L. +7 7 H/ t5 111 FE+i)=f(6) + if" (6) + Sf(6) += (E) + etc

On déduira donc immédiatement des résultats précédents

Comme nous avons maintenant 7 — 4, nous devons, en calculant f(6) __0,000541550536 J'(6) 11,16204748 huitième chiffre après la virgule inclusivement. La valeur de ce quotient étant 0,0000/851 , on retranchera donc le nombre 0,00004852 de la limite 2,0946, ce qui donnera pour troisième valeur approchée 2,09455148.

Le tableau suivant pp le calcul de la substitution de cette

le quotient , continuer la division jusqu’au

valeur dans les fonctions proposées.

0,000000000000136431801792 d’où l’on déduit f(2,09455148)— 0,0005745575078100 $ de 1665247137840 130431801792

Comme le résultat de la substitution donne une valeur négative à f(x), on est averti-que le nombre substitué est plus petit que la racine : ainsi la racine est comprise entre les nombres 2,09455148 et 2,09455149.

Les résultats de la substitution du dernier de ces deux nombres, qu'il est nécessaire de connaître pour porter plus loin l'approximation, se déduisent presque sans calcul de ceux qui viennent d’être obtenus, par le procédé que l’on a déja employé. On aura

f'(2,09455149)— 11,1614377071105712 1256730888 is

12,96730894 fl(2,094h)1409)= 046:

Le nombre » étant maintenant égal à 8, la division indiquée par FE) F'(@)

inclusivement. Le quotient de cette division, que l’on obtient

doit être continuée jusqu’au seizième chiffre après la virgule

facilement au moyen de la règle de la division ordonnée, étant 0,000000008/4576734, on retranchera ce nombre, après avoir augmenté le dernier chiffre d’une unité, de la valeur précédente, ce qui donnera pour quatrième valeur approchée 2,0945514815423265, nombre qui ne diffère pas en plus ou en moins de la racine d’une unité décimale du seizième ordre.

Dans l'exemple qui a été choisi, chaque opération double le nombre des chiffres exacts qui suivent la virgule: par conséquent

une opération de plus fera connaître la valeur de la racine jusqu’à la trente-deuxième décimale. En continuant à opérer de la même manière la substitution de la valeur précédente est facile, et donne les résultats suivants :

f(x) —=— 0,000000000000001021074960443679845432495185865375 ÉTCr)=ER 772040726472 044565007006 0 f'(æ)= 12,5673088892539590.

La valeur trouvée pour f(x) étant négative, on est averti que le nombre substitué est plus petit que la racine : ce nombre forme donc la limite inférieure, et la limite supérieure est par conséquent 2,0945514815423266. Les résultats de la substitution de ce dernier : nombre se déduisent immédiatement des précédents, et sont

On divisera donc f(x) par f'(x), en continuant la division jusqu’au trente-deuxième chiffre après la virgule inclusivement, ce qui donnera pour quotient 0,00000000000000000851761345942069. Ajoutant une unité au dernier chiffre de ce nombre, que l’on retranchera ensuite de la valeur précédente, il viendra pour cinquième valeur approchée 2,09455148154232659148238654057930: Le dernier chiffre de cette valeur est exact, c’est-à-dire que l’on s’éloignerait de la véritable valeur de la racine si l’on augmentait ou si l’on diminuait ce chiffre d’une unité : mais si l’on voulait pousser plus loin la division, les chiffres que l’on obtiendrait à la suite du trente-deuxième n'appartiendraient plus à la racine.

(31) Nous avons fait connaître dans les articles 6 et suivants les propriétés de l’approximation du premier ordre, c'est-à-dire de celle qui résulte de l’omission des termes contenant des puissances de l’inconnue supérieures à la première. Plusieurs analystes ont considéré l’'approximation du second ordre, qui est beaucoup plus con-

vergente, et ont proposé d'en faire usage pour le calcul des racines. Ce procédé peut en effetiêtre appliqué avec avantage dans un grand nombre de cas, mais il laissait à résoudre les difficultés principales . que présentait aussi l’approximation newtonienne. Elles consistent à . distinguer avec certitude les racines imaginaires , à régler exactement le calcul en assignant une seconde limite, et à mesurer la convergence de l'approximation. Je vais exposer dans les articles suivants les principes qui servent à résoudre ces questions.

Pour éviter l'incertitude qui provient de l’omission des termes subordonnés, nous avons introduit dans le calcul l'expression de deux limites entre lesquelles la racine est toujours comprise. Nous ferons usage de cemême principe, sansreproduire les détails de calcul que nous avons donnés en traitant de l’approximation linéaire; car après avoir montré l'exactitude rigoureuse des conséquences de ce genre, il importe beaucoup de conserver toute la simplicité de l'analyse différentielle.

Nous examinerons d’abord sous ce point de vue la question suivante, qui se rapporte à l’'approximation du premier degré.

