X =Z OL

sera une asymptote parallèle à Oy.

Ordonnons maintenant l'équation (1) en groupes homo-

gènes de degrés décroissants

?«(a?, y) + ^m-^{x,y) + ... + (po(^î y) = o (27)

9^(j:, y) désignant un polynôme homogène de degré p. En divisant par j'", cette équation devient

et les valeurs Finies de "^^ qui correspondent à x infinie, seront les racines de

Soit c une racine de cette équation ; il reste à trouver la limite de y — ex. Pour cela, on posera

OU

Portant cette valeur dans (28) et ordonnant par rapport aux

puissances ascendantes de -> on trouve

et les valeurs finies de rf, qui correspondent à x infinie, seront obtenues en égalant à zéro le premier des coefficients de cette

équation en -^ qui ne s'annule pas. Dans le cas général, on

du

aura donc, en appelant d la limite de 3,

,1 - —ijSLzllAlA.

300 CHAPITRE XVÏ

ClOâ. Théorème. — Lorsque la tangente au point qui s'éloigne à V infini tend vers une position déterminée^ cette position est Fasymptote,

En effet Téquation de la tangente est

Supposons que le point j:q, ^q, s'éloigne à Finfini et que

-^ ail une limite c ; on a vu n" 193 que ^ a alors la même

limite. Donc la direction limite de la tangente est celle de Tasymptote; quant à son ordonnée à Torigine

elle peut s'écrire, en désignant les dérivées par des lettres accentuées

yp ^"^0^0

jîj) .^ 1^

V xj

et, si elle a une limite, en vertu du même théorème^ Texpression

aura aussi la même limite, qui est bien Tordonnée à l'origine de Tasymptote.

303. Il importe de montrer qu'il peut y avoir des asymptotes qui ne sont pas limites de tangentes. L'exemple de la

courbe y = '■ est classique. Pour jc = 00 , le sinus oscille

entre — 1 et -h 1 , tandis que le dénominateur croît à l'infîni ;

y tend donc vers zéro, et l*axe des j:* est une asymptote vers laquelle tend la courbe en la traversant par des sinuosités de moins en moins amples. Le coefficient angulaire de la tangente

dy

X cosx —

sm^r cos.'T

sina?

dx

tend vers zéro ; mais l'ordonnée à l'origine

y — X -f- =: — cosa? +

â sinâ?

dx X

est indéterminée.

304, Emploi des coordonnées homogènes. — Plusieurs des résultats .précédents se présentent très simplement lorsqu'on emploie les coordonnées homogènes. Nous nous bornerons au cas des courbes algébriques. Dans ce cas, l'équation (27) devient, après substitution des coordonnées homogènes,

Les points à l'infini étant caractérisés par un Z nul, le rapport de leurs deux autres coordonnées sera donné par l'équation

Cette équation s'écrit en mettant en évidence les facteursX , Y

X«YP9;„,(X, Y) = o.

ce qui impose a facteurs X nuls (Y est alors différent de zéro) et g facteurs Y nuls (X est alors différent de zéro). On obtient ainsi a points à l'infini dans une direction parallèle à OY et g points à l'infini sur des parallèles à OX. Il reste m — a — ,3 directions asymptotiques non parallèles aux axes dont les coefficients angulaires sont les racines de

réqaation

Pour avoir les asymptotes correspondantes, nous les considérerons comme limites de tangentes, ce qui est toujours permis dans les courbes algébriques. La tangente en un point ayant pour équation (14)

XF^ + yf;, + zf; = o,

comme on a ici

,c?5^ cgym-4 I

<rf<pw , y d<fm-.

l'asymptote qui correspond à Zq = o et qui a pour coeffi

Y cient angulaire c = ^^j aura pour équation

An

C'est, sous une autre forme, le résultat déjà obtenu; car si Ton fait Xq = 1, Yq = c, Tordonnée à Forigine de la droite précédente prend précisément la valeur donnée page 299. Quant au coefficient angulaire

^?m (Xq, Yq)

dlf^n (X^,, Yq)

rfYo

il est égal à -^^ en vertu de l'égalité d'Euler relative aux

fonctions homogènes

Si l'équation (90) prenait une forme illusoire, le point à l'infini serait singulier, et on lèverait l'indétermination en employant une méthode calquée sur celle de la page 202.

