Exemple : soit l'équation
entre les variables indépendantes :r et y et la fonction z, On a ici
if 2.V
DV 2 3y» ~ î»'
DV 2 3*> c»'
c^JTc^S-
c^cTt)^
d'où Ton déduit, en portant ces valeurs dans les formules (13) et (15) :
aH^z'
lléter mina lits foiiclioniiels
97. On nomme déterminant fonctionnel d'un système de n fondions
de n variables indépendantes :r^, ..., x.^, le déterminant
formé avec les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions. C'est Jacobi qui l*a introduit dans l'analyse et qui en a fait connaître les principales propriétés.
Voici la plus importante :
Pour que les fonctions ^^j,..., u^ne soientpas indépendantes, il faut et il suffit que leur déterminant fonctionnel i soit identiquement nul, quelles que soient les valeurs de x^, ..., x„.
Pour fixer les idées, nous prendrons n = 3. Les fonctions considérées seront alors
^^2 ^"^ /a V^\ » ^2' ^3/ «3= fz (^<» ^21 ^3)
et leur déterminant fonctionnel
Cela posé, si w,, xl^, 1/3 ne sont pas indépendantes, il existera entre elles une relation que Ton peut supposer résolue par rapport à Tune de ces quantités, à m, par exemple; on aura donc:
et Ton en déduira,endifférentiantsuccessivement par rapport à y,, x.it -^37 l^s équations
'bu. Dcp Du^ <)a) <)Ma
103 CHAPITRE Vil
qui, par l'éliminatioa de ^ et de :^ t donnent
Ainsi la condition énoncée est nécessaire. Il resle à montrer qn*elle est sofBsante.
Soit donc J = o, et supposons d*abord que tous les premiers mineurs [obtenus par la suppres>ion simultanée d'une ligne et d^une colonne] ne soient pas nuls : soit<. par exemple*
dXj
Les deux dernières équations 16)
Uj = /j ./*^, J?j, Xj f
détermineront ^2 et r^ comme fonctions implicites de t,, //.> et 2/3 (n* 91;, et en différenliant par rapport à x, chacune des équations (18), on aura les relations
qui, puisque J, n'est pas nul, dtHermineront les dérivées partielles
Mais, si dans la première équation (16)
on remplace les fonctions x.^ et ^-3 par leurs valeurs en x,, Wo, y/j,
on aura
et, par suite,
Dj7| "" ^x^ ~^ Da?j ^x^ "•" )>x^ ^x^
Cela posé, rélimination de ~^et de —^ entre Téquation (21)
^Xi
^Xi
et les deux équations (19) donne
Dr,
•^j:.^ Da?a
Do;,
Da?j Da?,
Dojj DoJj
c'est-à-dire
* Do?,
Comme J est nul sans que J| le soit, il faut que r-^ soit
ÔXi
nul, c'est-à-dire que x^ ne figure pas au second membre de Téquation (20), laquelle se réduit à
ti, = ^ (e/j, M3)
et montre que i/j, 21.2, u^ ne sont pas indépendantes.
Examinons maintenant le cas où tous les premiers mineurs de J sont nuls.
Les éléments de ce déterminant J ne pouvant être tous nuls, sans quoi les fonctions se réduiraient toutes à des constantes, nous pourrons supposer, par exemple, que
est différent de zéro.
La dernière des équations (16)
«3 — /'j (i^i, û?^, ûîa)
déterminera 0:3 comme fonction implicite de x,, ^2, 1/3; et, en différentiant cette dernière équation successivement par rapport à Xj et à x^^ on aura les relations
qui, puisque^ n'est pas nul, déterminent les dérivées par-
« • Il 0X0 0X0 tielles —^j --^•
Mais, si dans la première des équations (16)
on remplace 2^2 P^^* ^^ valeur en fonction de Xj, ^2, M3, on aura
et, par suite,
^ajj <^^2 *^^3 ^^1
Cela posé, si Ton porte dans ces deux équations les valeurs de -^j --^ tirées des équations (22), on obtient
vXê cXa
c^a?| Da?3 <)a7, <^a?3
et
