COS.T

a pour limite--

Donc, si X est pris pour infiniment petit principal, sinar et \%x sont des infiniment petits du premier ordre ayant l'un

et l'autre x pour valeur principale, tandis que 1 — cos x est du

second ordre et a pour valeur principale- x-,

2** La relation bien connue, /' = /cos w entre la longueur / d'un segment rectiligne et la longueur /' de sa projection sur une droite faisant un angle o) avec ce segment, donne :

l — t =z i [i — COS<o).

La différence / — /' est donc un infiuiment petit du second

ordre, lorsque Fangle o) est un infiniment petit du premier o rdre, / étant fini. Elle s'abaisse au troisième ordre si / est, comme w, infiniment petit du premier ordre ;

3* Si Ton désigne par/'(j:') la dérivée d'une fonction /(j:), on peut écrire, d'après la définition même de la dérivée,

ou

s tendant vers zéro avec /*. Si donc on prend A pour infiniment petit principal et si, pour la valeur considérée de ,r, /' (x) est déterminée et difl'érente de zéro, l'accroissement / (x-{-h) — f{x) de la fonction sera un infiniment petit de premier ordre ayant A /^(j^) pour valeur principale. Ainsi, l'accroissement d'une fonction est, en général, un infiniment petit du môme ordre que l'accroissement de la variable : il y a exception pour les valeurs de a™ qui rendent la dérivée nulle ou infinie.

7. Remarquons qu'il existe des infiniment petits n'ayant pas d'ordre déterminé. Par exemple, l'expression

y = X sm -

tend vers zéro en même temps que j-, puisque le facteur

sin - reste compris entre — 1 et + 1 ; mais c'est un infini-

ment petit dont l'ordienepeul ôtre assigné, puisque le rapport - = sin - ne tend pas vers une limite déterminée lorsque

X tend vers zéro.

8* Le produit de deux infiniment petits

P = kx- (i -I- c). p' = AV (i + t')

OBJET DE l'analyse INFINITÉSIMALE 9

dont Tiin est (rordre aï, Tautre d'ordre n\ peut s'écrire

r, désignant un infiniment petit. Ce produit est donc un infiniment petit d'ordre w+n', et sa valeur principale est égale au produit des valeurs principales des facteurs.

O. Si deux infiniment petits

p = Ax« (1 + e), fi' = AV (1 + c')

sont du même ordre, leur rapport

^'OL±jl)

a une limite -7- déterminée et différente de zéro.

Réciproquement, ^i le rapport de deux infiniment petits

g et 3' a tine limite k^ déterminée et différente de zéro, les

infiniment petits sont du même ordre ; car les relations

dans lesquelles e et s, sont des infiniment petits, donnent

qui est de la forme X V ( 1 -|-s'), t désignant un infiniment petit et k' une quantité kk^ déterminée et différente de zéro.

En particulier, si deux infiniment petits ont la môme valeur principale, leur rapport a pour limite Tunité et réciproquement. Il suffit de faire dans la proportion directe qui précède /• r=k\ et, dans la réciproque, ^^=1.

Quand deux infiniment petits ont la môme valeur principale, on dit, pour abréger le langage, qu'ils sont équivalents.

Principes relatifs à la subslitution des infiniment petits

tO. On n'altère pas la limite du rapport de deux infiniment petits en substituant à chacun d'eux un infiniment petit équivalent.

En d'autres termes, si les infiniment petits a et a', g et ^J satisfont aux conditions

lim - ::= 1 , lim |- =\ , (4)

on aura

lim ^, = lim |- (5)

En efifet, les conditions (4) peuvent être mises sous la forme

c et r^ désignant des infiniment petits. On en déduit la relation

ot' a 1 -|~ e

qui, à la limite, se réduit à (5).

