Jusqu'à présent nous avons supposé que l'équation (3i

n'avait pas de racines infinies, c'est-à-dire qu'elle était d'un degré égal à l'ordre de multiplicité du point 0, ou encore que la courbe n'avait pas de branche tangente à Oy. Si cet accident se produisait, on lèverait la difficulté par le procédé toujours employé, dans ce cas, en géométrie analytique, qui

consiste à remplacer Téquation

y ■^'kx soit par l'équation

soit de préférence par les équations

qui permettent dans tous les cas d'obtenir une équation on p d'un degré égal à Tordre de multiplicité du point.

.'lie. Dans ce qui précède, nous n'avons pas distingué le réel de Timaginairc, et nous avons donné le moyen de séparer dans tous les cas les racines infiniment petites d'une équation.

Mais il est clair que les racines réelles seules donnent des branches de courbe.

IV\ 7. Exemple. — Soit la courbe ^

1" Disposition à f origine. — Les termes du plus faible degré sont — '^y^^y — 3a:), d'où deux tangentes : Taxe des x.[(i =r o) et la droite OA, représentée par(2y — 3x = o). Pour voir comment la courbe se comporte dans le voisinage de Oj-, coupons par

En égalant à zéro les termes infiniment petits de Tordre moindre, nous obtenons Téquation

d'où la disposition indiquée par la figure 22.

' Lï'liide (le celle courbe a été proposée au concours d'admission à l'École noniialc en lhS»S.

COURBES PLAJSES

infiniment petits à conserver sont ici

3aj3

s )x. Les termes

d'oii la disposition représentée par la figure 23.

2* Branches infinies, — Les termes du plus haut degré étant X {x^ — y^)^, nous trouvons, comme directions asymptotiques Taxe des y, qui est direction simple, et les bissectrices OF et OG, qui sont directions doubles.

Pio. 2-2.

Fio. 23.

Dii^ection asyjuptotique Oy. — Soit x infiniment petit ;

comme y est infiniment grand, nous poserons y = ->» et y'

sera infiniment petit. L^équation entre x et y devient, en se

bornant aux termes d'ordre moindre :

x doit être positif, et il lui correspond deux valeurs pour y', d'où deux valeurs infiniment grandes pour y. On a donc la disposition de la figure 25.

Fio. 24.

Fio. 25.

Direction de la première bissectrice OF. — Posons f/=x e doit être infiniment petit pour que x soit infiniment grand ; donc OF sera l'asymptote elle-même, et nous poserons

X étant infiniment petit : Téquation réduite entre x et s sera

Donc X est négatif, quelle que soit la valeur de s, et l'on a la disposition représentée figure 24.

Direction de la deuxième bissectrice OG. — Après avoir constaté que Tasymptote correspondante est rejelée à Finfini, posons

X étant un infiniment petit.

Le faisceau des droites qui vont de Torigine aux points de rencontre de la courbe avec la droite (A) a pour équation, après suppression du facteur x -\- y,

a; (a? + y] (a? - y)» + 4a:yA (a: — y)» — 4y (2.Î/ — 3a;) X3 (a- + y)« = o.

Une ou plusieurs de ces droites sont très peu inclinées sur la bissectrice; posons donc

L'équation, réduite à ses termes d'ordre moindre, devient

Donc X et s sont de même signe : la droite OP, qui correspond à s positif, rencontre la courbe sur une droile parallèle à la direction asymptotique qui a une ordonnée à

l'origine -> infiniment grande et positive. La droite OP', qui

correspond à s négatif, rencontre la courbe à Tinfini audessous de la bissectrice. D'où la disposition indiquée [fig. 26) (branche parabolique).

La courbe, représentée par la figure 27, s'achèvera aisément au moyen des quelques remarques suivantes : les axes, ni leurs bissectrices ne rencontrent la courbe en des points réels à distance linie ; la droite OA rencontre la courbe au

point dont Tabscisse est x = — ^^' Les branches de courbe

ne peuvent donc, sauf la branche OE, sortir de l'angle où nous les avons amorcées. Nous représentons, en pointillé, les parties de courbe qui raccordent de la manière la plus simple celles qui sont déjà trouvées.

