px +y^ {p) -f •]; (p
Celles de la caractéristique sont
z =px +y'^ {p) + 'J/ (p) j n =zx + y(p' (p) + f (p) i
et en éliminant p entre ces équations, on aurait l'équation de la développable.
Enfin les équations de l'arête de rebroussement sont
z =px+tjf^ {p) + ^ (p) j
0= yf{p) + r{p) )
^5:41. Les surfaces développables satisfont à une équation aux dérivées partielles qui les caractérise. Considérons en eiïet z comme fonction des deux variables x et //, et posons
L'équation du plan tangent à une surface en un point j\ y, z, étant
comme p et g doivent être fonctions d*un môme paramètre si la surface est développable, on aura en premier lieu
Prenons les dérivées des deux membres de cette équation, successivement par rapport hx oi par rapporta //; nous aurons
d'où, en éliminant ^'{p),
rt — 5'^ = o. (66)
Réciproquement cette dernière équation peut s'écrire
le déterminant fonctionnel de p et de g est donc nul, et par suite
g = ^ ip). (67)
Le terme constant de l'équation du plan tangent est
p^i- gi/ — ^1
CALCUL IIfFi:«ITÉ8IHAL. 29
450 CHAPITRE XVIIl
et le déterminant de ce terme et de /j, c'est-à-dire
{rt — s^) y,
est aussi nul. Donc
px-^qy — z~^\f {p). (68)
Cela posé, cherchons de quelle nature est, sur la surface, la courbe le long de laquelle p conserve une valeur constante. L'identité (68) diflFérentiée nous donne la nouvelle identité
xdp + ydq =z y [p) dp,
OU, en tenant compte de (67),
Les points, pour lesquels p est constant, vérifieront par suite les deux identités
pX + p^{p) — Z = •]; (p),
Leur lieu géométrique sera donc une ligne droite, et Ton retrouve bien les équations (6t).
4412. On sait qu'on appelle surface réglée toute surface engendrée par le mouvement d'une droite dont les équations renferment un paramètre mobile. Ainsi les équations (44) définissent une surface réglée dont Téquation s'obtiendra par l'élimination du paramètre / entre les deux équations (44). L'équation (47) exprime la condition pour que cette surface réglée soit développable. Nous allons retrouver cette condition, ou, ce qui revient au même, la condition (49), par une autre considération.
Soient
X — olL — ar^j = o,
Y ~ pZ ~ 3/0 = o»
les équations de la droite dont les coefficients dépendent du paramètre /. Le plan tangent en un point x, y, 2, de cette
droite sera de la forme
X — aZ — a?o 4- >^ (y — PZ — yo) = Oi
et, pour détermiaer X, il suffit d^exprimer qu'il passe par le point X + dx^ y -h dt/, z -\- dz^ pris sur la génératrice infiniment voisine de la première. On trouve ainsi, en désignant toujours les dérivées par des lettres accentuées,
X — g/ — Cm^^ x'z 4- ^0
Y - pz - 2/0 - VTTyl'
et Ton voit que cette équation sera indépendante de 2, c'està-dire que le plan tangent sera le môme tout le long de la génératrice, si
r "" yi '
c'est bien la condition (49).
Lorsque cette condition n'est pas remplie, la surface réglée n'est pas développable; elle est dite gauche. On a alors par hypothèse
Etudions dans ce cas le mouvement du plan tangent, lorsque le point de contact parcourt la génératrice. Supposons pour cela que, pour la valeur du paramètre / considérée, la génératrice coïncide avec Oz
a = o, p = o, a?o = 0, yo = o î
supposons, de plus, que le plan zotj coïncide avec le plan tangent à l'infini, dont Téquation générale serait
X — aZ — Xq a[
Y-pZ-y,-?'' il faut que
l>'équation du plan tangent est maintenant
X xj,
Y - ^'z + yi'
et il suffit de porter sur oz Torigine au point qui a pour z la valeur — ^f finie par hypothèse, pour obtenir la forme définitive
Y — il
Pour s == o, on a Y = o. Supposons les axes rectangulaires : le plan zox, tangent à l'origine, est le plan perpendiculaire au plan tangent à Tinfini; on l'appelle le plan central, et son point de contact est dit le point central de la génératrice. Dans l'équation précédente, le premier membre représente la tangente de Tangle que fait le plan tangent avec le plan central ; elle est proportionnelle à s, c'est-àdire k la distance du point central au point de contact.
Lorsque z varie de — x à -H oo, le 'plan tangent tourne autour de oz comme charnière, toupurs dans le môme sens.
443. On vérifie sans peine que la génératrice infiniment voisine de oz est dans un plan parallèle à t/oz ; la perpendiculaire commune à ces deux génératrices se confond donc avec ox^ et l'on voit que le point central est la limite du pied de la perpendiculaire commune à la génératrice donnée et à la génératrice infiniment voisine. Le plan central est la limite du plan mené par la génératrice et par la perpendiculaire commune. Le lieu des points centraux s'appelle //y/<<? de striction de la surface; on peut observer que ce n'est pas, en général, une trajectoire orthogonale des génératrices.
Figurons la génératrice OG, la génératrice infiniment voisine O'G', et soit 00' leur perpendiculaire commune, OH la parallèle à O'G' menée par 0. Pour avoir le plan tangent en un point M de OG, on peut couper par un plan perpendiculaire à O'G' : il coupe O'G' en M', O'H en P. L'angle du plan tangent avec le plan central OOP est mesuré, aux infiniment petits du second
ordre près, par MMT, et l'on a
tang MMT == ^ = ^iîîi x OM = 1 • OM, ^ FM 00 k
en appelant / Tangle des deux génératrices. Le théorème précédent est donc de nouveau démontré, et Ton voit de plus que la plus courte distance des deux génératrices et leur angle sont des infiniment petits de même ordre. Leur rapport k s'appelle le paramètre de distrihuùon. Ce paramètre est constamment infini dans les cylindres, et constamment nul dans les autres surfaces développables.
Enveloppes de surfaces i^ deux paramètres