1 1 . On n'altère pas la limite d'une somme de quantités positives infiniment petites dont le nombre croit indéfiniment^ quand on remplace chacune d'elles par un infiniment petit équivalent ,

En d'autres termes, soient ^i, X2,... ol^^ des infiniment petits positifs dont la somme a une limite finie f lorsque leur nombre croît indéfiniment. Si g|, ^2^ •• 3m désignent d'autres infiniment petits satisfaisant aux conditions

limÊi = i, lim^ = l,... lim^=l, (6)

OBJET DE l'analyse INFINITÉSIMALE H

on aura

lim (p^ + P2 + ... M = s, (7)

En efifet, on peut donner aux conditions (6) la forme

Pi = »i (^ + «<)i h = *a (* + 63), ... Pm = «/« (i + e„),

spSo-- ^m désignant des infiniment petits. On en déduit

Pi +P2 -!-••• +?/ti = (a|-f-*2 + ••• + */«)+ (*|S< + *ae2+--- +»///e//i)-

La première parenthèse du second membre ayant pour limite .v, il suffît de prouver que la seconde parenthèse a pour limite zéro. Or, si l'on désigne par s la plus grande des valeurs absolues de s,, sov £»n on voit que la somme

*!*< "h *2*2 "!"•••"}" */ii«//i

est inférieure au produit

(a, + «2 + ••• + *"tj 6.

dont les deux fadeurs ont l'un pour limite a-, l'autre pour limite zéro. Cette somme est donc nulle à la limite.

1 2. Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être énoncés de la manière suivante .

Quand on chercha la l uni le du rapport de deiw infiniment petits ou la limite d'une somme d'infiniment petits positifs dont le nombre croît indéfiniment^ on peut^ dans chaque terme du rapport ou de la somme ^ ne conserver que les parties infiniment petites de l'ordre le moins élevé.

Par exemple, si Ton propose de trouver la limite du rapport

sina? -f- o sîn^g? + 7 sin^o?

^ + a?2 + ya?^

lorsque x tend vers zéro, on peut remplacer ce rapport

par

sinâ?

ce qui montré ininiédiatement que la limite cherchée est--

Ces propositions sont d'un usage très fréquent, vu (n'' 1 )lamanière dontlesinfiniment petits interviennent dans l'évaluation de grandeurs déterminées. L'avantage considérable qu'elles offrent tient à ce qu'elles permettent de supprimer dans les infiniment petits considérés la partie qui rendrait leur comparaison ou leur sommation difficiles.

Définition de la eoiilinuité

lil. Une fonction // = f[x) n'est bien définie dans un intervalle donaé [a, b) que si à chaque valeur de x comprise entre a et h correspond une valeur déterminée de // et une seule.

Lorsque la relation qui unit // à x laisse à // la faculté de prendre plusieurs valeurs pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle donné, la définition de la fonction, dans cet intervalle, doit être complétée par Tadjonction d'autres conditions propres à lever toute ambiguïté. Nous reviendrons sur ce sujet. Mais il doit être entendu d'ores et déjà que, lorsque nous parlerons d'une fonction, il s'agira toujours d'une fonction bien définie dans un intervalle indiqué.

Observons, en outre, que jusqu'à nouvel ordre il ne sera question que de fonctions réelles de variables réelles.

On dit qu'une fonction / [x) est continue pour x = c lorsque / (r + h) a pour limite / {c) de quelque manière que h tende vers zéro; ou, en termes plus précis, on dit qu'une fonction / (x) est continue pour x = c, si, à tout nombre positifs aussi petit qu'on veut, correspond un nombre positif r^ tel que l'inégalité

entraîne

Une fonction est dite continue dans un intervalle quand elle est continue pour toute valeur de j" comprise dans cet intervalle.

Toute fonction non continue est dite discontinue,

14* La relation fondamentale

qui résulte immédiatement (n*" 6, 3"*) de la définition de la dérivée, montre qu^iine fonction f [x) est continue pour toute valeur de la variable x pour laquelle la dérivée f {x) est déterminée.

Propriélé fondamentale des ffonelions eontinues

lr>. Si une fonction f (x) est continue dans un intervalle (fl, b) et si f (a) et f \b) ont des signes contraires^ il existe^ entre a et A, au moins une valeur c de x qui annule la fonction f [x].

