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A fa.

naît la valeur du quotient — FO > Sice quotient est moindre que la

différence b— a des deux limites, on est assuré que les deux racines que l'on cherchait entre a et b manquent dans cet intervalle, et que par conséquent elles répondent à un couple de racines imaginaires de l'équation principale X—0. Dans ce cas on retranchera deux unités de chacun des termes de ia suite des indices écrits à droite, depuis et y compris celui qui répond à f(x, jusqu’au dernier terme X et y compris ce terme. On conservera les indices précédemment trouvés pour les termes placés à la gauche de fx, et, cela étant, on aura une nouvelle suite d'indices pour ce même intervalle des deux limites a et b. On continuera donc la recherche des racines comme si cette nouvelle suite d'indices eût été celle que l’on a trouvée d’abord. Par cet examen des valeurs des quotients, on parvient promptement et sans aucune incertitude à la séparation de toutes les racines.

Les cas singuliers où les fonctions différentielles ont des facteurs communs, se résolvent facilement au moyen des théorèmes connus sur les racines égales.

1 ab ; os) æ Au lieu de substituer l’une des limites a dansl’expression D A

on peut substituer la plus grande limite b, et comparer le quotient

(r 1h. . , . 4 ’ = De à la différence b— «x. Si ce quotient n’est pas moindre que

b— a, on est assuré qu'il manque deux racines dans l'intervalle. Enfin on tirerait la même conséquence si la somme des deux quo-

À (rs) r—1) b 4) k J : 3 tients TE a + 57 n'était pas moindre que b— a. Ainsi toutes

les fois que la différence b — à des deux limites n’est pas plus grande

que la somme des deux quotients, il est certain que les deux racines que l'on devait chercher entre à et b manquent dans cet intervalle, et que par conséquent elles correspondent à deux racines imaginaires de l'équation X —o. Si au contraire la somme des deux quotients est plus petite que la différence b— «a, on est averti que les limites «& et b ne sont point assez voisines pour qu'on puisse reconnaître la nature des racines par une seule opération. On substituera donc dans l'intervalle de & et b un nombre intermédiaire ». et l’on formera deux intervalles a, « et x, b : le théorème (A) indiquera immédiatement celui de ces intervalles dans lequel on doit chercher les deux racines. On continuera donc l'application de la présente règle, et il est impossible qu’en continuant cet examen on ne parvienne pas à distinguer la nature des racines.

(4) Les propositions que l’on vient d’énoncer sont l'objet du premier livre : elles Y sont démontrées avec tous les développements que peut exiger une étude élémentaire. Le théorème (A) et la règle que nous avons donnée pour la distinction des racines imaginaires conduisent promptement et avec certitude à séparer les racines. On reconnaîtra en multipliant les applications de cette seconde règle (B) combien son usage est facile. Cet avantage provient de ce que l’on opère d’une manière spéciale pour chacun des intervalles où l’on cherche les racines: on considère distinctement ce qui est propre à cet intervalle, et l’on ne fait que le calcul absolument nécessaire pour juger de la nature des racines qui doivent y être cherchées. Le plus généralement l'application de la règle (B) exige peu de calcul, et la première ou la seconde opération suffisent pour connaître la nature des racines : toutefois il peut y avoir des cas particuliers où la recherche ne se terminerait pas aussi promptement. Cela arriverait si la différence des deux racines réelles était extrêmement petite, ou si le point qui répond au minimum absolu était très-voisin de l'axe des x. Il faut remarquer à ce sujet 1° quele cas des racines égales est très-facile à distinguer, comme nous l'avons dit plus haut; 2° que si dans l'intervalle à, b la ligne dont l’ordonnée représente la valeur de la fonction s'approche extrêmement de l’axe

