MF
De plus le plan onn\ étant parallèle aux deux axes de courbure, est perpendiculaire aux deux plans osculateurs infiniment voisins et, par suite, à leur intersection, c'est-àdire (n° 414, Remarque), à la tangente, et comme nn est perpendiculaire à la droite polaire, ou parallèle au plan osculateur, elle est encore parallèle à la normale principale. Les coordonnées de n étant ^, r^ w, et celles de /i' \ + r/;, r^ H- r/y;, ^ H- fl^g, le parallélisme dont il vient d'être question se traduira par les conditions
f = ^ = l^ = T.rfs. (31)
C'est le second groupe des formules de Frenet, et il en
résulte, pour le signe de t, une détermination précise que n'avait pas fournie la formule (29). Il reste h calculer f/\,
Or le triôdre mobile ayant rorientation convenue, on a
= yn —
= PÎ -
Nous en déduirons les différentielles; il suffit de faire le calcul pour la première
Cette égalité devient, à cause des formules (,%) et (31),
n '^'^ I I « , ^ ds
(1A ^= Tjv TT- -f- Yi"''^"* — pyvas — ÇfJ'- cT'
ou
= "^^^^ ^Is -h (va - pv) tr/..
Mais on sait que dans le déterminant
chaque élément est égal au mineur correspondant, pris avec son signe; c'est ainsi, par exemple, qu'ont été écrites les équations (32). On aura donc aussi
a =-• ULÎ — V7|, Ç = Pv — YH-i
(32 bis)
ce qui permet dé simplifier la formule (33) et d'écrire délinitivement (en écrivant aussi par analogie les valeurs de
d\L et de rfv)
r/X = (^ ^ ^ $t) ds
r/|x=^- j^— r,TJ ds r
'' = (- Il - '■) *
Ces équations avec (30) et (31) constituent le groupe complet des formules de Frenet.
418. Ces formules offrent certaines commodités pour le calcul. Proposons-nous, par exemple, de calculer les cosinus directeurs de la normale principale en fonction de
Tare. Comme a ==-7:1 3= / ' ^^^^TT' '^^ formules (30) donnent sous la forme la plus simple
et les formules de changements de variables permettraient d'exprimer X, ;jl, v, en fonction d'une variable quelconque. Mais le calcul que nous venons de faire a une plus haute portt'^e; en effet, nous avons obtenu, en fonction des quantités a, 3, V, X, ji., V, et des courbures, les dérivées premières et secondes des coordonnées d'un point courant de (C), par rapport à Tare s'. En prenant, de nouveau, les dérivées par rapport à .v, dans les équations précédentes, on introduira les dérivées troisièmes des coordonnées, et, dans les premiers membres, les dérivées de a, [a, v; mais ces dernières s'expriment (3i) en fonction des cosinus a, g, 7, ;, yj, ;, et Ton pourra de môme obtenir successivement toutes les dérivées des coordonnées en fonction des cosinus directeurs du trièdre mobile. Par suite, dès qu'on connaîtra la courbure et la torsion en fonction de Tare
et qu'on aura de plus, pour une valeur v,) donnée de 5, les valeurs initiales des coordonnées et des cosinus, x^^, y^, z^,
«0. ?o» Yo» \^ l^. ^^ (J'oû ?oi %. îo)» la- courbe gauche sera déterminée, et les coordonnées d'un point quelconque s'obtiendront, sans intégration, par des séries de Taylor, toiles que
Si on suppose, par exemple, les axes fixes coïncidant à Torigine des arcs avec le trièdre mobile, on aura
X = O, ji r= 1, V = G,
k, etc..
et les développements en séries dont il vient d*ôtre question donneront pour les premiers termes des coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin de Torigine M des coordonnées du trièdre mobile
Dans ces formules. A- et t sont les valeurs de la courbure et de la torsion an point M ; le la valeur au même point de la dérivée de la courbure par rapport à Tare. La dernière de ces formules constitue une nouvelle démonstration de celle donnée au n° 410.