En effet, posons ^ (a + ô) = a). Si/(o))est nul, le théorème

est démontré. Si / (w) est différent de zéro, nous désignerons par [a^ b^ celui des deux intervalles égaux («, w) (o), b) pour lequel / («i) et f^ [b^ ont des signes opposés.

En raisonnant sur («,, b^ comme on vient de le faire sur (a, A), puis continuant de la sorte, on formera, si on ne rencontre aucun nombre annulant / (jr), une suite d'inter-

(*) Conformément à nn usage généralement adopté de nos jours, nous emploierons la notation | a \ pour désigner la valeur absolue d'une quantité quelconque a. Cette valeur absolue reçoit souvent le nom de module.

valles

tels que chacun soit la moitié du précédent et que la fonction / (j:) prenne à ses extrémités des valeurs de signes contraires.

Les quantités a, a^.,. a^^,... étant inférieures à i et formant une suite croissante, tendront vers une limite c comprise entre a et b. Les quantités é, b^,,.,b,^ étant supérieures à û et formant une suite décroissante, tendront à leur tour vers une limite ; et cette limite ne sera autre que c, puisque la diiférence

bn — an=^^{a^b)

tend vers zéro quand n croit indéfiniment.

Or, puisque / [x) est continue dans Tintervallc («, é), la différence

doit avoir pour limite zéro, pour w = oo ; et, comme cette différence a ses deux termes de signes contraires, on aura à la limite

2/* (c) r= O OU f le) =1 G,

ce qui démontre la proposition énoncée.

On peut ajouter que, si la fonction f[,r\ est constamment croissante ou constamment décroissante depuis x = a jusquà or = A, il n^existe entre ces limites qu\ine seule valeur de X propre à vérifier V équation f (x) = o. Car, si / [x] croît sans cesse, par exemple, dans Tintervalle («, b) et s'annule pour une valeur c comprise dans cet intervalle, / {x) sera négatif tant que x n'aura pas atteint la valeurs, puis il deviendra et restera positif dès que x aura franctii cette valeur.

16. D'après le n* 15 une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler. Mais (il importe de Tobser-

16 CHAPITIIE II

ver) une fonction continue peut s'annuler sans changer de signe : témoin la fonction continue .r-, qui s'annule pour j? = o en restant toujours positive.

17. Voici enfin une conséquence immédiate de la proposition qui fait Tobjet du n" 15.

Si une fonction 9 (,r) est continue dans un intervalle [a^ A), il existe dans cet intervalle au moins une valeur c de x pour laquelle 9 (./■) acquiert une valeur donnée quelconque k comprise entre o (a) et ff (ô).

En effet la fonction f [x) = ^ (./) — /i est continue dans l'intervalle {a, 6), et les deux nombres f (a) et / (A) sont de signes contraires; donc il existe entre a et A au moins une valeur c telle que f [c) = o ou que 9 (r) = /•.

D'ailleurs, à toute valeur /i de ç (x) comprise entre 9 {a) et 9 (h) répondra une valeur unique de j^, si 9 {x) est constamment croissante ou constamment décroissante dans l'intervalle [a, f)).

Fonctions Inverses

18. Soit y = 9 {x) une fonction bien définie et continue dans un intervalle («, /?) ; désignons 9 {a) par a et 9 {b) par [t. Nous savons, d'après le n!" 17, qu'à chaque valeur de y comprise entre a et ^ correspond au moins une valeur de x comprise entre a et A, et qu'il n'en correspond qu'une si la variation de // ne change pas de sens lorsque j^ croît de a à b, (^est à cette condition que x pourra être considérée comme une fonction bien définie de y dans l'intervalle considéré.

On donne à la fonction x=: 'b (y) ainsi définie le nom de fonction inverse de y =9 (*r).