des x, soit qu'il y ait ou non intersection, la distinction des racines nécessite dans cet intervalleun examen plus attentif, auquel rien ne peut PAP L'avantage delarègle,et son principal caractère, c’est qu'elle n'exige que le calcul indispensable ; et surtout qu'étant appropriée à l'intervalle, elle permet de reconnaître krésapirom ptement la nature des racines dans les autres intervalles où deux racines consécutives ne sont pas tres-peu différentes. Si au contraire on faisait dépendre la distinction des racines du calcul de la plus petite différence passible de deux racines consécutives, la recherche exigerait dans ce cas des opérations très-longues et superflues. Dans tous les cas possibles on parvient par l'application du théorème (A) et de la règle(B à séparer entièrement les racines réelles: chacune d'elles. se trouve placée dans un intervalle déterminé, et l’on est assuré qu'aueune autre ne peut y être comprise. Il s’agit ensuite de procéder le plus directement possible au caleul de chaque racine réelle, et d'évaluer exactement la convergence de l'approximation : ces deux questions sont traitées dans le second livre.

(5) L’approximation que nous appelons linéaire est D de: la méthode newtonienne, après que l’on a satisfait à toutes les conditions spéciales qui en assurent et règlent l'usage. Les constructions rendent ces conséquences très-sensibles. On procède à l’'approximation lorsque les trois dermiers indices sont devenus les nombres 0, 0,1, condition qu'il est toujours facile d'obtenir. Il s'agissait ensuite d'éviter toute opération: superflue dans le caleul des racines. Pour cela il était nécessaire de perfectionner la règle élémentaire de la division des nombres. Il faut ordonner le calcul en sorte que les chiffres du diviseur ne soient introduits que successivement, et lorsqu'ils doivent concourir à faire connaître de nouveaux chiffres exacts du quotient. Nous avons donné cette nouvelle règle arithmétique : elle diffère de celle d'Oughtred, qui n'aurait pu satisfaire à notre question. Cette même règle de la division ordonnée pourrait servir à résoudre immédiatement l'équation du second degré; on pourrait même l'appliquer à la résolution des équations des degrés supérieurs.

(6) Il nous restait à mesurer exactement la convergence de l’approximation. [analyse différentielle fait connaître le caractère de cette approximation linéaire; elle exprime la loi suivant laquelle le nombre des chiffres certains croit à chaque nouvelle opération. L'erreur que l'on peut commettre, ou la différence entre la valeur exacte de la racine etla valeur approchée, décroitrapidement. Chaque nouvelle approximation double le nombre des chiffres connus, ou plus exactementajoute aux chiffres déjà déterminés un pareil nombre de chiffres certains augmenté ou diminué d’un nombre constant. La fraction qui exprime l'erreur correspondante à une certaine Opéra tion diminue de plus en plus; elle est le produit du carré de l'erreur immédiatement précédente par un facteur invariable et donné.

L'approximation linéaire est représentée par un système de tangentes suCCessives.

L'approximation du second ordre est celle qui résulte du contact des arcs de parabole; elle a un caractère propre que l'analyse précédente fait aussi connaître. La convergence est beaucoup plus rapide: l'erreur correspondante à une opération est le produit d’un facteur constant par le cube de l'erreur précédente. On démontre assez facilement cette conséquence pour l'approximation du second ordre, mais la même considération ne pourrait pas s'étendre aux approximations de tous les ordres, parce qu'on aurait à résoudre par des formules analogues à celle de Cardan des équations élevées. Désirant connaître exactement le degré de convergence des approximations des divers ordres, et le facteur constant qui leur est propre, j'ai employé pour cette recherche une analyse très-différente qui n'exige point la résolution en fonction de radicaux. J'ai déterminé par la règle qui a recu le nom de parallélogranime analytique les premiers termes des racines des équations littérales. Nous n'avons traité de ces équations que dans notre quatrième livre, mais Jai appliqué d'avance à la question actuelle les règles qui y sont démontrées , et l'on trouve par ce moyen la mesure précise de la convergence des approximations qui dépendent du contact de tous les ordres.

Le résultat est très-simple, et complètement exprimé comme il suit:

l'erreur correspondante à chacune des opérations qui se succèdent décroît comme les puissances d’une très-petite fraction; elle est pour l’approximation d’un ordre quelconque z égale au produit de l'erreur I fx