305. Les résultats, rappelés au paragraphe précédent, sont susceptibles d'un énoncé absolument géométrique, si l'on convient de dire que Z == o caractérise la droite à rinfini. Alors nous venons d'étudier simplement la nature des points de rencontre d'une courbe avec la droite à l'infini et les tangentes en ces points. Ce nouveau point de vue permettra d'assimiler les points à l'infini aux points situés à distance finie, et ces points pourront être classés, comme nous allons le faire pour les autres, en points ordinaires, points d'inflexion, doubles, triples, de rebroussement, etc.

306. On peut aussi démontrer que les formules, utilisées plus haut, aux notations près

reviennent à une simple mise en perspective de U coarbe.

FiG. 9.

Soit en effet 0 le point de vue projeté sur un plan horizon-

tal en o et sur le tableau en o\ de manière que

00) = fl,

m un point du plan horizontal projeté à partir de 0 en m\ Les axes étant indiqués sur la figure, on aura

op op pm 0(1)

ou

o'p' op p'm 0(0

ou

pliant,

xx'

= ab.

Pour a = b = i, on retombe bien sur les formules mises au début de ce paragraphe. Ainsi à un point m' correspond' un seul point m, et réciproquement ; mais, si m s'éloigne à

rinfini dans une direction telle que lim^ = c, m' tend vers

un point situé sur o'î/\ qui a pour ordonnée c, et, comme on vérifie sans peine qu'à la tangente d'équation

^ "^dx + ^ ^ dx correspond la tangente d'équation

^ — -^ dx' ^ ^ dx"

il en résulte que Tétude du point à Tinfini et de l'asymptote ou des asymptotes est encore, par cette transformation, ramenée à l'étude d'un point situé à distance finie, les singularités se correspondant.

Étude d'une courbe autour d'un point singulier

307. Nous avons donné (n°* 295 et 296) les conditions analytiques pour qu'un point soit singulier. Voici quelques considérations géométriques qui feront mieux comprendre les définitions données plus haut.

Si toute sécante, qui passe à une distance infiniment petite d'un point M, rencontre la courbe en des points dont un seul soit infiniment voisin de M, le point M est simple. Si la sécante coupe la courbe en des points dont p soient infiniment voisins de M, le point est multiple d'ordre p. Dans ce cas, une sécante passant au point M coupe la courbe en p points, dont les coordonnées coïncident avec celles du point M; c'est ce que nous avons exprimé plus haut en disant que la sécante avait /> points confondus avec le point M (Voir aussi le théorème énoncé à la fin du n** 309 ).

Les dispositions de figures ci-dessous ont reçu les noms suivants

Point double.

Point triple.

M Point d arrêt

Point de rebroussement deuxième espèce.

FiG. 10.

Point de rebroussement de première espèce.

Point saillant.

CALCUL ISFINITKSLM.VL.

En général, en un point multiple d'ordre p se croisent p branches de courbe; mais plusieurs de ces branches ou môme toutes peuvent être imaginaires. L'apparence géométrique ne correspond plus alors au fait analytique; mais, dans la pratique, cela ne peut introduire de confusion. Lorsque toutes les branches, qui passent en un point réel de la courbe, sont imaginaires, le point est dit isolé; on emploie aussi les locutions point double imaginaire, point multiple imaginaire.

