Lorsque le rapport

de deux fonctions de plusieurs variables se présente sous la forme :- pour un système de valeurs a, h des variables j:, y, la vraie valeur de ce rapport est généralement indétermi-

née ; elle dépend de la loi suivant laquelle a; et y tendent respectivement vers a et b.

En eiîet, si Ton pose

a? = a -f- p/, y z=i b -\- qt, (6)

/> et y désignant dos constantes arbitraires, le rapport ti devient une fonction

cp [a +pt,h + qt) ^ '

(le la variable unique t, qui, pour t. = o, se présente sous la forme -•

l/application de la règle de L'Hospital donne alors

valeur que la présence des arbitraires/) et q rend indéterminée. Toutefois, si les dérivées partielles des fonctions / et 9 sont proportionnelles,/) et q disparaissent, et Ton a

lim u =:t- = — > (9^

qui est en général déterminée.

Si les dérivées partielles

sont toutes nulles, le second membre de (8) se présente à

son tour sous la forme - ; une nouvelle application de la règle de L'Hospital donne alors

lim W = r^ r^ -rr"! l lOy

valeur que la présence de p et q rend indéterminée, à moins que les dérivées partielles du second ordre des fonctions / et 9 soient proportionnelles, et ainsi de suite.

11 va sans dire qu'au Heu d'appliquer la règle de L'Hospital pour trouver la vraie valeur de (7) pour / = o, on peut (n® 203j avoir recours aux développements en séries et à des transformations que suggère l'habitude du calcul.

•205. Exemples :

1*" Soit l'expression

a? + oy — b

qui se présente sous la forme -> pour j:=z y = \, On a ici

et par suite, à cause de « = /> = 1,

dont rindétermination est manifeste.

La fo

rmule

donne

alors pour

la limite de

l'expros-

sion

pH-7

FORMES INDÉTERMINÉES âl3

2** Soit l'expression

tan^o? tan^.v — i

qui, pour x ^ y = |j se présente sous la forme j.- On a ici

èjC — ta» g y V ___ tang£ ^ ^^

et, à cause de a == A = j ;

î)a ' D«> ' D« "" 4' Dô "~ V

Les fonctions /et 9 ayant leurs dérivées partielles proportionnelles, la formule (9) donne

lirau = -• (14)

3* Soit l'expression

qui, pour x = y = 1, se présente sous la forme r- On a ici

^f ?/^>i\ ^.3. ^o/^2 ix ^ ^>

d'où, à cause de a = 6 = 1,

— - :rr O -^ — — i — *- — O — *■ — i

et enfin, d'après la formule (8),

lim u = = — r- (16)

4** Soit enfin l'expression

qui, pour a: = y = o, se présente sous la forme ^^

L'emploi de la règle de L'Hospital exigerait ici deux applications successives, vu que les dérivées partielles du premier ordre sont toutes nulles pour x = y = o. Mais en posant X = pi, y=pt^ on a, suppression faite du facteur commun fi.

lim M r= ^\ ' ^/

qui met tout de suite en évidence l'indétermination .

é206. Nous terminerons par une n^marque importante : Ce serait une erreur de croire que, pour trouver la

vraie valeur du rapport (5), qui se présente sous la forme -

pour ^ = a et y = A, on a le droit de faire successivement a: = a, puis y = b, ou bien i/ = b, puis x =a. Il faut introduire ces valeurs siynultanément, sans quoi on risquerait de faire disparaître une indétermination qui existe réellement.

Un exemple suffira pour mettre ce point hors de doute.

Reprenons l'expression (11). En faisant d'abord a: = l, l'expression devient

^ Cv - 1)'

qui, pour y = 1, se présente sous la forme r et a, d'après la

règle de L'Hospital, pour valeur-- Si. au contraire, on fait

d'abord ;y ^ 1, on tombe sur Texpression

qui, d'après la règle de L'Hospital, a pour valeur 1. La contradiction est flagrante; bien plus, aucune des deux valeurs

trouvées ^ et 1 ne convient, Tcxpression (11) étant réellement indéterminée pour x = y = 1 .

