Soit, par exemple, la spU^ale logarithmique ^ qui a
pour équation
La formule (52) donne
laner V == — • ^ m
Donc la spirale logarithmique coupe tous les rayons vecteurs issus du pôle sous un angle constant.
C{^4. Asymptote. — Soit a l'angle polaire qui définit une direction asymptotique, c'est-à-dire Tangle fait avec Taxe polaire 0.r, par le rayon vecteur qui joint le pôle 0 au point rejeté à Tinfini. L'asymptole correspondante peut être considérée comme une tangente dont le point de contact est
rejeté à Tinfini ; Téquation (51) donnera donc immédiate-
ment, en y faisant - = o, Téquation de Tasymptote
i^(J)%in(co-a). (52)
Mais nous avons vu qu'il n'est pas toujours permis de considérer Tasymptote comme limite des positions d'une tangente. Revenons donc à la définition de Tasymptote.
Soit toujours a Tangle polaire définissant la parallèle OH, menée par le pôle h l'asymptote AB. Par définition, la dislance MQ, du point M à AB, doit tendre vers zéro. Menons
par 0 une droite qui fasse avec Ox l'angle a -f- ^; cette droite
coupe Tasymptote en un point C, qu'il suffit de connaître, et
que nous définirons par le segment dirigé OC = d. Puisque MQ tend vers zéro, d sera la limite de la projection du
rayon vecteur OM ou p sur OK, c'est-à-dire qu'on aura
d =r lim p COS ( a -|- - — «0 J
ou
d = limp sin(a> — a), (53)
et pour équation de l'asymptote
- = - sin (d) — a), p (.1
3125. 11 est intéressant de montrer que les formules (52) et (58) conduistint bien au même résultat, en généial. En efl'et, remarquons que si, dans la formule (52), nous faisons
(0 = :c 4- ^1 nous obtenons la valeur de rf, c'est l'inverse de
tout revient donc à démontrer que
limpsin((o-a) = — 7-
Or on peut écrire, puisque - = o,
sin (w — a)
. / V sin (o> — a) (13 — a p sin(co — a) = ^^ ^ — — q —^
et la limite du second membre est bien ( - j -La seule condition pour que cette démonstration soit acceptable est <iuc f-j ait une limite bien déterminée lorsque ti> tend
vers a, cest-à-dire que la tangente ait une position limite. C'est la condition déjà trouvée (n° 302).
CI^O. On pourrait se demander ici ce qu'il advient lorsque l'équation de la courbe
F fp, (a) = o,
dont la dilTérentiation est nécessaire pour obtenir la déri-
vée -T^j donne pourcette dérivée une expression indéterminée.
Mais cette étude, peut-être intéressante comme exercice de géométrie, ne révélerait pas d'autres faits analytiques que ceux auxquels nous a conduits l'étude d'une courbe autour d'un point singulier en coordonnées recti lignes. 11 n'y a donc pas lieu d'insister.
:iâ7. Normale. — L'équation de la normale s'obtient en cherchant la droite passant par le point ;•, a, et qui est perpendiculaire à la tangente. On trouve aisément
- =r - cos (a> — a) H — ; sin (w — a).
Pour avoir la sous-normale^ on fera o = a + ^' ce qui donne
Ainsi, dans la spirale (t Archimède ,
p = aa>,
la sous-normale est constante.
