IB^— . ^
-7- a disparu. Le problème n'est donc pas possible en général, puisque les équations (52), jointes aux équations de la courbe, déterminent un certain nombre de points, et non une courbe. Les équations (52) expriment les conditions de possibilité du problème.
En posant
/ (m, t?) = aw 4- a7o, <p (u, î?) — pM + y^^ .f(w, r) — yu + Zq,
et faisant l'hypothèse que a, 3? 'm «2:0, yo» ^o ^^^^^ ^^^ fonctions de V seulement, on obtient les équations d'une famille de droites ; les équations (52) deviennent
a'u + xl^ *M + yi c'w + -a'i
et il suffit d'éliminer u pour retrouver la condition (47).
Il est évident qu'on pourrait aussi, dans le cas général, éliminer u tant dans les données qu'entre les conditions (52) ; nous rencontrerons plus loin ce procédé de calcul. Nous n'y insisterons donc pas pour le moment.
431. Les mômes résultats peuvent être retrouvés par des considérations tout à fait différentes. On sait, en effet, que la plus courte distance 8 de deux droites dont les équations sont
et
Z — Zq
X Xi
a pour valeur, au signe prùs,
Y Yt
v/(ap, - ^oi.Y + iPr, - yPJ--' + (y^4 - ^^^Y
Or, si les deux droites sont deux positions successives des
droites d'une même famille, on aura
Vk =yo + ^Vo = •••
et la valeur principale de 5 sera
dx^
^yo
dz^
da
dy
Cette expression est du premier ordre. Pour qu elle soit d'ordre supérieur au premier, il faut que
dcÛQ
dz
OL
dx
dy
C'est la condition (47). Ainsi la plus courte distance o de deux droites infiniment voisines est, en général, du premier ordre : pour qu'elle soit (Tordre supérieur, il est nécessaire et suffisant que les droites de la famille soient les tangentes dune même courbe. Nous allons montrer que, dans ce cas, comme nous Tavons énonco, n° 418, 3 est, en général, du troisième ordre. Les termes du second ordre sont
le numérateur, étant la dérivée du déterminant qui précède, esl nul, ce qui démontre la proposition.
43â. M. Darboux a étendu le théorème précédent, qui est dû à Bouquet, au cas de deux courbes infiniment voisines d'une même famille; leur plus courte distance est du
premier ordre, à moins qu'elles n'aient une enveloppe, auquel cas cette distance est du troisième ordre au moins.
Enveloppes de surfaces ù un paranièti*e
'itlll. Lorsque Téqualion d'une surface (S) renferme un paramètre variable X, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de surfaces. Chaque surface coupe la surface infiniment voisine, suivant une courbe qu'on appelle la caracféristiqtfe de la première surface; nous démontrerons que le lieu géométrique de ces caractéristiques est une surface (S), tangente à toutes les surfaces (S), et que les caractéristiques ont elles-mêmes une enveloppe. La surface (2) est dite Yeiiveloppe des surfaces (S), qui sont les eineloppées; Tenveloppe des caractéristiques s'appelle Varete de rebroûssement.
4;»4. Soit
rix, y, z,\)z=,o (33)
Téquation d'une surface (S).
Une surface voisine aura pour équation
/■(^i y, «"» À -|- AX) = o
et son intersection avec (S) sera déterminée par l'équation (53) et par
/ [x, y, z, X + AX) — r(x, .y, z)