Ces trois formules ont été données, dès 1869, par M. Rouch:'», dans une note placée à la suite du Traita de Geomêtrie descriptive, de Th. Olivier; nous empruntons à la môme note les valeurs principales d'un certain nombre de quantités infiniment petiles, qu'il peut être utile de connaître, et dont rétablissement n'est plus alors qu'un exercice de géométrie analytique.
La distance d'un point à la tangente an point infiniment voisin a pour valeur pjnncipale
Vangle du plan oscnlatevr en un point avec la tangente
au point infiniment voisin a pour va/eiir principale
I I At I ds*.
La plus courte distance des tangentes en deux points infiniment voisins a pour valeur principale
^ I At I fUK
L angle de la tangente en un point et de la trace, sur le plan osculateur en ce point, du plan oscillateur au point infiniment voisin a pour valeur principale
^ lids ;
c'est la moitié de l'angle de contingence.
L'angle et la plus courte distance de deux normales principales infiniment voisines ont pour valeurs principales respectivement
Va» + T>
Le plan osculateur en un point M fait avec le plan mené parla tangente en ce point M et par un point M' infiniment voisin un angle dont la valeur principale est
c'est-à-dire le tiers de Tangle de torsion.
La perpendiculaire commune aux tangentes en deux points infiniment voisins, M et M', fait avec la binormale un angle dont la valeur principale est
42i CHAPITRE XVIIl
Considérations géométriques
419, Par un point 0, menons des parallèles Om, Om\ Oc, aux tangentes MT, M'T', et à la corde MM', d'une courbe gauche (C). Si le point M est ordinaire, les angles de MT et de M'T avec MM' sont évidommenl de même nature; en d'autres termes, dans le trièdre OfH^n'c, les deux faces
cOm, cOm\ sont des infiniment petits de même ordre ; elles
sont donc aussi du même ordre que 77iOm\ qui est Tangle de contingence de (G); elles sont du premier ordre par rapport à Tare MM'. 11 en résulte que la démonstration donnée n° 338, pour les courbes planes, subsiste, et que, sauf aux points singif/ierSj la distance d'un point d'une courbe à la tangente au point infiniment voisin est du second ordre par rapport à l'arc qui unit les deux points.
Par la tangente en M, menons un plan P quelconque, et soit M'A la perpendiculaire abaissée de M' sur ce plan, M'B la perpendiculaire à la tangente MT. L'angle ABM' n'est pas infiniment petit, et, comme dans le triangle ABM', on a
M'A = M'BsinÀBM',
la distance du point M' au plan P est du deuxième ordre. Il y a exception si le plan P fait avec le plan MBM' un angle infiniment petit, c'est-à-dire si le plan P occupe la position limite du plan MBM' (plan osculateur). La distance du point M' au plan osculateur est donc d'ordre supérieur au second.
Il résulte de la définition de la torsion et de considérations analogues à celles développées au commencement
de ce paragraphe que Tangle ABM' est, en général, du premier ordre, et, par suite, que la distance d'un point au plan osculateur est du troisième ordre en général. Le cercle osculateur, limite d'un cercle qui touche MT
en M et qui passe en M', est dans le plan osculateur. Soit dans le plan de ce dernier cercle, M'C perpendiculaire sur le diamètre qui passe en M, et Rj le rayon du cercle, on a
MM' =r MC X 2R^ ;
d'où, pour valeur principale de la distance de M' à la tangente en M,
MC = B = ,4 ds^' 2R
C'est la formule donnée sans démonstration au n"" 418.
Sphère osciilalriee
420. Considérons une sphère quelconque passant par le cercle oscillateur en M. La dislance M'H du point M' à la circonférence osculatrice est du troisième ordre ; par conséquent la distance de M' k la sphère qui est inférieure, mais, en général, comparable à M'H, est aussi du troisième ordre. 11 y a exception pour une sphère limite de celle qui passe en M' : c'est la sphère osculatrice.