L'are man (fig. 15) appartient à une ligne dont l’ordonnée est f(x) : le point o est l'origine des abscisses : l'abscisse ox du point d'intérsection est la valeur d’une racine de l'équation f(x)—= 0. Concevons qu'à partir du point d’intersection + on porte sur l'axe des abscisses, et vers la gauche, une quantité très-petite x a, que nous désignerons par w. Au point a on élève l’ordonnée am; par le point »# on mène deux lignes my, mv. La première m4 est tangente à l'arc au point », la seconde my est parallèle à la droite tæt' qui touche l'arc au point x. On forme ainsi sur l'axe un intervalle y v, qui serait beaucoup plus petit si le premier intervalle æ a avait reçu lui-même une valeur beaucoup moindre. Il s’agit de connaître la relation qui existe entre ce premier intervalle za, que l’on peut regarder comme arbitraire, et l'intervalle pv qui en dérive selon la construction précédente. On considère ici la dernière relation qui subsiste entre les intervalles ax et uv, c'està-dire qu'on suppose que l'intervalle initial &ax, désigné par »,

diminue continuellement et a zéro pour limite: que par exemple il devient successivement w, 2w, +, etc. : il s’agit de déterminer les valeurs correspondantes de pv, et d'en conclure ce que devient la relation de uv à ax lorsque uv atteint sa limite zéro.

La question étant ainsi distinctement posée est très-facile à résoudre. + désignant la valeur de l'abscisse ox, et o l'intervalle za, on voit que l’'ordonnée am est égale à f(x —«). La sous-tangente

Rien). par conséquent la longueur de l'intervalle 4 v est

au est ainsi exprimée, ; la valeur de la ligne av est

AU}, ET. ES aufisr-bn ouf), Fe peer lee)

Il ne reste plus qu'à supposer * une quantité infiniment petite. : f(æ— «) est la valeur de f(x) diminuée de sa différentielle dxf'(x), et. fx est nulle par hypothèse, puisque x est l’abscisse d’un point

d’intersection : donc le premier facteur f(æ— «) de l'expression de uv est—dxf'x. Le second facteur est la différentielle de Fa où l'on supposera dx négative. Ce second facteur est donc deg

Donc la valeur de pv est

: ZX Te - [l'est évident qu’on trouvera ce même résultat en développant l’expression précédente selon la puissance de w, et omettant les termes subordonnés.

On connaît par cette valeur de la ligne infiniment petite y v que cet intervalle devient incomparablement plus petit que l'intervalle o :

Es 4 F5 > quan-

tité finie qui exprime le rapport des deux fluxions fx et —f'x au point d'intersection æ, et qui dépend de la forme de la courbe en ce point.

il est égal au carré de w multiplié par le quotient —

(32) Considérons comme une première erreur, parce que cet

intervalle est la différence de la valeur approchée o a à la valeur exacte o x. En menant la tangente my. on détermine un point y plus approché du point x; et si l’on ajoute à l’abscisse o & la sous-tangente ay pour former une nouvelle valeur o y de l'abscisse, on voit que l'erreur restante 4 x est devenue plus petite que la précédente a x.

Soit %’ cette nouvelle erreur : on conclut de l'expression meer de la sous-tangente, ! f(x — 0) O — 0 —+- PR J'(x— 0)

Si l'on développe selon les puissances de w, en omettant les termes subordonnés ; ou, ce qui est la même chose, si l’on emploie les expressions différentielles, on a

fx—vw.f'x+20.f"x+etc.

FL PTE J'x—w.f"x+etc.

On omet le terme fx, qui est nul par hypothèse, et l'on trouve

F —0,f'x+210.f"x+etc.

D © + J'x—w.f"x+ etc.

OU, w étant une quantité infiniment petite,

Ainsi l'erreur w, supposée d’abord très-petite, diminue très-rapidement, puisqu'elle devient égale au carré de l’erreur précédente

ir nn À ; À jet hr multiplié par une quantité déterminée et constante, savoir —-—"—, arr valeur finie qui se rapporte au point x de l'arc mæn. ; à w? ue, ÿ É L'équation w —=——.- exprime, comme nous l'avons dit, la “:

relation finale d’une erreur à celle qui la suit. Cette condition subsiste rigoureusement au point d’intersection x ; c'est-à-diré qu’elle fait connaître la convergence finale de l’'approximation. linéaire. Ces résultats sont ceux que nous avons déja démontrés : on se pro-

posé maintenant d'étendre ces considérations au contact parabolique des courbes.

