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en désignant par x une certaine valeur qui demeure toujours la même: la fonction /°x au dénominateur est toujours la première fluxion de Ja variable; : marque l’ordre de la différentiation. Au reste, nous ne

précédente par un facteur constant. Ce facteur est—

considérons ici cette question que sous le rapport théorique, afin qu'il ne reste rien d’inconnu dans l’examen des approximations algébriques. Lorsque l’on compare entre eux des procédés qui sont tous également exacts, c’est le plus simple et le plus facile que l’on doit choisir dans la pratique. C’est ici l’approximation linéaire telle que nous lavons expliquée plus haut.

(7) Nous avons aussi considéré sous divers points de vue la question qui a pour objet de distinguer avec certitude les racines imaginaires : cette recherche est dans la théorie des équations un point capital qu'on ne peut pas trop éclairer. Premièrement toute la difficulté consiste à reconnaître le signe du résultat que l’on obtiendrait en substituant dans une fonction donnée une valeur non-exactement connue, mais seulement très-approchée, d’une racine « qui réduit à zéro une fonction donnée x. Si cette fonction n'était point la fluxion du premier ordre fx, on connaïtrait le signe cherché par les principes démontrés précédemment, et la même conséquence s'applique aux fonctions d’un nombre quelconque de variables. Mais dans le cas singulier où la fonction que « rend nulle est la première fonction dérivée fx, le signe du résultat demeure incertain. C'est ce qui arrive lorsqu'après l'application du théorème (A), on se propose de reconnaître si les deux racines cherchées sont réelles ou imaginaires : il fallait donc résoudre cette ambiguité dans le cas singulier où la fonction dérivée est fx. Nous avons donné une première solution de cette question, et l'application est générale et facile ; mais J'ai voulu remonter à l'origine même de cette difficulté, et connaître s’il n'existe point d'autre solution. Or il résulte de cetexamen

que si l’on remplace la fonction f'x par fx + f'x, l'incertitude ne subsiste plus : on ramène ainsi la question à un cas plus général, et l’on découvre par ce moyen un procédé très-simple qui fait connaître la nature des deux racines cherchées.

Secondement on peut encore résoudre cette même question en faisant usage de l’approximation du second ordre. On considère le contact des ares de parabole qui coincident avec la fonction principale, aux deux extrémités de l'intervalle dans lequel on cherche les deux racines. Nous formons ainsi une règle générale pour distinguer très-rapidement les racines imaginaires : on y parvient même par cctte voie avant que les limites ne soient aussi. rapprochées ‘que l'exige la règle de l’article 5; mais l'extrême simplicité de cette règle de l'article 5 en rendra toujours l'application préférable, si ce n’est dans des cas particuliers qu'il est facile de reconnaître.

(8) Les principes que l’on a démontrés dans les deux livres précédents s'appliquent facilement, et dans tous les cas possibles, à la distinction des racines imaginaires et au calcul des racines réelles. Ces méthodes suffiraient à l'objet de nos recherches si l’on ne considérait que le but de la résolution, qui est la connaissance effective des racines. Mais ces questions, quise rapportent aux fondements mêmes de l'analyse , doivent être traitées sous différents points de vue; car un objet principal n’est bien connu que si l'on se forme une idée juste de ses rapports avec tous ceux qui l’environnent. C’est pour cela que nous avons examiné les autres méthodes qui pourraient servir soit à la distinction, soit au calcul des racines. On découvre par cette comparaison les principes communs à toutes ces méthodes, et l'on acquiert ainsi des notions générales qui perfectionnent la théorie. Ces dernières considérations sont ex posées dans le troisième livre,

On remarque d'abord que lorsqu'on est parvenu à séparer les racines réelles , en sorte que chacune d'elles se trouve seule dans un intervalle distinct, on peut développer la valeur de la racine par des procédés très-différents qui donnent une connaissance complète de la valeur cherchée. L'expression en chiffres décimaux est

la plus usitéeet la plusclaire. La méthode que nous avons expliquée donnant toujours deux valeurs qui ne diffèrent que par le dernier chiffre, et dont l’une est plus grande et l’autre moindre que la racine cherchée, il ne reste rien d’incertain. Mais ce développement élémentaire n’est pas le seul que l'on puisse déduire de l'équation algébrique; on pourrait aussi résoudre la racine, soit en fractions continues , soit en fractions de l’unité assujéties à un certain ordre que l’on peut choisir à volonté.

Par exemple, une racine étant un nombre irrationnel dont on veut développer la valeur, en exprimant par « la fraction qui doit compléter cette valeur, on pourrait chercher d’abord combien de fois l'unité contient cette fraction. On déterminerait le premier reste à. En le comparant ensuite à l'unité, et connaissant combien de fois ce premier reste y est contenu, on trouverait la valeur d’un nouvéau reste çc. On porterait de nouveau cette fraction c sur l'unité, et l’on continuerait ainsi indéfiniment de comparer chaque reste à l’unité, et non au reste précédent, comme on le fait dans le calcul des fractions continues. Cette opération, indéfiniment prolongée, donne

un développement de la forme « — nd nd etcs P P:-9 2:97 P:-qg:.7.8

P>9»r,s, etc. sont des nombres entiers que l’on détermine facile-

ment. La valeur de 4 est toujours comprise entre deux limites qui ne diffèrent qu'en faisant varier d’une unité le dernier de ces nombres entiers : ainsi l’approximation est complète et très-convergente.

On pourrait encore choisir une suite M, N, P, Q , etc. de multiples de l’unité, et comparer la valeur « qu'il faut développer au premier multiple, et les restes successifs aux autres multiples; ainsi de suite. |

On peut aussi comparer de la manière suivante la fraction + avec l'unité. Supposons que « soit contenue un nombre à de fois dans