Etablissons son existence par le calcul, et calculons son rayon. Soit
{\-x,Y + (Y - yo)' + (Z - ^o)^ - R^ = o
l'équation de cette sphère; d'après la théorie de l'osculatioh, on doit remplacer X, Y, Z, par les coordonnées x^ y, 2, du point M, puis différentier trois fois. Nous prendrons l'arc .v comme variable indépendante ; on aura
puis
426 CHAPITRE XVni
OU, en employant les notations du n° 417,
{x — x^) a + f> — y^) p + f^ — ^^) Y = o. (36) DiffiTentions de nouveau ; nous obtenons l'équation
que les formules de Frenet (;^0) permettent d^^crire
[x — a?o) X -{- (y — /y^i p. -f (^ j^) v + R = o. (37; Différentions uno troisième fois; il vient
parce que
aX -j- P|jL -|- Yv = o.
Remplaçons encore les dérivées de a, jjl, v par leurs valeurs (3i). Nous obtenons enfin Téqualion
ou plus simplement à cause de (36)
Les équations (36), (37), (38) déterminent x^, y^, z^ et (35) donne R^; mais il suffît d'élever au carré les trois premières équations, après avoir isolé les quantités connues dans les seconds membres et de les ajouter membre à membre, pour obtenir, en vertu dos relations bien connues qui lient les cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle,
COURBES GAUCHES. — SURFACES, ETC. Atl
Il est à remarquer que les équations (36) et (37) coïncident, aux notations près, avec la deuxième et avec la troisième équation (26). Le centre de la sphère osculatrice se trouve donc sur la droite polaire, et cette sphère contient le cercle osculateur.
421. La formule précédente montre que le rayon de la sphère osculalrice ne peut être égal au rayon de courbure que si
L'annulation du facteur - n'offre pas d'intérêt; elle ne
donne comme courbes réelles que des droites. Au contraire, les courbes définies par Téquation •
méritent d'être étudiées. Dans ce cas
R,, — Ri
le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure, et c'est le seul cas où la coïncidence dos deux centres soit possible.
Cherchons, dans ce cas, le lieu du centre de courbure. En différentiant totalement les équations (:^6) et (37) où Xq, //„, Sq sont maintenant considérées aussi comme des fonctions de s, on trouve, dans tous les cas^
as 'as as
Le centre de la sphère osculatrice décrit donc toujours une courbe dont la tangente, perpendiculaire h la tangente
MT de (C), et à sa normale principale, n'est autre que la droite polaire. Donc, dans les courbes à courbure constante, le lieu du centre de courbure est une courbe (Cq) tangente à toutes les droites polaires, et Ton peut déjà remarquer en passant que, contrairement à ce qui se passe dans les courbes planes, le lieu des centres de courbure de (G) n'est pas tangent ici aux normales principales. Le plan osculateur de (G^l, mené par une droite polaire parallèlement à la droite polaire infiniment voisine, se trouve perpendiculaire à deux plans osculateurs successifs de (G) ou à leur intersection, c'est-àdire à la tangente MT. Gomme, d'autre part, le plan normal de ((^o) n'est autre que le plan osculateur de (G), la droite polaire de (Gq) se confond avec la tangente de (G). Il y a réciprocité complète entre les deux courbes.
Application des lliéories précédentes à. Fliéliee
422. On sait que Thélice est une courbe tracée sur un cylindre et telle que l'ordonnée d un point est proportionnelle à son abscisse curviligne. (On appelle ordonnée d'un point la portion de génératrice du cylindre comprise entre le point et le plan d'une section droite fixé arbitrairement, abscisse curviligne, l'arc de cette section droite, compté depuis une origine donnée jusqu'au pied de l'ordonnée.) Il résulte immédiatement de la définition que la tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génémlrices du cylindre. Nous allons, dans ce numéro, retrouver celte propriété et quelques autres, en nous bornant au cas du cylindre de révolution; les équations de l'hélice sont alors
X = a cos <p, y = ^ sin 9, ^ = maçr.