(33) Soit o a (fig. 16) une première valeur approchée de l’abscisse ox d’un point d’intersection. L'are mx x appartient à une courbe dont l’ordonnée est exprimée par f(x). Nous désignons par a la valeur approchée o a, et par x la valeur exacte o x. Soit x — a +2, en sorte que « est l'erreur de la première approximation, et que l'on a f(a +e)—0o. Nous développons cette expression en omettant les termes où il entre des puissances de « supérieures à la seconde : on a ainsi pour déterminer & l'équation

fa+ief'a+ief"a—o.

fa,.f'a, f'a sont des coefficients connus. Si l'on résout cette équation

f'a Re

ST e. sale RE ME à Re

Soit w l'erreur de la première valeur approchée a , et w l'erreur

Fa on trouve

de la valeur plus approchée que l’on trouve en ajoutant à la quantité a la racine e que l’on vient de déterminer : on a æ= 4 +o et x—a+et+o. Donc we —w—s:. La question consiste à trouver la dernière relation de w et w : on y parviendra comme il suit. On déterminera « au moyen de l'équation précédente, en remplaçant a par sa valeur z—w; ensuite on supposéra que w est infiniment petite. On a donc

fe TE

w étant infiniment petite, on conservera le premier terme subsis-

tant du résultat. Or on reconnaît que dans le numérateur , 1l ne

reste, en attribuant le signe — au radical, que des termes multi-

pliés par ’; toutes les puissances de w inférieures à la troisième Ï. 29

disparaîtront. Quant au dénominateur f(xæ—«), il se réduit à f(x) lorsque + est infiniment petite. I] reste donc à former le numérateur : voici le détail de ce calcul.

Si dans la première partie w f(x —w) + f"(x—«) on développe selon les puissances de w, en ne conservant que la troisième puissance et n'écrivant point la variable x sous le signe de fonction, on trouve

1. &° pr w° OS RS TOME Ait Dans le produit f(x—w).f"(x—) qui entre sous le radical, le 2 3 facteur f(4—w) se réduit à —w f"+ FT — — f”, parce que f x est

nulle par hypothèse. Donc pour s'arrêter à &° dans l'expression du produit, on écrira au lieu du second facteur f”(æ—) la quantité

f'—of"+"%f". Le produit cherché f(x—e).f"(æ—u) est donc

of + SEE PRT) a (ESSAIS).

Le carré de f(x —w), ou de LÉ fe fr, e CE OT EU CNET) Par conséquent la quantité affectée de l’exposant : est EE DU CNE TND

Si on élève à la puissance + on trouve, en attribuant le signe du au radical,

ou

ASP SSD prie es UE ATEN Ru. = Je (5 Fi 12844 "

CALCUT, DES RACINES. 2170

et ajoutant la première partie de l’expression de w’, on a

3 141 , Lo) a (a) OÙ 6 = — ——

r LS REP LP

RÉ (—5 né jorty À AE at

résultat très-simple qui donne la mesure de la convergence finale pour l'approximation du second ordre. L'erreur w décroît très-rapidement : sa valeur est le produit du eube de l’erreur précédente par un coefficient constant. Le nombre des chiffres décimaux exact est, généralement parlant, triplé par chaque nouvelle opération.

Le coefficient constant est égal à mdr : sa valeur dépend de la forme de la courbe au point d’intersection.

(34) Ces conséquences s'étendent aux approximations de tous les degrés. Pour découvrir le résultat général j'ai employé une autre forme de calcul que je vais rapporter.

La première valeur approchée étant désignée par &, et « exprimant l'erreur de cette détermination, on a æ—a +-e,et f (a + e)— 0. On développe cette expression, et l’on omet les puissances de « supérieures à la première, à la seconde, à Ja troisième, etc. , selon que l'on veutse borner à l'approximation du premier degré, ou du second , ou du troisième, ete. Considérons ce dernier cas : l'équation qui sert à déterminer « est donc

que fatef'a+-f'a+s f'a—o. (e)

Or cette équation est seulement approchée : il est évident que la valeur de : qu’elle fournit n’est pas complète. Par conséquent si on l’ajoute à la quantité «a, on ne trouvera point exactement la racine z; elle en différera d’une nouvelle erreur beaucoup plus petite que la première : il s’agit de découvrir la relation finale qui subsiste entre une erreur et celle qui la suit. L’équation f'{a + &)—0 ne subsisterait que si la valeur de + était déterminée par l'équation complète, et non par une équation approchée. Soit © la valeur exacte de e, en sorte que l’on a x—a +, et f(a + w)—0; soit w! l'erreur qui remplace la précédente », et qui provient de ce que

l'on ne calcule qu'une valeur approchée de + :onadoncx—a+e+w, la valeur < étant la racine de l'équation approchée (e). Donc & +e—w—0 et a—œÂ—0+. Actuellement nous mettrons dans l'équation (e) pour a sa valeur 4—w, et pour e sa valeur © —w" : on aura ainsi une aie entre et w. Il faudra déduire de cette équation la valeur de s' exprimée en », et supposer infiniment petite. On connaîtra ainsi la relation finale cherchée entre les deux erreurs consécutives w et w. L'équation (e) devient

fa—e)+(o—0)f'(e—e) +562) /" (ae) + (o—v)f"(&—u)=0: (E)

il faut, comme nous l'avons dit, tirer de cette équation la valeur de w!, et supposer ensuite © infiniment petite. Pour que cette recherche soit générale, on doit considérer une équation d’un degré quelconque dont %” est l'inconnue.

