CV3 ^F
^a?3 c^ajj
et, comme les seconds membres sont nuls sans que -^ le soit, il faut que — et ^ soient nuls, c'est-à dire que la
vXi v To
relation (13) se réduise à
Nous sommes parti de la première des équations (13) ; en partant de la seconde et raisonnant de même, on verrait qu'on a aussi
Les fonctions «/,, î/.,, u^^ ne sont donc pas indépendantes.
La démonstration est instructive en ce qu'elle donne les conditions pour qu'il y ait une, deux... relations entre les fonctions t/^, ..., </»•
Ott« Exemple : soient les fonctions :
Mj = a?, — 2a?2 + 3^73
Leur déterminant fonctionnel est
2a?j — a?3, Xy + 2^73, — ^1 + ^^2 — "^^3
En le développant par rapport à la dernière ligne, on obtient l'expression
qui est identiquement nulle ; donc les fonctions proposées ne sont pas indépendantes. En outre, il est bien évident que le ijlineur résultant de la suppression de la dernière ligne et de la dernière colonne est différent de zéro ; donc il n'existe qu'une relation entre Mj, t/.,, W3.
Il est aisé de constater que cette relation est:
u\ — mJ = 4m,.
Division de la question. — Lemme préliniinaii^e
99. On a souvent besoin, dans le cours d'une recherche, de remplacer les variables primitives par d'autres ayant avec elles des relations données qu'on nomme formules de transformation.
Pour procéder du simple au composé, nous distinguerons quatre cas, suivant qu'il y a une ou plusieurs variables indépendantes, et selon que le changement ne porte que sur cette variable ou sur les variables, ou qu'il atteint aussi la fonction.
100. Avant de traiter ces quatre cas, nous résoudrons la question préliminaire que voici :
y étant une fonction (Vune variable indépendante x, on demande d^ exprimer les dérivées successives y\ y\ y"\ ..., de y par rapport à x en fonction des différentielles de x et de y considérées comme fonctions d'une même variable indépendante quelconque non spécifiée.
On sait d'abord que la dérivée première y' est égale au quotient de dy par dx.
En appliquant dès lors à la fraction
la règle de différenliation d'un quotient, on obtient
d'où
dy ou y'dx = ^^ ^1
dxfpy — dyd^x
La même règle appliquée à celte nouvelle fraction donne ^ n V — ^^^ Jf^^f^y — dyd^œ) — Zdx^d^x {dxd^y — dyd^x)
QX
d'où
„ dx [dxd?y — dyd^x) — Zd^x [dxd^y — dyJPx) . .
^ - dx^ ' ' ^^^
cl: ainsi de suite.
On voit que y'"^ s'exprime en fonction de dx^ (Px, ..., rf"a*,
Premier problème :
changement de la variable indépendante
lOI. Soit V une expression renfermant une variable indépendante x, une fonction y de cette variable et les dérivées successives y\ y\ y'"\ Que devient Vexpression V quand on substitue à la variable indépendante x une autre variable indépendante /, liée à x et à y par une relation flonnée ?
On commencera par transformer, à l'aide des formules (1), (2), (3),..., l'expression V en uneaulre Vj, où la variable indépendante ne sera pas désignée. V, contiendra jr, y et leurs diflFérentielles successives, et il restera à chasser de cette expression x et ses différentielles; on y parviendra en tirant jr, dx\ (Px, ..., de la relation donnée et des équations qui résultent de la différcntiation de cette relation de transforma-
lion; on aura soin, dans ces différentiations successives, de considérer / comme la variable indépendante, c'est-à-dire de supposer dl constant.
Si la formule de transformation a la forme simple
on aura
dx=f (t) dt, d^x = f\t) dl^,
Si la formule de transformation a la forme générale on aura, pour calculer rfx, d^x^ ..., les équations
etc.