Cas d'une fonction explicite d'une seule variable

indépendante

^07. On dit qu'une fonction ç {x) est waxiîmrm pour une valeur a de la variable x, lorsqu'on peut trouver un nombre positif £ tel que la différence

soit négative pour toutes les valeurs de h comprises entre — e et s.

Lorsque, dans les mômes conditions, la différence (1) est positive^ on dit que la fonction est tninimvm pour a: = a.

â08. D'après ces définitions, si 9 (a) est maximum, <^{x) croît dans Tintervalle [a — s, a), puis décroît dans Tintervalle (û, a +5); tandis que, si <^[a) est minimum, <^[x) décroît dans le premier intervalle et croît dans le second.

Donc (n*" 43 et 44) la dérivée o [x) paisse du positif au négatifs lorsque x atteint en croissant^ puis dépasse la valeur a qui rend ç {x) maximum; elle passe, au contraire n du négatif au positif lorsque x atteint, jmis dépasse la valeur a, gui rend ç (x) minimum.

Les réciproques sont vraies : Si la dérivée passe dit positifau négatif, la fonction, croissant d'abord, puis diminuant, passe par un maximum; et, si la dérivée passe du négatif

au positifs la fonction^ décroissant d'abord, puis augmentant, passe par un îninimum,

209. Nous supposerons dans ce qui suit que la dérivée f{x) est continue^ dans le voisinage de a, La dérivée ne peut alors changer de signe qu'en s'annulant, et- les propositions démontrées au numéro précédent conduisent à la règle suivante

Pour qu'une fonction s [x) soit maximum (ou minimum) pour X = a, il faut et il suffit que sa dérivée ^' {x) s'annule pour cette valeur fie x, en passant du signe 4- au signe — (ou du signe — au signe +), lorsque x atteint et dépasse a.

Cette règle exige l'étude des variations de signe de la dérivée dans le voisinage de chaque racine réelle de a de l'équation ^'[x] = o. Cette discussion n'est pas toujours aisée; aussi trouve-t-on souvent avantageux de substituer au critérium précédent une autre règle exigeant seulement la connaissance du^ signe que prend, pour j: = a, la première des dérivées ?'(«), ç'fcr)..., qui ne s'annule pas pour cette valeur de x.

•210. Avant d'indiquer cette seconde règle, nous devons faire une remarque importante.

Si une fonction f{x) est continue^ mais différente de zéro^ pour X = a^ f[x) conserve un signe constant dans le voisinage de a.

En effet, soit s un nombre positif, et x une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a — £, ^ -H s)- En vertu de la continuité, on peut prendre s assez petit pour que l'on ait

u étant aussi petit qu'on voudra en valeur absolue. En particulier, comme f[a) n'est pas nul, on peut prendre e tel que I « I soit inférieur à | /(a) | . C'est donc f[a) qui donne son signe au second membre de (2), et par suite au premier

1 Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; on doit les traiter directement dans chaque question particulière.

membre ; f[x) a donc le signe de f[a) dans Tintervalle considéré.

2211. Cela posé, soit a une racine réelle de Téquation

(^' (^x) = o, et supposons que 9 (a:) et ses dérivées successives soient continues dans un intervalle {a — A, a -f- A), comprenant la valeur a ; enfin soit p Tordre de la première des dérivées successives qui ne s'annule pas pour a: = «, de telle sorte qu'on ait :

Dans ces conditions, la formule de Taylor donne

cp (a + A) ~ cp [a) -^ ^— |^ ^^'^ [a + OA), (3)

où ô est compris entre 0 et 1. D'ailleurs, puisque 9^''^(oc) est ccHitinu et différent de zéro pour x^^ a^ on pourra (n°210) restreindre h de façon que (^^^^{x) conserve dans Tintervalle considéré le signe de ff{a). D'après cela, et en vertu de la formule (3), si p est impair, la différence ^(rt -j- A) — f^[a) changera de signe avec A, et il n'y aura ni maximum ni minimum. Au contraire,. si p est pair, la môme différence conservera le signe de ^^[a). Donc (n° 207) il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe est — ou +.