Afin de ne pas avoir à revenir sur les points singuliers autres que les points multiples, je traiterai immédiatement trois exemples :

V La courbe y = ^' a un point d'arrêt à lorigine; car, pour X infiniment petit négatif, l'ordonnée // est nulle, tandis que, pour x infiniment petit positif, y est infini. On peut donc dire que la courbe a un point d'arrôt à l'origine pour sa branche qui vient de gauche, et môme un point d'arrêt à l'infini, dans la direction de oy, pour sa branche

Fio. H.

de droite; mais cette dernière désignation a quelque chose de forcé et est peu employée. On emploie plus souvent les mots de point multiple à l'infini, point de rebroussement à l'infini; ces expressions correspondent aux dispositions que présentent les points de même nom, à distance finie, lorsqu'on fait une perspective do la courbe sur un plan parallèle au rayon qui va de l'œil au point M. Au fond, ce sont de pures désignations analytiques.

2^ La courbe qui a pour équation

présente un point saillant à Torigine. Le coefficient angulaire de la tangenfe en 0,

a pour valeur zéro, si x = + zéro, et -f- 1 si .r = — zéro.

Fus. 12.

Les exemples <(ue nous venons de donner se rapportent à des courbes transcendantes.

Les courbes algràriques ne présentent ni point (CarrH ni /joint saillant. — Elles n'ont pas de points d'arrêt parce que Tordounée est une fonction continue de Tabscisse ; elles n'ont pas de points saillants puisque, si Ton élimine fj entre l'équation de la courbe» H Téquation

n + yTy = o,

qui fait connaître le coefficient angulaire y' de la tangente, on obtient une équation algébrique entre x et //, d'où il résulte que ce coefficient angulaire est une fonction continue de l'abscisse.

3** Considérons enfin la courbe représentée par l'équation

y = \ii — .r^

le radical ayant sa valeur arithmétique. C'est une demicirconférence dont le centre est k l'origine et dont le diamètre limite est sur o.r\ les extrémités de ce diamètre pourraient être prises comme points d'arrêt de la courlie. iMais, en réalité, nous n'avons là qu'une portion de la circonférence

et si, pour Taspect géométrique, on a des points d'arrêt, ces points sont évidemment d'une nature tout autre que ceux considérés dans les deux premiers exemples. Dans le premier exemple, la fonction y éprouvait une véritable discontinuité; il en est de même pour la dérivée dans le second exemple.

Dans tout ce qui suivra, nous ne considérerons désormais que des fonctions continues, ou au moins nous ne considérerons les fonctions que dans les intervalles où elles sont continues; plus exactement nous supposerons toujours que ces fonctions peuvent iMre développées en série, dans ces intervalles, par la formule de Taylor.

30B. D'après nos définitions, un point singulier est un point oii la tangente n'a pas une équation unique et bien déterminée. 11 est essentiel d'ajouter que cette définition suppose essentiellement les coordonnées rectilignes. Deux exemples feront mieux comprendre notre pensée.

!*• La courbe

1+2 cos o)

2 sino)

présente un point double. Mais ce point s'obtient par deux valeurs dilTérentes de o, savoir

chacune de ces valeurs donne, cummo Ton sait, une forme bien déterminée pour Téquation de la tangente. Si Ton cherchait Téquation de cette courbe en coordonnées rectilignes, les deux points, provenant de ces valeurs de w, seraient confondus, et pour ce point Ton aurait

f{.r,y) = o, n = o, ri = o.

2"* Le môme incident se présente avec la courbe déterminée par les deux équations

Si l'on donne à t les deux valeurs

les deux coordonnées du point M prennent les valeurs

Lorsque t varie de — oo à + oo , la courbe passe donc deux fois au point dont les coordonnées viennent d'être données; mais les valeurs de dx et de dt/ sont parfaitement déterminées pour /' et pour /* ; les deux tangentes au point double sont donc bien déterminées et indépendamment Tune de l'autre. Formons, au contraire, Téquation en coordonnées rectilignes de la courbe, par Télimination de / entre les équations (31); on trouve

et au point

on a évidemment

En coordonnées reciilignes, l'équation ordinaire de U tangente est indéterminée.