On en tire
dx = — a sinof^^, dt/ z=i a costprZi», dz — mad:^,
ds = a Jl 4- ;?i^ dzt = r do,
^ ' * cos 9 '
en posant
m = lang ©.
dz Comme -y =m . co^sO = sinO, la tangente à t hélice fait
un angle constant avec taxe dtt cylindre.
D'ailleurs les cosinus directeurs de la tangente auront pour valeurs
a = — sin<p cos 0, 6 = ces «p cos 0, 7 = sin 0,
Les quantités A, B, C (12), qui figurent si fréquemment dans la théorie des courbes gauches, se calculent aisément
A = ma^ sin (p, B = — ma^ coscp, C = a^
On en tire
La courbure (13) et le rayon de courbure auront donc pour expression
cosO
fl3
cos* a
cos^Q
^^ ""cos»0'
le rai/on de courbure de r hélice est constant.
Les cosinus directeurs de la droite polaire peuvent s'écrire immédiatement
î^rsinçpsinO, tj = — sinOcosip, C = cos9.
Cotte droite est perpendiculaire au rayon du cylindre dont les cosinus directeurs sont
cos^, sin^, o.
Donc le plan osculaleur en un point de rhélice, qui est perpendiculaire à la droite polaire, contient le rayon du cylindre, ou encore est perpendiculaire au plan tangent du cylindre; la normale principale de Thélice se confond avec le rayon du cylindre. *
Nous verrons plus loin qu'on appelle lignes géodéûques d'une surface les courbes dont le plan osculateur contient la normale à la surface; Thélice est donc une ligne géodésique du cylindre. Si Ton admet, ce que nous démontrerons, que, sous certaines réserves, une ligne géodésique est le plus court chemin qu'on puisse tracer sur la surface, entre deux points de celte ligne, la propriété, qui vient d'être énoncée, était évidente puisque Thélice, dans le développement du cylindre, devient une ligne droite.
Cherchons enfin la torsion; le déterminant (25), qui figure au numérateur, a pour expression
D = \x" + B.y'" + Hz"' = ma}.
Donc
m cos^ 6 sin h cos Q
La torsion est constante.
4^3. L'hélice est la seule courbe qui ait sa courbure et sa torsion constantes. Nous allons même démontrer que les seules courbes, pour lesquelles le rapport de la courbure à la torsion est constant, sont des hélices tracées sur un cylindre à base quelconque.
Les formules de Frenet (30) et (31) donnent
rfÇ "^ rfïl "" rfC ~ T "" ^*
a étant une constante* On en déduit
a = aÇ -j- A
A, B, C, étant de nouvelles constantes. Multiplions ces trois équations respectivement par a, g, y, et tenons compte des relations connues
*5 + ?■' + ïC = o Nous obtenons l'équation
Aa + Bp + Cy = 1, (41)
qui exprime que la tangente à la courbe fait un angle constant avec la droite
Le théorème est donc démontré; mais nous allons prouver en outre que, si la courbure et la torsion sont constantes, le cylindre, sur lequel est tracée l'hélice, est à base circulaire.