De là cette règle :

Pour qu'une fonction 9 [x) soit maximum on tnimmum pour X ^ a, il faut et il suffit que la première des dérivées de 9(j:), qui ne s'annule pas pour x == a, soit d'ordre pair. Alors, il y a maximum ou minimum^ suivant que cette dérivée d'ordre pair est négative ou positive pour x = a.

Exemples

éitàî» Soit proposé de trouver les maxima et les minima dfi la fonction

^[x) = [x -' a^) {x — a^) ... {x — an), (4)

où a|, ao, ..., a„, désignent n quantités distinctes et rangées par ordre de grandeur croissante.

En vertu du théorème de RoUe, chacun des intervalles :

(«,, «2), («2, «.,), ... (««-4, Un)

renferme au moins une racine réelle de l'équation 9' (j:) = o, et il n'en contient qu'une, puisque le nombre des intervalles est égal au degré de cette équation. En désignant par a^, a.,, ..., a„^, les racines de <^' [x) = o supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on aura

t^'{jXf) z= n{x — ^\) {^ — ^2) ••• (^ — ««-O-

Gela posé, faisons croître x d'une manière continue de — 00 à + X .

Si n est impair, ^'{x)^ d'abord positif, change de signe chaque fois que x atteint et dépasse l'une des quantités a,, «2, .-., 0Ln^\ ; donc <^{x) est maximum pour x =-^ a|, minimum pour X = x,, maximum pour x = xj, ..., enfin minimum pour X = a,i j.

Si n est pair, 9' (x), d'abord négatif, change de signe chaque fois que a: passe par Tune des quantités a,, x^, ..., a„j. Donc f (x) est maximum pour x = a^, minimum pour x = a.^î maximum pour x = x^, ..., enfin maximum pour x = ol„^.

2213. Trouver les maxima et minima d'une fonction ayant pour dérivée

OÙ p est un nombre entier positif, et /(.r) et F (a:) deux polynômes entiers ne s'annulant pas pour j: = a ; quelles sont les conditions pour que 9 (a) soit un maximum ou un minimum, ou ni Tun ni l'autre?

Si p est pair, comme f{x) et F [x) ne changent pas de signe pour «r = a, la dérivée ^' [x] ne change pas non plus; il n'y a donc ni maximum ni minimum.

Si p est impair, (« — ay passe du négatif au positif pour X = a\ donc o{x) est minimum ou maximum, suivant que

fia) ' V[a)

est positif ou négatif.

On voit que la règle du n° 209 est d'une application facile, lorsque là dérivée 9' (.r) est le quotient de deux polynômes entiers.

âl4. Trouver le minimum de x*, x étant positif. La fonction étant minimum pour la même valeur de x que son logarithme, nous poserons

^(.r) = loga;* = x loga?, (6)

d'où il résulte

^'{x) = 1 + logar.

Cette dérivée s'annule pour log^c = — 1, c'est-à-dire pour

a: = — D'ailleurs o(x)=:- étant égale à ^, c'est-à-dire

positive pour .r ==-î on voit par la règle n* 211 que x* est minimum pour celte même valeur de x,

â 1 5* Trouver le minimum de r expression

cp(a7) ^= Éî^ -f- É'-* 4- 2 coso:. (7)

Sa dérivée

{jp' [x) = e^ — e-' — 2sina?

s'annule pour x = o\ mais cette valeur x = o annule aussi les d<^rivées

çp" (or) -=6^ '\-' e-^ — 2 coso:, et

<p'" (.r) = e* — ^ -* + 2 sin.r,

tandis qu'elle rend la dérivée quatrième

<p»^ (a-) =z e^ -\- e-^ + 2 cosa?

positive et égale à 4. Donc (n** 2H) ^(.r) = 4 est un minimum de 9 (x).

Il est aisé de voir d'ailleurs que jr = o est la seule racine réelle de (p'(a:) = o ; en effet, si on remplace, dans (p'(j"), ^', /»"' et sinj; par leurs développements

ips

SiHOS

on obtient Texpression

dans laquelle le facteur entre parenthèses est constamment positif; ^'(x) ne s'annule donc que pour x =-^ o\ or, comme alors cette dérivée passe du négatif au positif, on retrouve, par l'application de la règle du n° 209, les conclusions que nous a données, dans Talinéa précédent, l'application de la règle du n° 211.