C'est un des problèmes les plus intéressants et les plus importants de l'analyse que celui qui consiste à séparer les branches qui se croisent aux points multiples, ou encore a ramener l'étude des fonctions à sin^^ularités à celle des fonctions sans singularités. Cette étude se rattache à une notion nouvelle relative aux courbes, celle du genn\ dont nous parlerons plus loin.

Le problème que nous traitons ici est plus simple; nous voulions seulement faire observer que la difficulté que nous avions à lever peut souvent tenir au choix des coordonnées et ne pas être inhérente au problème de géométrie, auquel le calcul a été appliqué.

CI09. Une dernière remarque préliminaire sera utile. Nous avons déjà vu que l'étude des branches infinies se ramène à la recherche des solutions infiniment petites d'une certaine équation (26). 11 en est de môme pour les branches des courbes qui passent en un point singulier. L'équation (19) fait connaître les valeurs de A, qui correspondent à chaque valeur de X, et le problème qui se pose est de savoir si, pour des valeurs de X infiniment voisines des racines de l'équation (:Î0), il existe des valeurs infiniment petites de A, et quelle est la nature de ces valeurs. Soit /^- une racine de l'équation (20) ; si Ton pose

on obtient une équation entre s et A, dont il faut, comme pour l'équation (26), trouver les solutions infiniment petites. La méthode que nous allons employer est donc absolument générale et s'applique toutes les fois qu'on a à chercher les solutions infiniment petites d'une équation de la

forme

où le premier membre désigne une série convergente, sans terme constant, ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables. On suppose, de plus, qu'il y a toujours un terme indépendant de x et un terme indépendant dey; sans quoi y OM X serait en facteur et devrait être supprimé. La méthode est fondée sur ce principe que Tégalîté ne peut s'établir qu'entre infiniment petits de même ordre; il s'ensuit évidemment qu'il y aura toujours deux termes, au moins, de chaque ordre, et en particulier de l'ordre moindre. En écrivant cela, et en prenant y comme infiniment petit principal, on obtiendra les valeurs principales de l'infinîment petit x\ mais, comme plusieurs racines différentes x\ x\ x"', peuvent avoir la môme valeur principale Xj, il faudra poser de nouveau

a- = 37^ + Yl,

t; étant un nouvel infiniment petit, dont la valeur principale se déterminera comme ci-dessus.

Nous admettrons comme démontré le théorème suivanl : Soit l'équation

dont le premier membre de la quelle S est une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables; si, pour j:= o, cette équation admet p racines nulles en y, pour x infiniment petit, l'équation admettra p racines infiniment petites en y, développables en séries convergentes suivant les puissances ascendantes de x,

3IO. Pour plus de clarté, je resterai dans les termes du problème posé, n* 296, en simplifiant seulement les notations. Supposons d'abord les axes transportés parallèlement à eux-mêmes, de manière que l'origine se trouve au point ^0» yo» ^^ ^^^ revient à supposer

L équation 17} représente maintenant une droite passant par l'origine

et l'équation (19y aux abscisses de ses points de rencontre avec la courbe pourra s'écrire

tp [\) + a-J/ (Al + x^/ :\) -f ... ~ o. (33)

X étant donnée, à une valeur de jr correspondra par Téquation (32), une seule valeur de y, donc un seul point de rencontre et le nombre des racines réelles de Téquation (33) sera le nombre exact des points réels communs à la sécante et à la courbe.

L'équation (20), aux coefficients angulaires des tangentes, s'écrit ici

elle est, par hypothèse, de degré y>, et l'étude qui nous reste à faire est difl'érente, suivant qu'il s'agit de racines simples ou multiples de ^(X).