Coordonnées tangentielles
•1^8. La remarque du n° 326 s'applique textuellement à l'équation tangentielle
La dilît^roiitiatiou de celte équalion, qu'amènera nécessairement rinterprétatiou géométrique, conduirai des distinctions dans les propriétés de la courbe représentative ; mais les faits analytiques concernant la fonction ç(m, v) ne seront pas nouveaux. — Je montrerai seulement, par un exemple, combien les mêmes faits analytiques peuvent donner lieu h des interprétations géométriques différentes. En coordonnées cartésiennes, le fait qu'un système de valeurs x^^, t/^ annule simultanément la fonction f{x, y), ainsi que ses dérivées partielles jusqu'à Tordre /> exclusivement, s'est traduit par le langage suivant : En un point singulier, la courbe a/> tangentes distinctes ou confondues, distinctes ou imaginaires. En coordonnées tangentielles, si u^, t\^ annulent simultanément lafonction ^{ff^r) et ses dérivées jusqu'il l'ordre p exclusivement, voici, en admettant que les droites de coordonnées II, V soient les tangentes d'une courbe, quelle sera l'interprétation géométrique : toute tangente singulière est touchée par la courbe (»n p points distincts ou confondus, réels ou imaginaires. Ainsi, tandis qu'un point d'intlexion n'est pas, au point de vue cartésien, un point singulier, la tangente au point d'inflexion, en coordonnées tangentielles, est une tangente singulière. Au contraire, si le point de rebroussement de première espèce est, en coordonnées cartésiennes, un point singulier, la tangente de ce point, en coordonnées tangentielles, est, en général, une tangente ordinaire.
3129. D'ailleurs on verra, dans le chapitre suivant (n° 361), que Téquation tangentielle d'une courbe nVst pas autre chose que l'équation ponctuelle d'une courbe intimement associée à la première et que les propriétés de Tune se déduisent aisément des propriétés de l'autre; en particulier, les faits à apparence un peu paradoxale que nous venons d'énoncer se trouveront expliqués.
COURBES PLANES (suite) : CONTACT, ENVELOPPES
OSCULATION, COURBURE
Définitions
330. On (lit que deux courbes ont en un point un contact du n""* ordre si elles ont, outre ce point, n autres points communs infiniment voisins du premier.
331. Une Courbe d'ordre m est dite osciilatrice en un point à une courbe d'ordre p [p > '>0î lorsqu'elle a avec celle courbe un contact de Tordre le plus grand possible compatible avec le nombre d'arbitraires que son équation renferme.
Ainsi une tangente doit ôtre considérée comme osculatrice il la courbe en un point ordinaire, parce que deux points (infiniment voisins, ici) suffisent à déterminer une droite. Il peut d'ailleurs arriver que le contact de la tangente et de la courbe, au point simple, soit d'ordre supérieur au second : c'est ce qui arrive anx points d^inflexion.
Pour déterminer un cercle, il faut trois points; donc, en un point d'une courbe, il y a toujours un cercle osculateur. Ce cercle a avec la courbe un contact du second ordre. Exceptionnellement ce contact peut être d'ordre plus élevé ; ainsi, au sommet A d'une ellipse, un cercle tangent en A, qui passe par un point B infiniment voisin de A sur Tellipse, passera aussi par le symétrique B' de B par rapport à Taxe;
il aura donc avec rellipse quatre points communs, deux en A, plus B et B' ; le contact sera du troisième ordre.
Par contre, s'il y a inflexion, le cercle osculateur dégénère en ligne droite. La parabole osculatrice, en un point d'une courbe, sera déterminée par quatre points inflniment voisins, c'est-à-dire aura avec la courbe un contact du troisième ordre; l'ellipse osculatrice présentera un contact du quatrième ordre, et ainsi de suite.
8312. L'objet du chapitre actuel est de chercher les conditions analytiques de contact et d'osculation et d'étudier quelques questions se rattachant à ce problème.
