OBJET DE L'ANALYSE INFLMTÉSIMALE

Définition et RAIo des infiiiiineiil petits

1 . On nomme infiniment petit toute quantité variable ayant pour limite zéro.

\J Analij.se infinitésimale, créée vers la fin du xvii" siècle par Leibnitz et Newton, a pour objet l'emploi des infiniment petits pour l'évaluation des quantités finies.

Les infiniment petits peuvent intervenir de deux manières: la grandeur à évaluer peut, en effet, se présenter soit comme la limite du rapport de deux infiniment petits, soit comme la limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croît indéfiniment. De là, la division de l'analyse infinitésimale en deux branches : le calcul différentiel et le calcul intégral.

Problème des tangenU^s; ori<|iiie du ealeiil

difterentiel

â. C'est le problème des tangentes qui a donné naissance au calcul différentiel.

Considérons une courbe plane {figA) dont Téquation eu coordonnées rectilignes est g =/(.r). Prenons sur cette courbe deux points M et M' correspondant respectivement aux abs-

CALCUL IXFlNlTéSiaiAL. 1

cisses j; et j* 4- A. La tangente au point M est, par définition, la limite des positions que prend la sécante MM'S lorsque, M restant fixe, M' vient, en restant sur la courbe, se con-

Fio. 1

fondre avec le point M. Or, d'après la théorie analytique de la ligne droite, le coefficient angulaire de là sécante MM' s'obtient en divisant la différence f {x -{- h) — / [x] des ordonnées des points M' et M par la différence h de leurs abscisses. Par suite, le coefficient angulaire de la tangente MT est égal à la limite du rapport :

lorsque h tend vers zéro.

Ainsi, dans ce problème, le nombre cherché se présente comme la limite du rapport de deux différences infiniment petites.

On appelle dérivée d'une fonction / {x) la limite du rapport (1), c'est-à-dire du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable x^ lorsque ce dernier accroissement (positif ou négatif) tend vers zéro. De là cette proposition : le coefficient angulaire de la tangente à une courbe plane est égal à la dérivée de Vordonnée considérée comme fonction de Uabscisse.

Problème des quadratures; Origine du calcul intégral

3. C'est le problème des quadratures qui adonné naissance au calcul intégral.

OBJET DE l'analyse LNFINITÉSIMALE 3

Proposons-nous d'évaluer Taire du trapèze mixtilignc aAM{ji compris entre un arc AM de courbe plane rapportée à des axes rectangulaires, les deux ordonnées extrêmes aA, [tM et Taxe des X. Nous supposerons, d'ailleurs, pour plus de simplicité, que l'ordonnée de la courbe PQ reste positive et croissante depuis aA jusqu'à jaM.

Décomposons la base a;/, en parties «3,37, t;|ji., égales ou

inégales; désignons par uTjj, j-,, x^^ x^ les abscisses des

points a, 3, Y, |jt., et par t/^, //j, y.^, y^ les ordonnées

correspondantes.

En menant par l'extrémité de chaque ordonnée une parallèle à OX jusqu'à sa rencontre avec l'ordonnée précédente et

Fio. 2

avec l'ordonnée suivante, on forme une suite de rectangles inscrits «AAog, 3BB07, rJlHofji. dont les aires ontune somme

inférieure à l'aire T du trapèze curviligne considéré, et une

suite de rectangles circonscrits aBjB^, ^CjC-;, t^MjMijl dont

les aires ont une somme

S = (a?< — a)^) y, -f- (^2 — ^4) 5/2 + ••• + (^h. — ^n-i) Vu supérieure à T. On a donc

Mais si Ton désigne par 3 le plus grand des intervalles

JT, — j-Q, j-i — j^,, x^'X^^^, on voit que la difiFérence S

tend vers zéro avec s, puisqu'elle est moindre que

S (y« — ^0 + ^2 — yi + ••• + !/ti — ^ji-,),

c'est-à-dire que

S (yn — Pq

Par suite l'aire T esl la limite vers laquelle tend la somme .v, lorsque chacun des intervalles j-, — jr^. .r., — .r^,..,x^ — .r,^^ tend vers zéro.

Ainsi, dans le problème des aires, la grandeur à évaluer se présente comme la limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croit indéfiniment.

Telle est, traduite dans le langage mathématique actuel, la méthode suivie par les géomètres de l'antiquité pour la résolution du problème des quadratures, en sorte qu'on peut dire avec Leibnilz (lettre à Wallis, 29 décembre 1698) que le calcul intégral remonte jusqu'à Archimède".