31 1. l'' Soit X, une racine réelle simple de cette équation correspondant a la tangente OT; cette racine peut aussi annuler un certain nombre de coefficients des puissances de X ; soit x^g (X) le premier des coefficients qui ne s'annule pas, et soit enfin

e désignant un infiniment petit, et 5,(X) ne s'annulant pas pourX = X,. L'équation (33), réduite à ses termes d'ordre moindre, s'écrira

en effet tous les termes négligés contiennent soit des puissances de jr ou de £ supérieures à celles conservées, soit des produits de puissances moindres de x, par des termes qui

contiennent e en facteur. CVst celle équation qui fait connaître les points de rencontre de la courbe et de la sécante y ^ (X| 4- s) x^ infiniment voisine de OT. Deux cas sont à distinguer : si a est impair, Téquation (35) fait connaître, pour toute valeur de s, une seule valeur réelle de x, et cette valeur change de signe avec s, c est-à-dire lorsque la sécante passe d'un côté à l'autre de la tangente. Si, par exemple, 9i (Xj) et g (X^) sont de signes contraires, s et ^ sont de mêmes signes, et Ton a la disposition de figure ci-dessous

FiG. 13.

Si 9j (Xi) et g (X|) sont de mêmes signes, la courbe est audessous de sa tangente.

Fio. 14.

Soit maintenant a pair. Pour que Téquation (35) donne des racines réelles, il faut que e?i(X^) et ^(X^) soient de signes contraires, ce qui ne pourra arriver que pour un des deux signes possibles de s. Si c'est pour s positif, les sécantes qui, à droite de l'origine, sont au-dessus de la tangente, couperont la courbe en deux points situés de part et d'autre de l'origine, et la branche de courbe présentera la disposi-

:il4

tion suivauie

Fio. 15.

Si les deux valeurs réelles de x correspondent à s négatif, la branche de courbe se présente comme ci-dessous.

Fk;. 16.

Lorsqu'on obtient cette disposition de figure et que la branche de courbe MjOMj est la seule réelle passant en 0, on dit que le point 0 est un point d'inflexion, La courbe traverse sa tangente ; trois points d'intersections de la sécante M.,OM^ avec la courbe sont confondus en un seul 0. Ce point peut d'ailleurs être simple ou multiple.

31 2, 2* Soit maintenant X2 une racine double de l'équation (34). Nous poserons encore

92 (X) n'étant pas divisible par \ — x., = e. Ici l'équation qu'on obtient en prenant dans (33) les termes de degrés moindres est un peu plus compliquée que (35), parce qu'on ignore de quel ordre est x par rapport à e; il faut donc

COURBES PLu4JS£S ;)i5

conserver, outre les termes conservés dans (35), le terme de degré moindre qui contient s multiplié par une puissance de X, L'équation aux valeurs principales des infiniment petits sera donc

et nécessairement l'on a

sans quoi le terme du milieu n'aurait pas été conservé.

Les termes de Téquation (36) sont infiniment grands, par rapport à ceux de Téquation (33) que nous avons négligés ; mais rien ne prouve qu'ils soient tous les trois d'un môme ordre. Tout ce qu'on sait, c'est qu'il y en a au moins deux de l'ordre moindre, et que, s'il n'y en a que deux, le troisième est d'ordre supérieur et doit ôtre négligé. D'où plusieurs essais à faire pour grouper ces trois termes ; la discussion conduit aux trois hypothèses suivantes :

Première hypothèse : a <C 23- — Le seul groupement possible est celui où le premier et le dernier terme sont de

même ordre [x de Tordre - par rapport à s); l'équation (36)

se réduit à

«S(^i) + ^'''iJ'('») = «^

d'où Ton tire pour x une valeur de la forme

X = (At«)«.

Si a est pair et A négatif, il n'existe de valeurs réelles de X pour aucune valeur de s, c'est-à-dire que, pour aucune sécante passant par 0 et voisine de la tangente de coefficient Xo, il n'existe de point réel ; les a racines et les deux branches correspondantes sont imaginaires. Si a est pair et A positif, pour toute valeur de s, t a deux valeurs réelles égales et de signe contraire, et la branche présente la dispo-

sition ci-dessous

Fin. 17.

Si a est impair, quel que soit le signe de s, on trouve une valeur réelle pour x^ positive si A est positif, négative dans le cas contraire. r4'est le cas du rebroussement de première espèce.