12 1 C>. Deux milieux étant séparés par un plan horizontal P, la lumière se meut dans le premier inilieu avec une vitesse constante w, et dans le second milieu avec une vitesse consiantf V. On demande quelle route la lumière doit suivre pour

aller ^ dans le temps lé plus courte fruu point A du premier fnilieu à un jmint B du second.

Soient A' et B' les projections des points A et B sur le plan P. Le chemin demandé, qui se compose de deux portions do droite, est situé dans le plan vertical AA'B'B; en effet, soit G un point situé sur le plan P en dehors de la droite A'B', et L la projection de G sur A'B', on aura AL < AG et BL •< BG, en sorte que la lumière mettra moins de temps à suivre le chemin ALB qu'à décrire le chemin AGB.

Tout revient donc à chercher sur AA' le point H, tel que le chemin AHB soil parcouru dans le temps minimum.

Désignons par IX la verticale du point H, et posons AA' = a, BB' = b, A'B' = d, AUX =-~ i, BHI = /•.

/ J wX

Fio. 6.

Le temps a rendre minimum a pour expression

u cos i V cos r

/ et r étant liés par la relation

d =^ a tangî +• b tangr.

Donc, en égalant à zéro la dérivée par rapport à i de l'expression (8), et désignant par / la dérivée de /• par

rapport à t^ on aura Téquation

a sini , b sinr , . ,,

u cos^ 2 î? cos^r '

à laquelle il faut adjoindre celle qui provient de la différentiation de la relation (9)

F^'éliminalion de / entre (10) et (11) donne immédiatement

smt u

sinr V

pour la condition du minimum.

Reinai*que impor tonte

21 T. Souvent la variable jr, au lieu de pouvoir prendre toutes les valeurs possibles, est astreinte à rester inférieure ou supérieure à certaines limites. Alors, a désignant j'une quelconque de ces valeurs extrêmes, ^(a) peut être un maximum ou un minimum, sans que a soit une racine de Téquation dérivée ^' [x) = o.

Considérons, par exemple, le cercle x- -f- //' = W et un point A(ô, o) différent de l'origine. La distance \M d'un point quelconque M [x, y) du cercle au point A devient maximum pour j: = R et minimum pour x = — R; et, cependant, aucune de ces valeurs extrêmes de x n'annule l'équation dérivée, puisque la dérivée de l'expression

kW == R2 + a'i 9aœ

se réduit à — 2a.

Pour avoir un exemple plus complet, reprenons la ques-

224 CHAPITRE Xni

tion précédente, en remplaçant le cercle ï- -H y- = H- par lu parabole y- — 2p.T = o. On a alors

ÂM- = (3. - «)î + r' = (.,■ - a)^ + 2/).r,

et l'équation dérivée se réduit à

dont la racine unique a — p doit ?tre rejetée, si a est inférieur kp, puisque la variable r est astreinte A rester positive. Si a est supérieur à p, la racine « — p est l'abscisso commune à deux points Mj et M.^ de la parabole, symétriques par rapport il l'axe o.r. Comme la dérivée seconde est positive, AM, et AM,j sont des minima de 1b distance AM. Maïs cette dislance AM possède encore évidemment un maximum ou un minimum; c'est la distance AO du point A au sommet 0, laquelle est un maximum ou un miaimum, suivant que le point A est intérieur ou extérieur h la parabole. Or la règle du n° 2i)9 laisse écliapper cette solution, puisque la dérivée ne s'annule pas pour x = o.

SI 8. 11 est aisé de trouver la raison de la singularité dont nous venons d'indiquer deux exemples.

La déHnition du n° '.^07 et tes raisonnements qui ont conduit à la règle 2it9 supposent que, ^i ^.(a) r.st un maximinti, la dî/férencp ^[x-\-h) — ^(a) est négative, quel que soit le sifjiie ilt- la qiiantitv tirs petite h. Or l'ar^roissonienl h a un signe déterminé pour x ^ a, puisque a est nnc limite iiirérieure ou supérieure de la variable x. Les raisonnements fondés sur ce que le signe de h est arbitraire ne subsistent donc plus.