Corréhitioii entre le ealciil tliftereutic^l el le ealeiil intégral ; objet de eliaeiin d'eux

'î. Les géomètres du xvii* siècle se sont placés, pour résoudre le môme problème, à un point de vue tout différent. Au lieu de calculer directement la somme .v et d'en

ft K

FiG. 3

déduire sa limite, ils ont ramené la recherche de l'aire à celle d'une foncticm ayant une dérivée donnée. Voici comment :

OBJET DE l'analyse INFINITÉSIMALE 5

Soit j Taire du trapèze mixtiligne aAM;ji. compris entre un arc AM de courbe plane, Taxe des x, une ordonnée fixe aA et l'ordonnée Mjj. = f[x) qui correspond aune abscisse variable 0|x = j:*.

ff est une fonction de x; et, dès qu'on a possédé la notion de la dérivée, on a été naturellement conduit à chercher la dérivée de cette fonction 7.

Or, quand x varie de \).[>.\ j varie d'une quantité égale à l'aire du trapèze mixtiligne [;.MMV\ lequel, si \l\l est assez petit, se trouve compris entre les rectangles {jt.MIp/, p.KMV' obtenus en menant MI et M'K parallèles à OX. Mais ces deux rectangles ont respectivement pour mesure les produits

Le rapport

Mu. ULU', M'u'- W-'a'.

txMMV^

tJL

est donc compris entre Mj;. et M';ji.' et, par suite, sa limite ost Mjji lorsque jajj/ tend vers zéro.

Donc Vaire du trapèze mirliliyiie aAMp. a pour dérivée l^ordomiép M»^ = / [x) qui correspond à F abscisse rariable

La question des quadratures se trouve ramenée de la sorte à la recherche d'une fonction ayant pour dérivée /(./), c'est-àdire au problème analytique inverse de celui auquel conduit le problème des tangentes.

o. Le passage d'une fonction à sa dérivée et le retour de la dérivée à la fonction primitive ont constitué, dès le début, l'unique objet du calcul différentiel et du calcul intégral. Mais bientôt des généralisations se sont offertes. D'abord, la dérivée d'une fonction étant une fonction de la même variable, on peut calculer la dérivée de cette dérivée, ou dérivée du secofid ordre, puis prendre la dérivée de celle-ci qu'on nomme dérivée du troisième ordre et ainsi de suite. D'autre part, si l'on considère une fonction de plusieurs variables x, y, z^ on peut chercher la dérivée de cette fonction en ne faisant varier que x et traitant y et z comme

des constantes ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la dérivée partielle par rapport à x^ et il existe de môme une dérivée par rapport à chacune des autres variables // et z. Enfin ces dérivées partielles, étant à leur tour des fonctions de j:, y , z, donneront chacune des dérivées partielles du second ordre et ainsi de suite.

Grâce à ces considérations, nous pouvons maintenant préciser l'objet du calcul différentiel et celui du calcul intégral.

Le calcul différentiel comprend Tensemblc des règles relatives au calcul des dérivées des divers ordres des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs variables indépendantes.

Le calcul intégral comprend rensemblc des méthodes propres à déterminer des fonctions d'après des équations où ces fonctions sont engagées avec leurs dérivées des 'divers ordres et les variables indépendantes.

Ajoutons que le calcul intégral a donné naissance à un grand nombre de fonctions nouvelles, dont l'étude a étendu singulièrement le domaine de l'analyse. Sous ce rapport, le calcul infinitésimal est la continuation de Talgèbre, et on pourrait, non sans raison, aujourd'hui mieux qu'à l'époque de Lagrange, lui attribuer la dénomination de théorie des fonctions.

Nous compléterons cotte introduction en exposant les pro~ priétés fondamentales des infiniment petits.

Infiniment petits des divers ordres

6. Lorsque plusieurs infiniment petits figurent dans une môme question, on choisit l'un d'eux a pour terme de comparaison, et on lui donne le nom A" infiniment petit principal ; alors, si un autre infiniment petit 3 est tel que son rapport à la w"' puissance de a ait une limite k déterminée (*) et diffé-

(>) Observons ici, une fois pour toutes, que Vin fini n'est pas une quantité déterminée, sans quoi on pourrait Taugaicnter, ce qui serait contradictoire. Quand on dit qu une grandeur devient infinie, on entend par là qu'elle prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, de manière à surpasser toute quantité' donnée si grande qu'elle soit.

OBJET DE l'analyse INFINITÉSIMALE 7

rente de zéro, on dit que g est du /t"* ordre et que sa valeur principale est A^a" ; on peut écrire d'après cela

d'où

^=kx-{i + ^], (2)

£ étant infiniment petit.

Voici quelques exemples :

V On sait, par la Trigonométrie, que les rapports

sin cr X^os

ont Tunité pour limite; et il résulte de la formule

^sin^f 1 — cosa? 2

que