On remarquera d’abord que l'équation (E) donne plusieurs valeurs de ’, et cela doit être puisque le calcul se rapporte jusqu'ici à toutes les valeurs de x, et non pas seulement à celle qui est la plus voisine de la valeur approchée a. La racine %’ qui est l’objet spécial de la recherche est celle qui deviendrait nulle si w était nulle, et c’est ce caractère qui nous indique celles des racines que l’on doit choisir parmi celles que donne l'équation (E).

On développera par rapport aux puissances de w° le premier membre de cette équation, et chaque coefficient d’une puissance de w' sera ordonné selon les puissances croissantes de w. On aura ainsi une équation de cette forme :

0= À w°+ Bo? + Co + D. (F)

A,B,C,D,..... sont des coefficients ordonnés selon les puissances croissantes de w, et cette équation pourrait être d'un degré quelconque en w’. Cela posé, considérant w comme une grandeur connue, et l'équation (F) comme littérale, nous ferons usage de la

méthode qui donne la racine ®’ correspondante à une valeur infiniment petite de %; et parmi ces valeurs de w' nous devons choisir celle qui devient la plus petite lorsque « est infiniment petite. Ainsi nous prendrons pour la valeur cherchée de « celle des racines w developpées selon les puissances croissantes de © qui contient à son premier terme la plus baute puissance de o. |

Le terme D, qui dans l’équation (F) ne contient point «”, est

évidemment 147 I 111 D =f(&—v)+0 f(x — 0) —°© 0 f(x —v)+ of (x — w) < ou développant et omettant + sous le signe de fonction A ! OÙ pr © 3 77 w À 1% D=f-afibr hr pis Let LÉ -— €tC.

! > LI OÙ or o4 —. :

+ of —0 ef: Pme ee) Le + etc.

2 2 Des NU ur (5 ind VU ET are / 0 — etc.

DE Cyr A Le L4 ARE ras + elc.

La valeur de fx est nulle par hypothèse, et après les réductions

on trouve

Drois

off +- etc.

Quant aux coefficients C, B, A qui entrent dans l'équation (F), ils ne se réduisent point comme le précédent. La valeur de C, coefficient de ’ dans l'équation (F), est

Cfa o)5 20 f(x —e)—;75-30/" (x —e)— ete

Les autres coefficients B, A sont formés comme celui-ci de diftérentes puissances dev, et contiennent chacun un terme sans 0.

Il faut maintenant appliquer à l'équation (F) la règle générale qui sert à déterminer les racines de l'inconnue w’, ordonnées selon

les puissances croissantes d’une lettre choisie, qui est ici w. Or les coefficients À, B, C contenant tous un terme où w se trouve à la puissance zéro, on a, selon la règle, les quotients ci-indiqués 3:17 ot D:13104375

0= Av + Bo?+2 Co: D.

On connaît par la comparaison de ces quotients que celle des racines w' développées selon les puissances croissantes de w qui contient à son premier terme le plus haut exposant de w est donnée par l'équation partielle

Cow + D—0;

et il faut, conformément à la règle citée, réduire C et D à leurs premiers termes selon l’ordre des puissances croissantes de w. On a donc pour déterminer la racine cherchée w' l'équation partielle très-

simple | st, oem Mt qui donne pe to 4 HE ado D APN

Ce résultat est analogue à ceux que nous avons obtenus dans les articles 32 et 33 par un procédé très-différent, fondé sur la résolution effective des équations du premier et du second degré. On voit que la méthode de résolution des équations littérales supplée ici aux formules particulières qui exprimeraient en radicaux les racines des équations.

Si l’on applique l’analyse précédente à l’approximation du quatrième ordre, c'est-à-dire à celle qui résulterait de l’omission des puissances supérieures à la quatrième, on forme l'équation

0— f(x — w) por LP (au) + 4 (0 da (ae)

Ca Po) + ee) Se —0)

On résout ensuite cette équation par la méthode générale qui fait connaître les valeurs de «’ correspondantes à © infiniment petite ; et l'on trouve pour déterminer celle de ces racines dont le premier terme contient la plus haute puissance de « l'équation partielle

tp! w ? Ÿ.=:

EN ner WU HS

Ainsi la convergence finale de l’'approximation du quatrième ordre est telle que chaque erreur v' est égale à l’erreur précédente w élevée à la cinquième puissance et multi pliée par le facteur constant