IL

et qui, pour ?/ = oo , se présente sous la forme ^. En prenant le rapport des dérivées

^ eP

P on trouve

lim œPe~-'f^ = o.

En faisant dans cette formule x= log/, puis /= -> on

obtient les deux suivantes

lim ^hSJÏ, =:: o, lim z^ (log z)p=:o, (4)

qui sont parfois utiles.

Forme oo — oo

1 99* Pour trouver la vraie valeur de là différence

y = f{x) — f{x) de deux fonctions qui deviennent simultanément infinies

pour une valeur particulières de la variable, on écrit celte différence y sous la forme

f [x] Si le rapport '-p^) qui est le premier terme de la parenthèse

et qui se présente sous la forme ^, ne tend pas vers 1 lorsque x tend vers a, Tepxression y deviendra infinie. Si le

f [x] rapport —j-f> tend vers 1, y prendra pour x == o la forme

00 . 0, que Ton traitera comme nous l'avons dit au n® 190. :200. Exemple. — Trouver la vraie valeur de la différence

pour X = oo .

Ici le rapport

tend vers 1, quand x croît indéfiniment. L'expression

s'offre donc sous la forme oc . o, pour x = oo , et il s'agit

(le trouver sa vraie valeur, ou, ce qui revient au même, en

posant - = u^ de trouver la valeur pour if ^ o de Texpres-

du

sion

qui se présente sous la forme j- L'application de la règle de

\wr^i ■ • — '."»••

L'Hospital, si Ton observe que la dérivée du radical est

donne pour la vraie valeur demandée la moyenne arithmétique

n des quantités û,, a.,, ...,«„.

Formes O'*, 1 , oo

^Ol. Suivant qu'on a

ou

ou

l'expression

dans laquelle f{x) est supposée positive, se présente, pour jr = a, respectivement sous la forme

Pour trouver alors sa vraie valeur, on cherche la valeur de son logarithme, sauf à remonter ensuite du logarithme au nombre correspondant.

Or le logarithme de (3) est le produit

ot dans chacun des trois cas ci-dessus ce produit se présente

SOUS la forme o . oo . On sera ainsi ramené au problème du n^ 196.

Voici quelques exemples :

1** Soit y = 3f^ Texpression dont on demande la vraie valeur lorsque x tend vers zéro par des valeurs positives.

On a

, - loffa?

logy =: X loga? = — y— ^

et comme le rapport des dérivées est égal à — ur, logy tend vers zéro, et, par suite, y tend vers 1.

2** Soit y = (1 -I- dxYy qui, pour j:= o,se présente sous la forme 1*.

On a

et comme le rapport dos dérivées est égal à ;j > lûgy

tend vers a, et par suite y tend vers e",

3° Soit y == ( 1 H — \ l'expression qui se présente pour X ^ o sous la forme oo°. On a

logy = X log^^l + -j = ï '

jr

et comme le rapport des dérivées est égal à r? logy

ttf I T.

tend vers zéro, et par suite // tend vers 1. 12022. Si, pour x = a^ l'expression

où M et V sont des fonctions de x, se présente sous la

forme 1* , tandis que l'expression

admet une limite déterminée A*, la vraie valeur dey sera e*. En effet, on peut écrire

d'où, pour X = a,

lim . y = e""* = 6*.

Voici deux exemples:

!• Soit

fx^ + 6^ +. SV

qui, pour x = x , prend la forme 1*.

Comme

a pour limite 4 pour a: = oo , la vraie valeur de y est ^*. 2^ Soit

y = (o7 + sino: + cos.'t)"*»"*^*,

qui, pour a: = o, revêt la forme 1*.

Comme

X = cotango? (a? + sino? + 00807 — 1) =coso7 -: — + 1 — tanga pour limite 2 pour x = o, la vraie valeur de y est é^.

208 CHAPITRE Xll

Emploi des séries

:203. Le développc^ment en séries constitue un procédé très souvent fort commode pour la résolution du cas d'indétermination. Voici quelques exemples :

1" Soit proposé de trouver la vraie valeur de Texpression

y=n^[log(l+-^)-i]-

pour /i = 00 .

Cette expression se présente sous la forme x . o. Mais on a,

pour n >• 1,

et par suite

La vraie valeur de y est donc — ^•

2*^ Trouver la vraie valeur de Texpression

X /j«in r

^ X — sina'

pour X = o.

On peut écrire, en posant x — sin ;r = u^

. e« — 1 ou en remplaçant ^" par son développement en série

La vraie valeur do y pour x = qo est donc 1.

3** Soit encore à trouver la vraie valeur de l'expression

t/ = Va?' — 5a? + 6 — \lx^

pour jo = oo .

On développera les radicaux par la formule du binôme

relative à l'exposant-'

OÙ a est supposé plus petit que 1 en valeur absolue. Or celle quantité a est pour le premier radical

et pour le second

Comme il faut faire tendre x vers Too , on peut toujours supposer x assez grand pour que chacune des deux quantifias précédentes soit moindre que 1 en valeur absolue. La formule du binôme est donc applicable, et Ton a

y/ar'^ — ojc+^^xi/i

x^ !2 Ha: iCwc'^

ru i /i * — i J- -L-

Va; —X a? y/ 1— -a;-^ — g^ — ^^.^2- •• '

d'où

ce qui montre que la vraie valeur de y est — 2.

4* Cherchons enfin la vraie valeur, pour x = o, de

CAUCri- INFLXTTÉSIMAL. U

l'expression

log(i 4- a? 4- a?^) + log» (i — ^ + ^^) ^ sec a? — coSiT

qui se présente alors sous la forme -•

On peut récrire

/ X \M0g(l +07» + J?*) y = ces J:- . -: ) —^^ ô ' '•

^ \&\nxj or

Comme les deux jiremiers facteurs tendent Tun et l'autre vers 1, lorsque tend, vers zéro, la vraie valeur de y sera la même que celle du troisième facteur, lequel devient, par le développement en série du logarithme,

i Vx^ + x^ , [x^ + x^Y . 1

et par suite a Tunité pour limite.

La règle de L'Hospital, appliquée sans modification à la forme primitive de y, eût exigé deux différentiations successives et donné lieu à un calcul beaucouj) moins simple que celui que nous venons de faire.

Vraies valeurs des ffonetions de plusieurs variables