Fio. 26.

Fio. 27.

On peut d'ailleurs étudier complètement cette courbe en la coupant par des droites pivotant autour de Torigine ; mais cette discussion sortirait du cadre que nous nous sommes tracé.

Représentation parabolique de la courbe

à l'origine

318. Toute Tétude que nous venons de -faire des courbes dans le voisinage d'un point singulier est fondée sur ce théorème, que les valeurs de y peuvent, dans ce voisinage, ôtre développées en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et positives de x. Il importe de donner les premiers termesf de ces séries. Pour cela, remarquons que nous avons posé

X, étant une racine de Téquation (34), et que tout l'esprit de la méthode a consisté à trouver la limite du rapport -- = M. On tire de là

et c'est la solution du problème, lorsque les diverses valeurs de xj — A.j* n'ont pas la môme valeur principale. Dans le cas contraire, on pourra poser

c' étant la valeur principale qui vient d'être calculée, et s' une nouvelle inconnue qui se déterminera en fonction de rinfiniment petit .r, comme précédemment. En répétant cette opération autant de fois qu'il sera nécessaire, et sul)stituant £ dans (ii), on obtient finalement la valeur de y sous la forme

y ~ \ix + Ka?« + La:? + ... (46)

les exposants a, Ji, ..., étant positifs et croissants.

Ce calcul peut être traduit par Ténoncé géométrique suivant : « Dans le voisinage d'un point singulier, chaque branche de courbe peut être remplacée par un arc de parabole facile à construire; Téquation de cet arc de parabole est l'équation (46). »

«^19. Ainsi, dans l'exemple du n* 312 his^ on trouve comme valeur principale de s

posant alors, parce que les deux branches ne sont pas encore séparées,

on trouve

d'où enfin les deux branches représentées par l'équation

y = X -\- x^ dt x^ \jx.

3âO. Enfin, dans l'exemple du n° 317, on a trouvé, pour la branche tangente à 0^,

et la parabole auxiliaire a pour équation

Pour la branche tangente à la droite

on a posé

d'où

ce qui donne la parabole

Are, tangente, asymptote et normale en coordonnées polaires

IV^l. Arc. — Pour obtenir la différentielle de l'arc en coordonnées polaires, il suffit de poser

a* r=: p COS<D,

y = ù sinot), d'où

dx = cos(o(fp — p sin<s>(/(i), dy = sin w c/p -}- p ces &> rfo).

Faisant la somme des carrés et ajoutant, on trouve

ds^ = fl?p2 -f p2c/a>^. (47)

3^2. Tangente. — L'équation d'une droite en coordonnées polaires est

- = A sinw + B costo). (48)

Exprimons que cette droite passe par les deux points de la courbe infiniment voisins, qui ont pour coordonnées r, a et r + rfr, a + rfa ; nous avons les conditions

- =r A sin a 4" B ces a, (49)

^ , ^^. = A sin (a + rfx) -f B COS (a + c?a),

-dont la dernière peut être remplacée par celle qu'on en déduit en en retranchant l'équation (49), et divisant par rfa,

r -\- dr r . sin (a -|- <^«) — sin g ^ cosyai + rfa) — ces a

rfa t/a c/a

OU encore

doL

■= A cosa — B sina.

Éliminant A et B entre (48), (49) et (50), nous obtenons Téquation de la tangente au point /*, a :

sino)

sina

cos u>

cosa

cos a — Sina

OU en développant

- =r - COSfco

a) + (;) sin (^ — *)•

• On déduit de lîi la sous-tangente en faisant oi = a + 5» d'où

sous-tang

En faisant p = oc , on aura la valeur (•>, de o), qui définit la direction de la tangente

tang ((o, ~ a) = — -tJy' ="= 7

Appelons V l'angle de la tangente et du rayon vecteur mené au point de contact ; nous aurons

doù

tangV = p