Exemple. — L'expression

log(e^ — e'') log (a? — a)

se présente sous la forme ^ pour x el a. Sa vraie valeur est

Remarques diverses

195. Les réciproques des deux théorèmes précédents ne sont pas vraies; en d'autres termes, si le rapport (1) des deux fonctions, qui deviennent simultanément nulles ou infinies pour x = a, tend vers une limite, on ne peut pas affirmer que le rapport (2) des dérivées tende vers la même limite.

Par exemple, le rapport

. sina;

X — smx X

X 4^ sÏTïx . , sina:

a pour limite 1 pour x = oc , tandis que le rapport des dérivées

1 — coso? ^x

1 + cos a? "^ ^^2

ne tend vers aucune limite déterminée, lorsque x croît indéfiniment.

196. Soit a une quantité finie; si f{x) devient infini pour a: = a, il en est en général de même pour sa dérivée. On s'en rend compte aiscment. En efTet, la courbe j^ = / (a:) admet, dans ce cas, une asymptote ar = a, parallèle à l'axe

des y ; mais la tangente à cette branche de courbe tend vers Tasymptole quand l'abscisse du point de contact tend vers a; le coefficient angulaire /' {x) de cette tangente devient donc infini pour a: = a.

Si f{x) est nul pour a: = oo , il en est de même en général de sa dérivée. En effet la courbe y = f{x) admet alors Taxe des x pour asymptote, et, comme la tangente à cette branche de courbe tend en général vers cette ay m ptote quand Tabscisse du point de contact croît indéfiniment, le coefficient angulaire /' [x) de cette tangente devient nul pour x = ce .

Il résulte de ces deux observations que les règles données aux numéros 192 et 193 ne font en réalité que substituer un problème à un autre du môme genre. Mais ces règles ne perdent pas pour cela leur utilité, vu que le nouveau problème peut offrir des difficultés moins grandes que le premier.

Forme 0 . oo