19. Cette fonction inverse est continue lorsque y varie entre a et ^, En effet, soient x^^ et .r^ + h deux valeurs prises dans l'intervalle («, A), h étant aussi petit qu'on le voudra en valeur absolue. Désignons par f/^ et y^ -f- k les valeurs

Revision sommaire des fondions élémentaires

20. Les premières fonctions que Ton étudie dans les éléments d'algèbre sont les fonctions entières et les fractions rationnelles. Le type des premières est

y = Kaf^ + Ba?^-« + ... + Ha? + K,

où A, B, ... K sont des constantes et m un nombre entier et positif; le type des deuxièmes est

/ {x) et 9 {x) étant des fonctions entières.

On démontre en algèbre élémentaire que la somme algébrique et le produit de plusieurs fonctions continues sont eux-mêmes continus, tandis que le rapport de deux fonctions continues cesae d'être continu pour les valeurs de x. qui annulent le diviseur. Il suit de là que les fonctions entières sont continues pour toute valeur de x et que les fractions rationnelles sont comtinues pour toutes les valeurs de X qui n'annulent pas le dénominateur,

21. Après les fonctions entières et les fractions rationnelles, on rencontre la fonction exponentielle 0!* et son inverse la fonction logarithmique.

On démontre que si a est un nombre positif, a* est bien définie et continue pour toute valeur de x positive ou négative.

CALGOL DIFUirrÉSIMAL. î

if*:

correspondantes de y, A toute valeur de y comprise entre Vo ©l yo + ^ répondra (n" 18) une valeur de x unique et com- rt

prise entre Xq et Xq + A, c'est-à-dire une valeur aussi voisine de Xq que l'on voudra; ce qui démontre la continuité de j- = tj; (y).

16 r.llAPITRR II

Supposons fl > 1 ; alors l'exponentielle >j ^ a, croît de o à-|-oo lorsque j: croit de — oo à+ oo , en prenant la valeur 1 lorsque la variable x passe par zéro. Cette fonction élant «ontinue et croissante, la fonction inverse est bien définie ■et continue (n°' 18 et 19) pour toutes les valeurs positives de y; on lui donne le nom de logarithme de y dans le système dont la hase est a et l'on écrit :

X = log y.

Dès que la base est choisie (parmi les nombres supérieurs à 1), le logarithme x de tout nombre positif y est fixé; il est positif ou négatif suivant que y est supérieur ou inférieur k l. D'ailleurs, dans tout système, le logarithme de la base est égal à l'unité et le logarithme de l'unité est égal h zéro ; on a, en effet, n' ^ a et a" ^ 1.

Nous n'avons pas à revenir ici sur les propriétés des exponentielles et des logarithmes que nous supposons bien connues du lecteur. Nous rappellerons seulement que, pour passer d'un système de logarithmes à un autre, il faut diviser les logarithmes primitifs par le logarithme primitif de la nouvelle base.

S2. Dans les calculs numériques, on emploie les logarithmes dont la base est le nombre 10, base de notre système de numération; on y trouve l'avantage de pouvoir, à simple vue, écrire la partie entière ou caractéristique du logarithme d'un nombre décimal donné quelconque (voir l'Algèbre). Ces logarithmes sont dits logarithmes lulgairrs.

En analyse, on emploie au cofclraire presque exclusivement le système considéré d'abord par Neper, l'inventeur dos logarithmes; la base du système népérien est la limite vers laquelle tend l'expression

lorsque le nombre entier et positif m croît indéfiniment.

Il est fort aisé d'ailleurs de prouver Texistcnce de cette limite.

Désignons par [j. un nombre entier et positif moindre que m ; on aura

Et comme la somme entre parenthèses est égale à -» on peut écrire

^liL < e,n < e^+ —

Il suit de là que, si, laissant \l fixe, on fait croître m indéliniment, ^„, croît sans cesse en restant inférieur h une quantité fixe; il a donc une limite déterminée (M.

En désignant, suivant un usage adopté depuis Euler, cette limite par la lettre ^, on a les inégalités

qui, ayant lieu pour toule valeur entière et positive de {/., permettent de calculer ^ avec telle approximation qu'on voudra.