Pio. 18.

Deuxième hypothèse : a > 2g. — Les deux groupements exclus dans Thypothèse contraire deviennent ici les seuls possibles, savoir : premier et deuxième termes de même ordre; Téquation (36) se réduit à

deuxième et troisième termes de même ordre, Téquation se réduit à

tiz{\) + x^-^g[\)^o\ (38)

et chacune de ces équations étant analogue à Téquation (35) fournit une branche avec une des quatre dispositions dessinées figures 13 à 16. La juxtaposition des branches fournies par

ces deux équations conduira à une des sept dispositions que voici

Fir.. lî).

Troisième hypothèse : a = 2g. — Les trois termes sont ici de même ordre, et Téqualion (36) s'écrit en remplaçant a par 2g et divisant par s-

Cette équation peut avoir ses racines soit imaginaires, auquel cas il n'existe aucune branche réelle tangente à OT, soit réelles et distinctes, auquel cas l'équation se décompose en deux de la forme x^ = sB, ce qui conduit, comme dans le cas précédent, à Tune des sept figures 19, soit enfin confondues.

Dans ce dernier cas, Téquation (39) peut s'écrire

/jpP

et il semble qu'il n'y ait plus qu'une seule branche réelle tangente à OT. Mais il importe de remarquer que, jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les parties principales des infiniment petits; or deux infiniment petits différents peuvent avoir la même partie principale. La question ne s'était pas posée jusqu'ici, parce que les infiniment petits

s'étaient trouvés distingués par leurs parties principales et que nous avions trouvé dans chaque cas deux branche» différentes correspondant à la racine k^- 'ci, les infiniment petits ne sont pas séparés, et le nouveau problème qui se pose est de savoir s'il existe effectivement deux infiniment petitsayant la même partie principale fournie par Téquation (40). Poor cela, considérant toujours s comme Tinfiniment petit principal, nous poserons

x' étant la partie principale donnée par l'équation (40) et j:^ infiniment petit par rapport à x\ Portons cette valeur de jt dans Téquation (33), où nous remplacerons aussi X par A2 + £ ; nous avons une nouvelle équation entre les infiniment petits x" et s, qu'on traitera comuie l'équation (3â). En général, les deux branches se sépareront dans le cours de cette nouvelle étude ; mais, si l'on était acculé à la troisième hypothèse que nous venons d'étudier et au cas particulier on l'équation (39) a ses racines égales, il faudrait poser

x" étant ta valeur principale de .r\ et ainsi de suite. Les deux infiniment petits finiront toujours par se séparer, à moins q«e la l'onction donnée /(./*, ?/) ne contienne un facteur carré qui correspondrait à une courbe double faisant partie de la courbe étudiée.

11 ne faudrait pas s'empresser de conclure de la réalité de x' donnée par Téquation ( iO) à la réalité d'une branche correspondante pour toute valeur de s; car il reste à trouver x' et peut-être d'autres termes de cet infiniment petit

Soit, par exemple, la courbe

(y — .r)* — 2 (y — ce) a?* -f- ./•* — a?"* — y^ = o. On est conduit en posant

à la première valeur approchée x = s. Soit ensuite

on trouve

et Ton voit que s doit être positif. On a donc deux valeurs pour x\ d où résultent deux points sur toute sécante passant à Torigine au-dessus de la tangente. Les valeurs de x sont

et sont positives toutes les deux. On a un rebroussement de seconde espèce.