Nous prendrons la direction des génératrices du cylindre pour axe des s(A = o, B == o). L'équation (41) devient
- = T, = -, dou: z = ^ + z,, («)
et la troisième équation (40) donne, pour ;, une valeur constante, qu'jl est inutile de calculer. La dernière équation (30) donne, puisque r/v = o,
c'est-à-dire que la normale principale, pour toute hélice, est perpendiculaire aux génératrices du cylindre. La première formule (32 his) devient alors
et de même on a
p = - xc
Mais les formules (30) donnent encore
as ' (h
de sorte que les équations précédentes peuvent s'écrire
On en déduit sans peine
«f + pf = 0, a» +?«=»»», (43)
.« + p» = pç, arc tangC = -^. m et «0 étant des constantes. La dernière équation donne
a *^"8 RÇ
•et en combinant avec Téquation (43)
a> = m^ cos^^^^, P^ = m^ sin« î^^-
On peut évidemment choisir le signe en extrayant les racines carrées et poser
dx s — Sq . dy . s — s^
ds KÇ ^ ds H^
On en déduit
œ = mRïsin^rr^ + x^, y = — ^R^. ^^^''ÔF^ + ^o*
Ces deux équations, jointes à Téquation (42), définissent une hélice tracée sur le cylindre de révolution, qui a pour
équation
424. Les raisonnements faits dans le paragraphe précédent ont supposé essentiellement les constantes réelles; c'est sous cette réserve que Téquation (41) a pu être considérée comme équivalente à la suivante
Aa 4- Bp + Cy
dont nous avons donné l'interprétation géométrique. Examinons le cas oii Ton aurait
A2 4- B*^ + CJ. = o,
et supposons toujours la courbure ot la torsion constantes. Les formules (40) donnent alors
(a - al)^ 4- (P ^ arO^ + (y - «Ç)'' = o
ou
Prenons
a = V/ - 1 = f , d'où
et, en portant la valeur de ? dans la première équation (34),
Mais
as
d\ = U —r-k ds.
L'équation qui définit a est donc
CALCUL INFINITÉSIMAL. 2g
Mais, par définilion (n"* 423), on a
a ou en tenant compte de la valeur actuelle de a
Rt = — i.
L'équation en a est donc simplement
Elle donne pour a un polynôme du second degré en .v, et pour X un polynôme du troisième degré. U en serait de même pour y et pour z, et la courbe est une cubique gauche imaginaire (M. Lyon, Thèse sur les courbes à torsion constante).
So. Nous avons envisagé plus haut les courbes à courbure constante. Les courbes à torsion constante ont fait, depuis quelques années, Tobjct d'intéressants travaux dont les auteurs se sont efforcés d'obtenir des courbes algébriques ^
Enveloppes des courbes
426. Lorsque les équations d'une courbe renferment un paramètre variable, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de courbes, et l'élimination de ce paramètre conduit à l'équation d'une surface contenant toutes ces courbes. 1/ n existe pas en général de courbe tangente à toutes les courbes (rrme même famille ; en d'autres termes,
• Nous venons de parler de la thèse de M. Lyon. M. Fourhé. par une élégante méthode, a donné de nombreuses solutions, en général imaginaires [Annales de V Ecole Normale, 1890, p. 335 >. M. Fabry a déterminé [Annales de l'Ecole Sonnrile, 1892, p. m) un certain nombre de courbes algébriques réelles à torsion constante. On peut encore consulter un mémoire de M. Roenigs dans les Annales de la Faculté de Toulouse (188"î), et une note de M. R. Cosserat [C. /{., 1895, p. 1252). Mais la question est loin d'être élucidée, môme en se bornant aux courbes algébriques.
une famille de courbes n'a pas d'enveloppe. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour les gt^nératrices d'un hyperboloïde. Le contraire peut cependant se produire : ainsi les droites polaires d'une courbe gauche sont tangentes au lieu des centres des sphères osculatrices.
427. Nous chercherons d'abord à quelle condition une famille de droites a une enveloppe (la surface n^lée, lieu de ces droites, est dite alors surface développable).
Soient
.T — Xç^ __ y -— yp __ z — Zç, __
les équations d'une droite. Les quantités o:^,, y^, 5q, a, g, y» dépendent d'un paramètre t et, pour une valeur de / donnée, à chaque valeur de p correspondra un point de oC, y, z de la droite par les équations précédentes. Si l'on considère p comme une fonction de /, il y aura, sur chaque droite, un point déterminé dont le lieu s'obtiendra en éliminant / entre les équations (44) ; ce sera une courbe. Dans le cas où les droites ont une enveloppa, une des courbes qui viennent d'être définies sera tangente à toutes les droites; la tangente en un point x, y, z de cette enveloppe se confondra avec la droite donnée, et les cosinus directeurs de cette tangente qui sont proportionnels à dx^ dy, dz, devront vérifier la
relation
dœ du dz .
