DX

permettent d'exprimer x^ y, z en fonction de X, et par conséquent définissent une courbe tangente à toutes les caractéristiques. C'est Tarête de rebroussement.

436. Les équations (60) sont susceptibles d'une autre interprétation.

L'équation

r{x, y, ir, X -|- AX) =i o

d'une surface infiniment voisine de la surface (S) peut s'écrire, si la formule de Taylor est applicable,

noo. y, ^1 ^) -}- AX ^-f ^' 0 + MAX3 = o.

Cette surface coupe la caractéristique en des points qui, à la limite, se trouvent aussi sur la surface

Les points caractéristiques de cette caractéristique sont donc les points communs à cette caractéristique et à la surface infiniment voisine.

437. Théorème. — Varétc de rebroussement a ^ avec chaque enveloppée^ tin contact du deuxième ordre.

Soit M (.r, y, z) un point de l'arête de rebroussement sur l'enveloppée, qui a pour équation

f[x, y, z, Xo) = o. (61)

Soit Q (x,, tj^, z^) un point de l'arête de rebroussement inûniment voisin de M. 11 suffit (n** 407, 2*) de démontrer que /(jr,,y,, 5,, Xq) est infiniment petit du troisième ordre par rapport à MQ. Or

MQ - yj[x - œ,Y + (y -~ y, y + (i - z,)^

cl comme j:*, y, :; sont des fonctions de X, x — x^^ y — y^i z — 3, sont, en général, du premier ordre par rapport à Aa ; il en est de même de MQ *.

11 ne reste donc plus à démonlrer que f{x^, yj, Sj, /^) est du troisième ordre par rapport à AX. Cela résulte de ce que Ton a identiquement, en posant X^ = Xj -f- AX,

et de ce que, dans cette identité, les trois premiers termes sont nuls en vertu des équations (60).

438. Théorème. — L'arête de rebroussement a, avec chaque caractéristique, un contact du premier ordre. Soient

r[x, y, z, Xo) = o,

les équations d'une caractéristique; x^, y^, 2y, les coordonnées

(»j Posons ? [x, y, z. À) = "-jli^iJLLhJÙ . Le point (a:,, .?/,,'3i) appartenant à

l'arête de rebroussement, on aura, en appelant Xj la valeur du paramétre infiniment voiiîine de ).o :

o — ?(a:i, y,, s,, À.) := 9(x -|- a;, — jr, ..., Xq "{- ^i — Xo)

— ?(•'•, y, 2, Xi) + (a-, — a-) r^ 4- . • h (>.i — ^o) V "•" '^•

ex t'Ao

Le premier terme est nul par hypothèse (61;; 1 équation précédente définit Xj — Xq en fonction des binômes .rj — .r, y^ — y, 2, — 2 ou de MQ.

gj t ~ -x est différent de zéro, Xq — X, = AX est d'ordre égal ou supérieur c'Xo t'Xo^ à celui de MQ.

d'un point de cette caractéristique situé sur Tarêle de rebroussement; .r^, y,, z^ un point de l'arête de rebroussement infiniment voisin du premier, c'est-à-dire tel que

A, étant égal à \^ — AX.

Il suffit évidemment de démontrer que ^/ v p fy ^p ^^1

Oaq

est inPiniment petit du second ordre par rapport à AX; or on a idontiquemont

et les d(>ux pn^niers termes du second membre sont nuls, parce que le point x^^ y^ Sj, a, satisfait aux équations (62). Le théorème est donc démontré.

430, Il est clair que lenveloppe des caractéristiques peut, comme toutes les enveloppes, se n^duire à un système de points. Considérons, par exemple, un tore, enveloppe d'une famille do sphères égales dont les centres parcourent une circonférence donnée. Les caractéristiques sont ici les circonférences méridiennes, et Farôte de rebroussement se réduit aux deux points où toutes ces circonférences coupent Taxe du tore.

Surfaces dévcioppabies

140. On appelle surfaces développables les surfaces enveloppes de plans. Dans ce cas, les caractéristiques sont des lignes droites, et Tarôte de rebroussement est une courbe dont toutes ces caractéristiques sont les tangentes, ce qui s accorde avec la définition déjà donnée n° 427.

Nous avons déjà remarqué, en étudiant les courbes gauches, que la plus courte distance de deux tangentes était du troisième ordre par rapport à Tare de courbe qui unit leurs points de contact, et qu'une tangente pouvait être considérée comme intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins. 11 se trouve de nouveau démontré ici, comme application des deux théorèmes précédents : 1** que la distance d'un point de la courbe gauche au plan osculateur en un point infiniment voisin est du troisième ordre par rapport î\ Tare, de courbe qui unit les deux points ; 2° que la distance d'un point de la courbe à la tangente au point infiniment voisin est du deuxième ordre.

Dans les applications, le calcul se présentera souvent sous la forme suivante. Soit

z z= px + qy + r,

l'équation d'un plan ; on doit d'abord supposer que les trois coefficients sont fonctions d'un même paramètre, du premier, p, par exemple. On a donc

et l'équation du plan s'écrit alors