Par exemple en faisant ;j. = 1, on voit que e est compris entre 2 et 3.

Voici la valeur de e avec 13 décimales exactes :

(*) Nous invoquons irj, comnie au u" 1j, un axiome dont on fait un fréquent usage en Analyse.

Lorsqu'une grandeur croit sans cesse (ou du moins ne décroît jamais) et reste inférieure k une quantité fixe, elle a une limite égale ou inférieure à cette quantité.

De Dit^nie, lorsqu'une grandeur décroît sans cesse (ou du moins ne croît jamais) et reste supérieure à cette quantité lixe, elle a une limite égale ou supérieure à cette quantité.

Si l'on se bornait à calculer les 9 premiers chiffres décimaux, le retour fortuit des quatre chiffres 1, 8, 2, 8 dans le même ordre pourrait faire croire que e s'exprime par une fraction périodique. Ce serait là une fausse induction; le nombre e est incommensurable. En effet, s'il était égal à une

fraction — à termes entiers, on aurait, en vertu des inégalités (9) :

d*où, en multipliant par 1, 2, 3..., q,

eg (1.2.3 ... q)<p (1.2.3 ... ^ — 1) < e^ (1.2.3 ... q) + -»

ce qui est absurde, puisqu'un nombre entier ne saurait être compris entre deux nombres dont Tun est entier et dont la différence est moindre que l'unité.

C'est Lambert qui, en 1761, a établi le premier Tincommensurabilité du nombre e\ en 1874, M. Ilermite, dans son beau Mémoire sur la fonction exponentielle, a fait voir que e était un nombre transcendant, c'est-à-dire non susceptible d'être racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels.

Dorénavant, pour éviter toute confusion, nous désignerons les logarithmes népériens par le symbole log et les logarithmes vulgaires par le symbole Log; on aura donc, d'après la règle citée ci-dessus (n** 21)

T^^=Loge=7-^ z= 0,43429448...

log y ^ log 10

2<t. Lorsque m est commensurable, d'ailleurs positif ou négatif, on sait, d'après l'algèbre, que x*" a une ysleur positire unique pour chaque \a\cuv positive de x.

On a donc alors, on vertu des propriétés des logarithmes

log.r'" = m log.r

et par suite

^m-g«.logx^ (10)

Cette égalité, démontrée ainsi pour m commensurable, est prise pour définition lorsque wi est incommensurable ; elle montre que si m est positif, ^*" est croissante et continue dans tout intervalle limité par deux nombres positifs. En effet, en premier lieu, quand x croît dans Tintervalle considéré, log x croît; par suite, il en est de même de m log x puisque m est positif, et enfin de l'exponentielle ^'"^"^ *, c'est-à-dire de x^. En second lieu, lorsque x varie d'une manière continue dans l'intervalle susdit, il en est de même de \o^x (n° 21) et, par suite, aussi de l'exponentielle e"^ ^"^ ', c'est-à-dire de x"^.

24. Il nous reste à parler des fonctions élémentaires fournies par la trigonométrie.

Soit A un point fixe pris sur une circonférence de rayon 1, M un point quelconque de celte courbe et P la projection de M sur le diamètre OA; PM = sin X et OP = cos x sont des fonctions bien définies de l'arc AM = x (*). Elles sont d^ailleurs continues; car, lorsque l'arc AM varie d'une quantité MM' aussi petite qu'on veut, les variations correspondantes Fio. 4.

IM', MI du sinus et du cosinus sont moindres en valeur absolue que la corde MM', laquelle tend vers zéro en même temps que l'arc MM'.

Les formules fondamentales :

sin œ , 1

tgap = seco? =

cos X cos œ

cos a? , 1

colff X •= —. cosec œ = -: — »

^ sm X sma?

