervalles très-grands où l’on cherche des racines, quoiqu'il soit facile de reconnaître d'avance qu'il ne peut y en avoir aucune. On ne doit procéder à la recherche des racines que pour les intervalles médiocres où le théorème (A) indique qu’il peut y en avoir.

(2) Si pour découvrir les racines de la proposée comprises entre deux nombres donnés « et b,on divise cet intervalle en partiés, et que l’on y substitue des nombres intermédiaires, on pourra diminuer indéfiniment les intervalles où l’on doit chercher les racines: mais on ne parviendrait point par ces seules substitutions à connaître avec certitude la nature dés racines. Il est nécessaire de joindre au théorème précédent (A) une seconde règle qui fasse connaître avec certitude si les racines que l’on cherche dans un intervalle donné sont réelles, ou si elles sont remplacées par un pareil nombre de racines imaginaires de l'équation X—o.

Lorsque deux racines qui doivent d’après le théorème (A) être cherchées entre deux limites données manquent dans cet intervalle, cela provient de ce qu'un certain nombre +, compris entre ces deux limites, étant substitué à la fois dans trois fonctions dérivées consécutives, rend la fonction intermédiaire nulle, et donne pour les deux autres fonctions des résultats qui sont de même signe. C’est le caractère général des racines imaginaires, parce que la suite des signes perd dans ce cas deux variations. Lorsque la fonction intermédiaire s'évanouit, ce nombre « est une valeur critique qui correspond à un couple de racines imaginaires.

Ainsi en désignant par f(x, f0 x, f")æ les trois fonctions consécutives dont il s’agit, il existe dans ce cas une certaine valeur de « comprise entre & et b dont la substitution rend nullef(”x, et

donne pour f+x et fx deux résultats dont le signe est commun.

Tant que le théorème indique qu'il faut chercher deux racines entre les limites a et à, la nature de ces racines demeure incertaine ; elles peuvent être toutes les deux réelles ou toutes les deux imaginaires. Pour résoudre cette ambiguité, ce qui est une question capitale de l'analyse algébrique, et que l'on a dù regarder conime la plus difficile de toutes, il ne faut point recourir au calcul d’une équation dont les racines font connaître la moindre différence possible de deux racines consécutives, car ce calcul n’est praticable que pour les équations peu élevées ; et même en perfectionnant le procédé qui donne un tel résultat, le trop grand nombre de substitutions exigerait un calcul beaucoup trop composé. Nous allons énoncer la règle qui sert à distinguer dans ce cas la nature des racines: en la Joignant au théorème (A), elle complète la méthode de résolution ; mais avant de rapporter cette règle, nous indiquerons quelques conséquences générales des propositions précédentes.

On voit que depuis æ = —: jusqu'à x = + =, il y à trois sortes d'intervalles. Les uns, d’une grandeur indéfinie, sont tels qu'il serait entièrement inutile d'y chercher des racines de l'équation X —0: on reconnaît immédiatement qu’il ne peut point yenavoir. Les deux autres sortes d’intervalles sont : 1° ceux où se trouvent en effet les racines réelles; 2° ceux -où les racines manquent. Ce sont ces racines déficientes qui correspondent aux racines imaginaires. Pour chaque couple de racines imaginaires, il existe une valeur réelle de la variable x telle que x devenant égale à cette valeur, la suite des signes perd deux variations à la fois sans que + devienne nulle. Le nombre des couples de racines imaginaires est nécessairement égal aux nombres de ces valeurs critiques. On conclud de cette proposition générale celle de de Gua de Malves, qui exprime les conditions propres aux équations algébriques dont toutes les racines sont réelles.

Nous avons remarqué plus haut que le caractère des valeurs critiques est de rendre nulle une fonction dérivée intermédiaire, en

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donnant un même signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Cette condition ne s'applique pas seulement à la fonction principale X. Lorsqu'elle a lieu pour une des fonctions dérivées d’un ordre quelconque X°, c'est-à-dire lorsque la valeur réelle de x qui rend cette fonction X(° nulle donne deux résultats de même signe pour la fonction X!+# qui précède, et pour celle qui suit, savoir XU-9, ce caractère indique deux racines imaginaires de l'équation X®— 0, dont le premier membre est la fonction intermédiaire. On en conclud avec certitude que l'équation pe X—0 manque aussi de deux racines dans ce mêmeintervalle de & à b. On connaît par cette remarque que les racines imaginaires del équation X—one sont pas toutes du même ordre; les unes manquent dans l'équation principale,et les autres dans les équations subordonnées qui en dérivent par la différentiation. Au reste la forme detoutes ces racines, de quelque ordre qu’elles soient, est toujours celle du binome 4 +611, c'est-à-dire que deux de ces racines conjuguées correspondent à un facteur du second degré dont les deux coefficients sont réels.

Les racines imaginaires qui manquent dans l'équation principale X —o sont indiquées par la figure de la ligne courbe dont l’'équation est y —X; chaque couple de racines imaginaires correspond à une ordonnée dont la valeur est un minimum, abstraction faite du signe. Il n'en est pas de même des racines imaginaires qui manquent dans les équations subordonnées: leur forme n'est point indiquée de la même manière par la figure de la ligne courbe dont l'équation est y —X ; mis si l’on se représente que toutes les lignes courbes qui correspondent aux fonctions dérivées de tous les ordres sont tracées, toutes les racines imaginaires de l'équation X—o deviendront apparentes : chaque couple de ces racines correspon dront x un minimum absolu dans la courbe dont l'ordonnée est la valeur d'une fonction dérivée.

(3) H reste à énoncer la règle que nous avons donnée autrefois pour distinguer les racines imaginaires, et qui résoud complètement cette question:

(B) On suppose que l'application du théorème (A) fasse connaitre

que l’on doit chercher entre les limites & et b un certain nombre } de racines ; il s’agit de reconnaître quelles sont parmi les racines ainsi indiquées celles qui existent en effet, et celles qui ne peuvent se trouver dans cet intervalle parce qu'elles correspondent à autant de racines imaginaires de la proposée: le nombre entier ; est par hypothèse plus grand que o. Or il faut remarquer que le théorème général (A) ne s'applique pas seulement à l'équation principale X— 0, ilindique aussi combien l'équation dérivée X’— o peut avoir de racines dans un intervalle donné; il en est de même des équa-