EXPOSÉ SYNOPTIQUE DES RÉSULTATS DÉMONTRÉS DANS CET OUVRAGE

(x) Recherche des intervalles dans lesquels se trouvent les racines réelles des équations. Théorème désigné par (A). tbid,

(2) Valeurs critiques de l'inconnue indiquant l'existence d'un couple de racines imaginaires. Ces valeurs réduisent à zéro une des fonctions dérivées intermédiaires, et donnent le même signe aux fonctions précédente et suivante.

(3) Règle pour la distinction des racines imaginaires , désignée par (B). Elle est fondée sur la considération des indices des équations dérivées, c'està-dire des nombres qui expriment combien chacune de ces équations peut avoir de racines dans un intervalle donné.

(4) Remarques sur l'application des méthodes précédentes.

(5) Calcul des valeurs des racines réelles. Approximation linéaire , dérivée de la méthode newtonienne. Précautions qu'exige l'usage de cette méthode. Nouvelle règle arithmétique pour la division des nombres; elle pourrait servir à résoudre immédiatement les équations du second degré et des degrés supérieurs.

(6) Examen du degré de convergence de l'approximation linéaire, et de l'approximation du second ordre et des ordres supérieurs.

(7) Nouvel examen de la question qui a pour objet de distinguer les racines imaginaires. Solution de cette question par la considération du contact des arcs de parabole.

(8) Autres méthodes pour le calcul des racines réelles, dont les limites ont été déterminées par les règles (A) et (B). Développements en fractions continues ou en fractions de l'unité. |

(9) Expression des irrationnelles algébriques en fonctions continues. Constructions qui représentent la marche de l'approximation.

(10) Toute méthode exacte d'approximation sert à distinguer les racines imaginaires, pourvu qu'on dirige le calcul par l'emploi du théorème (A). Application au procédé d'approximation fondé sur la méthode newtonienne.

(x1) Application au procédé d’approximation résultant de l'emploi des fractions continues. Remarques générales.

(12) Résolution des équations littérales. Cette question peut être résolue complètement, et le principe de la solution existe dans les écrits de Newton, de Stirling et de Lagrange. Nouvelle méthode plus générale. Construction au moyen de laquelle on trouve successivement les premiers termes des facteurs correspondants aux racines de la proposée. Recherche des termes subséquents de ces facteurs. Exemples.

(13) Résolution simultanée de deux équations littérales à deux inconnues.

La méthode s'étend aux équations multiples dont le nombre est égal à

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CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE. 51

ge Pages celui des inconnues. Elle diffère beaucoup du procédé de l'élimination.

La recherche des exposants est, en général, une application de la mé-

thode des inégalités. 54 (14) Application des principes de l'analyse algébrique aux fonctions trans-

cendantes. ; 59 (15) et (16) Propositions générales servant à déterminer les limites et les

valeurs des racines dans les équations transcendantes. Cas où le produit

de tous les facteurs simples qui réduisent.à zéro le premier membre

d'une équation transcendante peut avoir une valeur différente de celle

de ce premier membre. Gt (19) Les rapports des séries récurrentes avec la théorie des équations sont

plus étendus qu'on ne l'a pensé jusqu'à présent. On peut déterminer

par cette méthode toutes les racines, réelles ou imaginaires, et en gé-

néral tous les coefficients des facteurs d'un degré quelconque. Règle de

Daniel Bernoulli ; remarques d'Euler et de Lagrange. 68 (18) Questions nouvelles dont on s’est proposé la solution. Convergence

de l’approximation résultant de l'emploi de la règle de Daniel Bernoulli.

Détermination successive de toutes les racines réelles. Détermination

des racines imaginaires. 70 (19) Les premiers fondateurs de l'analyse ont exprimé les valeurs des fonc-

tions algébriques invariables de toutes les racines : les fonctions qui ne

contiennent qu'un certain nombre des racines ont des propriétés non

moins genérales. Le procédé fondé sur l'emploi des séries récurrentes

peut tenir lieu de toute autre méthode pour la recherche et la distinc-

tion des racines, et s'applique à la recherche des racines imaginaires ;

mais ce mode d’approximation exige en général trop de calcul. 74 (20) Principes de l’analyse des inégalités. Elle s'applique aux questions

dont les conditions ne sont pas seulement exprimées par des équations,

mais consistent aussi en ce que certaines fonctions des inconnues doi-

vent être plus grandes ou moindres que des constantes données. Ques-

tions de statique résolues par cette méthode, 79 (21) Application de l'analyse des inégalités à la résolution des équations

littérales , et à l'usage des équations de condition. Construction propre

à déterminer les valeurs des inconnues qui donnent à la plus grande

erreur la moindre valeur possible. ôt

(22) Résumé, La notion que Viete avait proposée des l’origine de l'algèbre , et qui consistait à considérer simultanement tous les coefficients de l'équation pour en déduire par des opérations successives les parties

de chaque racine, était la plus propre à diriger les recherches. Newton a donné une première partie de cette méthode exegétique; mais il n’a point découvert le moyen de reconnaître les racines imaginaires et de trouver deux limites pour chaque racine. Ces difficultés sont au- jourd'hui résolues. Objets principaux des recherches contenues dans cet

ouvrage.

MÉTHODE

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