;S1!>. La singularité dont il s'agit ne saurait se présenter si, au lieu de l'abscisse :r du point M, im clioisit une variable n susceptible de prendre toutes les valeurs possibles, car alors la théorie exposée aux n" 209, 210, l'il, est applicable. En posant j? ^ ■; (m) et désignant par V la

MAXIMA ET MINIMA 2i5

fonction ^{x) dont on cherche les maxima et les minima, on a

rfV et la présence du facteur <J;' (u) montre que -j- peut s'annuler

sans que <^'{x) s'annule.

Dans le premier exemple du n* 217, si Ton pose

X = R cosu, on a

f {x) = — 2a, f (u) = — R sin m,

et par suite

-7- = 2aK sm w.

En égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeurs t/ = 0, w = CT, qui répondent respectivement au minimum et au maximum de ÂM.

Dans le second exemple (cas de la parabole), si Ton pose

X = 2/}m', on a

9 (x) = 2 (.r — a + p), tj/' (m) = 4pti,

et par suite

En égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeurs

relatives aux maxima et aux minima de la distance AM.

Les considérations et les exemples qui précèdent suffisent pour montrer la nécei^sité de tenir compte, dans les questions de maximum et de minimum, du choix de la variable indépendante.

CALCUL INFINITÉSIVAL. 15

Î26 CHAPITRE Xm

Cas d'une fonction explicite de m variables liées par m — 1 équations

ââO. On peut, sans altérer la généralité de la méthode, prendre m = 3. Le problème est donc le suivant : trouver les maxima et les minima de la fonction

les variables a:, y, z, étant astreintes à vérifier les conditions

fk [^^ y» ^) — o» (*5)

A (^1 yi ^) = o- (*^)

Les deux équations de condition (15) et (16) définissent y et 5 en fonction de x^ de sorte que V est une fonction composée de la seule variable indépendante x^ dont il faut égaler la dérivée à zéro.

On obtient ainsi la relation

à laquelle il faut joindre les deux suivantes

^ii + ^i.^ + ^^ = o, (19)

ex * cy dx cz dx ^ '

qui résultent de la différentiation des équations de condi-

tions. L'élimination -^^ et de ■— entre les trois équations

ax ax

(17), (18) et (19), donnera la relation

^fi

qui, conjointement avec (15) et (16), fera connaître les valeurs de Xj y, j2, propres à rendre V maximum ou minimum.

221. La résolution des équations (15), (16), (20), est souvent facilitée par l'adjonction de deux nouvelles inconnues A^ et X2, et par suite de deux nouvelles équations. Voici comment :

Soit (a:, y, z) une solution des systèmes (15), (16), (20). Le déterminant (20) ne change pas lorsqu'on ajoute aux éléments de la première ligne ceux de la seconde ligne multipliés par X| et ceux de la troisième par Xg. Dès lors, si on détermine X^ et X2 par les équations que Ton obtient en égalant à zéro deux des éléments de la première ligne du déterminant A ainsi transformé, la condition A = 0 entraînera l'annulation du troisième élément de cette ligne, et Ton aura trois équations

cZ cZ vZ

qui, conjointement avec (15) et (16), détermineront les cinq inconnues j:, y, j2, Xj et X2.

Les relations (21), (22), (23), sont faciles à retenir : il suffit de remarquer que leurs premiers membres sont les dérivées partielles par rapport à a:, y, z, de' F expression

f (^1 y. ^) + \rs (^, y, ^) + \h (^1 y. ^\ (24)

dans laquelle A| et X2 /fon/ regardées comme des constantes. Pour établir la distinction entre les maxima et les minima, il faudrait avoir recours au signe de la dérivée seconde. Le calcul de cette dérivée n'offre pas de difficulté théorique, mais il est parfois pénible ; on s'en dispense le plus communément, car la nature de la question permet, en général, de reconnaître a priori s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

âââ. Nous allons appliquer la théorie précédente à la recherche des axes de la section de f ellipsoïde

par tin plan

aas -{- py -}- fZ = o, (26)

passant par r origine, c^est-à-dire par le centre.