(^) La longueur d'un arc de courbe a été définie en géométrie: c'est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque les côtés de cette ligne brisée tendent vers zéro ; on a démontré, d'ailleurs, 4|ue cette limite existe et ne dépend pas de la loi suivant laquelle les côtés de la ligne brisée tendent vers zéro. Enfin, on a déduit de là que le rapport d'un arc à sa corde a pour limite Tunité lorsque cet arc tend vers zéro. (Voir le Traité de Géométrie de MM. Rouché et De Comberousse).

ï CHAPITRE II

lontrent que Ig .t et sec x sont conliniios, sauf pour les ileurs de r qui annulent cos-r, et que cotg j- et coséc r sont tntinucs excciUé pour les valeurs qui annulent sin y.

Les siv fondions sin x, cos x, tg x, colg x, séc x, »séc J", portent le nom de fonction^ circtilnii-px dirpcles. '<5tude de leurs propriétés constitue l'objet principal de la igonométrie que nous supposons connue des leclcurs.

Nous devons cependant ajouter quelques mois sur les incHonx circulaires inrersc".

La fonction ./■ ^^stny étant continue et croissante lorsque

i variable indépendante y croit de — 5^5' l'inversion est

îrmise (n" IS); et si l'on désigne par y, l'arc compris

lire — 5 et ^ dont le sinus est égal à x, y, est une fonction

ion défmie et continue de x lorsque cette variable reste >mprise entre — 1 et +1. Cette fonction y, ne reprémte qu'une branche de la fonction ambiguj^ y qui serait itreinte uniquement à satisfaire à la relation x ^= sin y et ue l'on désigne habituellement par an- sin j- ; on a, en eHet, jr la trigonométrie,

arcsina: = *Jt + (— li*y,,

étant un nombre entier quelconque positif ou négalif.

chacune des valeurs en nombre infini do l'entier k répond ne détermination spéciale de arc sinx, laquelle resle bien Ëfmie et continue en même temps que i/i lorsque ,r varie e 1 à + 1.

Des raisonnements analogues conduisent aux conclusions ji van tes :

L'arc compris entre 0 et ;: dont le cosinus est égal à .r it une fonction bien définie et continue de x, lorsque cette Etriable reste comprise entre + 1 et — 1 ; en désignant cette >nction par y,, on a

arc cos a; ^ âAit it j',,

l, à chaque valeur entière positive ou négative de k

répondent deux déterminations de arc cos x qui sont bien définies et continues, en môme temps que yj, c'est-à-dire lorsque x est compris entre — 1 et -h 1.

L'arc compris entre — 'k^^ % ^^^'' '* tangente est égale

à X est une fonction bien définie et continue pour toute valeur déterminée de x. En désignant cette fonction par yj, on a

arc tga? = Att + yi,

et à chaque valeur positive ou négative de Tentier k répond une détermination de arc tg x qui est bien définie et continue en même temps que yi,c'est-à dire pour toutes les valeurs déterminées de X,

Pour éviter des redites fastidieuses, nous laisserons au lecteur le soin de fixer lui-môme d'une manière analogue le sens des fonctions inverses.

arc séc a*, arc coséc a*, arc cotg x,

qui sont d'ailleurs peu usitées.

Fonction de Fonctions

•2o« Lorsque plusieurs variables y, c, u^ x sont telles que chacune d'elles soit une fonction bien définie de la suivante, la première y est évidemment une fonction bien déterminée de la dernière x ; on lui donne le nom de fonction de fojic lions.

Telle est, par exemple, la fonction

y = sin (a?*), qui est définie par les relations

y = sin «, u = 0?'

Il est aisé de voir que si les fonctions

y = r{z), ^ = t(«)i u = ^(œ) (ii)

sont continues^ tj est une fonction continue de x.

En effet, désignons par Xq une valeur déterminée parmi celles que peut prendre la variable indépendante x^ et par u^^ ^0, yo» '^s valeurs de z,de u et de y qui lui correspondent en vertu des relations(ll). Lorsque x tend vers Xq, u tend vers Wq puisque ^ (x) est continue ; par suite z tend vers jSq puisque 9 [u) est aussi continue, et enfin y tend vers y^^ en vertu de la continuité de / [z],

^6. Il résulte de là que si u désigne une fonction continue dear, les fonctions sint/, co^u, arc sin w, arc cosm sont des fonctions continues de la variable x ; il en est de même pour a" si a est positif, et aussi pour logw et w^'= e»»ogM gj ^^ ^^ ^ sont des fonctions continues dex et si de plus u est positive; la fonction u^ contient d'ailleurs comme cas particulier w*, m étant une constante quelconque.