ÎI13. 3** 11 faut maintenant considérer les racines multiples de Téquation (34), d'ordre de multiplicité supérieur au deuxième. La marche suivie jusqu'ici devient de plus en plus pénible, parce qu'au lieu d'une équation à trois termes, comme l'équation (36), on aura à grouper les termes d'une équation à jjl + 1 termes, si jj. est le degré de multiplicité de la racine considérée. En pratique, cette équation sera, la plupart du temps, incomplète, et l'on pourra procéder comme précédemment; mais il importe d'avoir une règle générale pour le cas où le groupement des termes offrirait trop de difficultés. Celte règle, qui est due à Newton, est la suivante : soit X' la racine multiple d'ordre ^ de inéquation (Si-), on fait dans l'équation (3:^)

soit encore

%^ -f- A»i*-U'» -f Bsf^ 2^? ^ ... -f Ke/'o;' \- ... + L/;> := o (il}

. l'é(|uation contenant les termes |>rincipaux de l'équation (33). C-qualiiin dans laquelle it s'agit de trouver les groupes de termes du l'ordre miaimum d'infmitudc. On trace dans le plan deux axes rectangulaires, et l'on marque dans ce plan les points qui ont pour coordonnées les deux exposants y el /> de X et de £ dans chaque terme. Comme ni >, — >,', ni x, ne sont plus en facteur dans l'équation (33), l'équation (H < contiendra toujours un terme indépendant de r. et un iiutre de e, c'est-à-dire que, dans le tableau de points précédents, il y en aura toujours un au moins sur 0% et un autre sur Or. Tous les autres sont, bien entendu, dans l'angle tOx. Gela posé, concevons une droite mobile d'abord dirigée suivant Os. et qui s'en détache de manière à pivoter autour de son point A, dans le sens trigonomélrique. ArW^tons-la au moment où elle passe pour la première fois par un des points marqués; dans celte position, elle contient peul-ôtre

plusieurs de ces points : soit B le point le plus à droite. La droite AB laisse au-dessus d'elle tous les points qu'elle ne renferme pas. Faisons, de nouveau, pivoter la droite dans le même sens, mais cette fois autour de B. jusqu'à ce qu'elle rencontre un nouveau point; soitC le point le plus à droite parmi ceux qu'elle contient maintenant. Tous les points qui ne sont pas sur BG sont au dessus. Faiso.is. de nouveau, pivoli'r la droite autour de G, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'i'Mc passe parle point F sur Ojt. Nous avons aiusi

COURBES PLANES 3!2i

formé une ligne brisée ABCDEF, que nous appellerons polf/gone de Neivton. Tous les points qui n'en font pas partie sont dans la région de Tangle lOx, qui ne contient pas Torigine.

Nous allons démontrer qu'à chaque côté du polygoiie correspond un groupement acceptable de tennea de réquation (il), et quon aura ainsi tous les groupements ; le coefficient angulaire d'un côté du polygone^ changé de signe^ est égal au degré d'infinitude de a:, par rapport a s, dans le groupement considéré.

Soit en effet m le degré d'iniinitude de .r par rapport à £,

c'est-à-dire sup])osons que -^ ait une limite finie M non

nulle; un terme quelconque do Téquation (41), Kz^x^ sera de Tordre p + mq et, entre les termes de même ordre, on aura les égalités

d'où Ton tire

(),. il LA (.gt \^^ coefficient angulaire de la droite qui joint

y — 9i le point y>, y, au point /)j, y,; donc tous les points représentatifs des termes d'un même ordre m seront sur une même droite de coefficient angulaire — m. De plus, si — m est le coefficient angulaire d\in des côtés du polygone de Newton, tous les autres termes seront infiniment petits d'ordre supérieur. Soit en effet RsV unt el terme; il sera d'ordre s -h m/, et la droite de coefficieût angulaire — m menée par ce point aura pour équation

elle coupe Os au point M', dont l'ordonnée est

CALCIL mFINITKSlMAL. 21

tandis que le côté du polygone qui a pour (équation

6 — p z=z — 'in[x — q)

coupe l'axe Os en un point M ayant pour ordonnée

et situé par construction au-dessous de M'. L'ordre v + ;w/, du terme RsV, est donc plus grand que celui du terme K£'\r'?. On voit en même temps que si, au contraire, on avait laissé des points au-dessous du polygone de Newton, il leur aurait correspondu des termes d'ordre inférieur à ceux conservés. Le théorème est donc démontré.