Les longueurs des axes en question sont le maximum et le minimum de la distance qui sépare le centre d'un point quelconque de la surface. Il s'agit donc de trouver le maximum et le minimum do la fonction

les variables x, y, 2, devant satisfaire aux deux équations de conditions (25) et (26).

A cet effet formons, conformément aux prescriptions du n* 221, Texpression

et égalons ses dérivées partielles à zéro. Nous aurons les équations

^ + \zi + \^ = o. (29)

y + >, li + À2P = o, (30)

qui, conjointement avec (25) et (26), déterminent les multiplicateurs X|, A2, ainsi que les coordonnées x^ y^ z, d'un sommet quelconque de la section.

Pour obtenir les longueurs des axes, il faudra éliminer ^7 y» -î 'n '>'-2' ^ntre les équations (25), (26), (27) et (29), (80), (31). On y parvient aisément comme il suit :

D'abord, en ajoutant les trois dernières équations respectivement multipliées par jr, y, 5, et ayant égard aux trois premières, on a X, = — v. Puis, en portant cette valeur de \ dans (29), (30), (31), résolvant par rapport à x, y, 5, et enfin substituant les valeurs ainsi trouvées dans la relation (26), on obtient Téquation en v

qui donne les carrés des longueurs des deux axes de la section.

Maxima et minima des fonctions de plusieurs vai*ial>les indépendantes

!îl. On dit qu'une fonction ^ (x, y, ...) de n variables est maximum pour les valeurs a, h, ... attribuées respectivement à j:, y, ..., si Von peut trouver un nombre positif e assez petit pour que la différence ç (x, y, ...) — 9 (a, 6, ...) soit négative pour toutes les valeurs de a: — a, y — 6, ... comprises entre — s et -+- s.

Il y a minimum lorsque la différence ci-dessus est positive dans les mômes conditions.

Nous supposerons, dans la suite de ce chapitre, que la fonction ç (j:, y, ...) et ses dérivées partielles jusqu'à Tordre dont on aura besoin soient continues. Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; ils devront être étudiés à part dans chaque question.

230 CHAPITRE Xlll

Posons

X = a + it, y = i -f p/, ..., (33)

d'où

et par suite

F'V)=«V-(^^yv.0+PYJ^(^.y,--0+--.+2ap9i>,y,..0+-^

Cela posé, si ^{x, y, ...) est maxiaium ou minimum pour X =: a^ y = by ..., F(/) sera maximum ou minimum pour / = 0. Donc, d'après la théorie des maxima et minima relative aux fonctions d'une seule variable, on doit avoir F' (o) = 0, c'est-à-dire

relation qui, devant avoir lieu quelles que soient a, 3, ..., se décompose en les suivantes

çpi [a, h, ...) = o, t^y (a, b^ ...) = o ... (37)

On voit de la sorte que les systèmes de valeurs propres à rendre ^{x^ y, ...) maximum ou minimum ne doivent être cherchés que parmi ceux qui annulent les dérivées partielles du premier ordre de o (o:, y, ...).

(a, è, ...), étant un tel système, il y aura maximum ou minimum, suivant que la dérivée seconde F*' [o) sera négative ou positive pour toutes les valeurs de a, g, ..., différentes de zéro. Or, d'après la formule (4), ¥" [o) a pour expression

*V* {a, b, ...) + pY^y (a, b, ...) -{- ... H- âafl^i^ (a, b, ...) + ...

C'est une fonction entière et homogène du second degré des variables a, g, ... que nous désignerons par V. On est doue ramené à ce problème d'algèbre : trouver les conditions pour

que la fonction V conserve un signe constant, le signe par exemple.

Ordonnée par rapport à a, la fonction V prend la forme

V = Aa2 + 2Pa-(-Q;

elle se réduit à Aa^, lorsque les autres variables 3, ..., sont nulles ; on doit donc avoir en premier lieu

D'autre part, si Ton pose