Fonction de plusieui*s variables

27. Soient x, y,... plusieurs variables indépendantes qui peuvent prendre, la première toutes les valeurs comprises dans un intervalle (a, «y, la seconde toutes les valeurs appartenant à un intervalle (6, 6'),... L'ensemble de ces intervalles constitue ce qu'on nomme le champ dans lequel se meuvent les variables x, y, ...

Une fonction u = f(x^y^ ...) de plusieurs variables indépendantes est bien définie dans un certain champ, si, à chaque système de valeurs de j-, y, ... comprises dans ce champ, répond une valeur déterminée de u et une seule.

Une telle fonction est dite continue pour x = Xq, y^=iy^^ ... si/(x, y, ...) a pour limite /' (xq, y^ ...)dequelque manière que x, y, ... tendent vers Xq, y^ ... ou, en termes

plus précis, lorsque à tout nombre positif donné e aussi petit qu'il soit répondent des nombres positifs a, g, ... tels que les inégalités

entraînent

l/'(^,yv..)— /"(^o'yov..) I <^

Les propositions énoncées dans le dernier alinéa du n^ 20 subsistent quel que soit le nombre des variables indépendantes. Ainsi, les fonctions de plusieurs variables qu'on obtient en exécutant sur ces variables et sur des constantes des additions, soustractions, multiplications ou divisions, sont continues pour tout système de valeurs des variables qui n'annule pas le dénominateur.

Fonction composée

S8* Considérons une fonction bien définie

de plusieurs variables m, v, w, et supposons que les quantités «, r, w soient elles mêmes des fonctions bien définies d'une variable indépendante x. La fonction (o est dite alors une /onction composée de x par Tintermédiaire des fonctions ti, v,tv de cette variable.

Désignons par^Q une valeur déterminée quelconque parmi celles que la variable indépendante x peut prendre ; soient

Wo,rQ,i«;Qles valeurs correspondantes de M, r,i^, et («)o=/(woï^Oî^o) la valeur que prend alors w. Il est clair que si x tend vers

zéro, M, v, w tendent vers Wq, Vq, Wq^ puisque ii, v, w sont des

fonctions continues de x\ par suite u) tend alors vers 0)0

puisque / est par hypothèse une fonction continue de w, v, w.

Donc : Une fonction composée w :=f[u^ r, w) est une fonc-

tion continue de la variable indépendante j\ si f est une fonction continue des fonctions intermédiaires u, r, î/\ et si ces fonctions intermédiaires sont à leur tour des fonctions continues de X.

Nous avons déjà rencontré plusieurs cas particuliers de ce théorème, et notamment le cas des fonctions «r, w".

Remarquons que si les fonctions intermédiaires ti, r, w se réduisent à une seule w, la fonction composée w devient simplement une fonction de fonction.

Enfin, au lieu de supposer que les fonctions intermédiaires w, r, IV ne dépendent que d'une seule variable ir, on peut concevoir que w, r, te soient des fonctions de plusieurs variables indépendantes jr, y, ... On aura alors une fonction composée de plusieurs variables indépendantes ^qui sera d'ailleurs une fonction continue de ces variables si ?/, r, w sont des fonctions continues de a::, y ..., et si / est à son tour une fonction continue de r, ^/, te.

29. Lorsque Téquation qui lie une fonction y à une ou à plusieurs variables indépendantes est résolue par rapport à t/y on dit que y est une fonction explicite. Sinon, on dit qu'elle est implicite ; il ne sera question jusqu'au chapitre vu que de fonctions explicites»

Dif|ressioii sur le nombre e

30« Le nombre e jouit d'une propriété qu'il est indispensable de connaître : c'est la limile vers laquelle tend l'expression

lorsque m croit indéfiniment.