Or les équations (4i) donnent x, y, z, et par suite
dx =. dx^ + pû?a + *^P7 dy = dy^ + pr/p + ^dc,, dz = dz^ -f- po^Y -j- Y^^p-
Les égalités précédentes peuvent s'écrire, à cause de (45),
dx^ + ^dx -|- frfp — IdC) a =: o \
dy, + ^d^+{d^^ldù^ = o ; (46)
dz^ + pt/y + (^? ^^0 Y = o )
et elles n'admettent de solutions en p et rfp — Xrf/ que si
cfx
(It. a
Cette condition, nécessaire, est suffisante en général; car on peut alors déterminer p et rfp — Xdt, Nous laisserons au lecteur le soin de faire la discussion complète des équations linéaires (46).
Si les équations de la droite sont sous la forme plus maniable
X = (XZ -\- Xq \
y = P^ + yo i'
la condition (47) devient
dx^d^ — dxdy^ = o,
et cette condition aurait pu être obtenue directement, en exprimant que la droite (48) a un point commun (aux infiniment petits du second ordre près) avec la droite infiniment voisine. En effet la différentialion des équations (48) donne
zd:i. -j- dx^ =z o, zdp + dt/Q = o,
et la condition pour que ces équations soient compatibles avec les équations (48) s'obtient immédiatement en éliminant z entre les deux dernières. On retrouve ainsi l'équation (49).
428. Vérifions, par exemple, que les droites polaires ont une enveloppe. Pour cela, nous devons d'abord tirer des équations (27) les coordonnées du centre de courbure que je désignerai par x^j Vq^ ^o ^^ '^^^ ^^^ lettres a, g, y ; on trouve, en prenant s comme variable indépendante,
et les équations de la droite polaire sont
C'est la forme (44); la condition (47) peut donc être employée
dx^.
dk,
dyo^
dB,
dz„,
dC,
En développant ce déterminant et se reportant aux formules (28) et suivantes, on trouve Téqualion
dx dxQ j^ di^ dj/Q j^ dz dz^
dsdsdsdsdsds '
qui à cause de (50) s'écrit
2j\ds) '^2jds ds^A^+B^+C^'~'ds\^+B^+C^2jdsds^ ""^^ ^ ^
Mais
On en déduit, en différentiant,
2dx d^x 'ds ds^ Sdx d^x dx ds^
- 2 mr
comme on Ta déjà vu (16). L'égalité (51) est donc une identité.
429. Au contraire, les normales principales dune courbe gauche n^ont pas d'enveloppe. En effet les équations de la
Tir-r
normale étant
la condition (47) s'écrit
or
Ifs "^ ^
ds dz d^
dx fis dk ds
dX ds d}i.
dw
ds '
ds - P'
~ iTy ...
On a donc
dz
En ajoutant à la seconde colonne la première multipliée
par ^) changeant les signes et mettant t en facteur, on
trouve
P -rj jjL = o.
Mais le déterminant a pour valeur d= 1 ; la condition pour que les normales principales aient une enveloppe est
c'est-à-dire que la courbe doit être plane.
430. On traitera le problème général d'une manière analogue. Définissons par les équations
les courbes d'une famille. Si v reste constant, en faisant varier u, on aura une courbe particulière (C) de la famille, et la tangente en un point de cette courbe aura pour équations
Considérons maintenant u comme une fonction de v\ si on se donne r, on déterminera simultanément une courbe et un point de cette courbe, et le lieu de ce point s'obtiendra en éliminant t\ ce qui donnera une courbe [G). S'il existe une courbe [G) tangente à toutes les courbes (C), on devra pouvoir déterminer k en fonction de v^ de manière que la tangente à (C) se confonde avec la tangente à (C), dont les équations sont
du dv T Dt? <>u dv ^v <)m ^v t^o
Pour que ce soit possible, il faut et il suffit que
t)/* D© ^ t)w ^u iu