Conditions de contact
333« Soit une courbe C
et une seconde courbe C'dont nous supposerons les coordonnées exprimées en fonction d'un paramètre /
Nous allons exprimer que les n -\- i points qui correspondent aux valeurs du paramètre
sont sur la courbe C. Posons
les conditions seront
F('o+'^.^)=F(g+A„(,Fv,o+---+nl!3!-:;i^'"'('o)+ •••=«•
CALCUL INFLNITÉSIMAL. 22
Retranchons la première équation des suivantes et divisons-les respectivement par Aj/q, IJq, ...; puis faisons tendre, dans la seconde, Aj/q vers zéro, de manière qu'elle se réduise à
retranchons alors F'(^()) des n — 2 équations restantes, et
divisons-les respectivement par —|^» — |-^i ...; puis faisons-
tendre A.,/q vers zéro de manière à réduire la première de ces équations à
répétons cette opération jusqu'à épuisement des /i 4- 1 équations; nous aurons finalement les conditions cherchées
Vj,) = o, F'(0-=o, F"{l,)=.o, ..., F^-) (V) = o. (3)
.'534. Si maintenant la courbe C et la courbe C sont données par des équations telles que
En rempla(^unl la seconde par
on rentrera dans le cas précédent. Ici l'on aura et par conséquent les conditions cherchées seront
pn) (j,J = ^.0 (^J
COUBBES PLANES 339
335. Enfin si les deux courbes sont données par les équations
il faudra d'abord quele point (x^^^ j/q = Y,)) satisfasse aux conditions
/"(•^oi yo) = o» fi (-^01 Yo) = o ;
il faudra ensuite, en considérant x comme la variable indépendante, exprimer que
.jf — Y '
.An) — Y(/»)
y 0 — * 0 • Or on a, en différentiant les équations (6) n fois,
DY
\ t^o;*^ ^^^ c>a;c\y +^ D^^^ ^ ^ c> "" ^' \ Dx'^ ^ "^^ DayDY ^ ^ c^Y^ * ^ ^Y - ^•
Entre les deux premières, on pourra éliminer y^, qui est égale à Y^ ; y' étant donnée par une de ces deux équations, on portera sa valeur dans les deux suivantes, et Ton éliminera entre ces deux équations f/l = YJ. De proche en proche, on obtiendra les conditions cherchées
^xq c^o :^x^ cVo
Remarque. — Tout ce qui précède suppose les dérivées non toutes nulles, c'est-à-dire le point simple sur chacune des courbes.
340 CHAPITRE XVri
336. Théorème. — Si deux courbes ont un contact (f ordre n en un point ordinaire M, on peut trouver detw points N, Nj, infiniment voisins de Mépris fun sur /a première courbe, fautre sur la deuxième, et tels que leur distance soit d'ordre ;i + 1 au moins par rapport à MN.
Soient en effet
les équations des deux courbes; Xq, y^^, les coordonnées du point M de contact; x\ y, celles d'un point N de (C), x,, yj, celles d'un point N, de (G,). On peut toujours supposer les axes choisis de manière que Taxe des t/ fasse un angle fini avec la tangente commune en M. Alors la dislance MN se projette suivant un infiniment petit x — Xq, de môme ordre que MN. Nous choisirons Nj, tel que
iJC — X i •
La distance NNj sera ainsi égale au module de y — y, c'est-à-dire à
I /"te) - rM I •
Or on a, par ia formule de Taylor,
r{x) = rM + {x- X,) r K) + ... + f^^^ r-'K)
+ Alff+V^"'(^,)+- (8) Comme
o.t que les conditions de contact sont
la soustraction des équations (7) et (8) donnera
ce qui démontre le théorème.
Il faut remarquer que le second membre change de signe avec X — x^j, si n est pair. Donc les courbes se traversent au point M si leur contact est d'ordre pair, et ne se traversent pas dans le cas contraire.
337. Réciproquement, si Von peut trouver sur deux courbes, qui ont un point commun ordinaire M, deux points N et Nj, infiniment voisins de M, et tels que leur distance NNj soit d'ordre ?i -[- 1, par rapport à MN, les deux courbes ant un contact d'ordre n. Pour le démontrer, on prendra Taxe des y parallèle à NN^ ; on supposera les équations des courbes sous la forme (4) et (5), et il restera à exprimer que f{x) — /i(j^), c'est-à-dire à cause de (7) et (8),
est du (n + 1)"' ordre par rapport k x — Xq, ce qui exige que
Ce sont bien les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait contact du n"' ordre.