Supposons d'abord m entier et positif.

La formule du binôme donne :

'+ir=f+!+^+T^+.-+ "

en posant, pour simplifier Técriture

m (m — 11... (m — n+i) m — im — 2 m — n + i

m'* mm m

ou

ttn est donc de la forme

a, P, ... X étant des nombres positifs inférieurs à 1.

Or, on sait, par l'algèbre élémentaire (*), que la valeur d'un tel produit est comprise entre 1 et

Comme on a ici

ifti j^\ l + 2 + ... + n — i (n~-i)n

il vient

cl, en divisant par 1. 2. ... //,

1.2... n ^ 1.2... n -^ 1.2... n 2m 1.2... (n — 2) Dès lors, en faisant successivement n = 2, 3, ... m^ ajou-

(>) La preuve est d'ailleurs fort aisée : on a d'abord

puis, en multipliant par i — y

(1 — «) (l - P)(l - t) > 1 - (« + ?) - Y -^ Y (« + ,3)> 1 - (a 4- p + 1) et ainsi de suite.

tant et augmentant de 2 chacun des résultats, on a

On voit par là que la valeur de l'expression (12) est comprise entre deux quantités qui tendent l'une et l'autre vers e quand 7n croit indéfiniment, d'où l'on conclut que cette expression a pour limite e,*

Le théorème subsiste lorsque m, tout en restant positif, n'est plus astreint à ne prendre que des valeurs entières.

En effet, attribuons à m une valeur positive quelconque, et soit |aH- 1 l'entier immédiatement supérieur à cette valeur. L'expression (12) sera moindre que

et plus grande que

Or, quand m croît indéfiniment, il en est de même de l'entier i^. ; chacune des expressions (13) et (14) étant alors le produit d'un nombre qui tend vers e par un facteur qui tend vers 1, aura pour limite e ; et, par suite, il en sera de même pour l'expression (12) dont la valeur reste toujours comprise entre celles de (13) et de (14).

L'expression (12) tend aussi vers e, lorsque ?n est négatif et qu'il grandit indéfiniment en valeur absolue.

En effet, soit

m = - (|x + i) ]A désignant un nombre positif, on aura

('+ir=('-iriTr"=(^r

OU

('+à)-=('+jr('+D-

Or, lorsque la valeur absolue de m croîl indéfiniment, y. devient infini, et l'expression précédente, produit de deux facteurs, dont Tun tend vers e et l'autre vers 1, a pour limite e,

3 1 • Si Ton pose — = a, a tendra vers zéro lorsque m

croîtra indéfiniment, et le théorème qui précède prendra ce nouvel énoncé :

L'expression (1 -+-«)« tend vers ^, lorsque a tend vers zéro.

Plus généralement, V expression (1+a) ^ a pour limite e^y sij lorsque a (end vers zéro^ le produit a^ a pour limite p.

Cela resuite du théorème précédent et de Tidentité

Par exemple, Texpression (1 -l-sin,/-) *'**'* a pour limite e, lorsque x tend vers zéro; car, sina: tend alors vers zéro et le produit sinx. cotg.r, qui est égal à cosj?, a pour limite l'unité.

PROPRIETES DES DERIVEES

Pr€*mîoi's exemples de «léi'îvées

32. La dérivée d'une fonction / (/), c'est-à-dire (n* 2) la limite du rapport

lorsque h tend vers zéro, est en général une quantité déterminée, indépendante de la manière dont h tend vers zéro. Elle dépend de la valeur attribuée à x; c'est une fonction de cette variable, que Ton désigne par la notation

c'est-à-dire en plaçant un accent sur le symbole / qui désigne la fonction.

La dérivée a été introduite dans la science par Newton, sous la dénomination aujourd'hui abandonnée àe fluxion; c'est à Lagrange que Ton doit le nom de dérivée^ ainsi que la notation (2).