X := r cos r, y = r ain
l'élément d'arc aura pour expression
ou, en introduisant une variable ?/ telle que
« =fdr Mi + n.
ds^ = du^ + (D (m) dv^ ; ; 70")
ti est lare de méridien compté à partir d'un certain parallèle; car, pour r = C*% on h, ds = du; o {ti) est le carn» du rayon r du parallèle qui passe au point de coordonnées i/, r. On peut encore donner au ds- précédent une forme difTérente en posant
r du
on trouve ainsi, parce que g{u) devient une fonction F(W|) de z/j,
rfj» = F {u^) [du^ + dv^).
C'est un cas particulier d'une classe de surfaces, dites isoihennes ou isomélriques, pour lesquelles on a
5;i3. On reconnaît dans la formule (70) une forme de rf^* signalée au n° 525, et cela devait être, puisque les méridiens sont évidemment des lignes géodésiques et que nous avons choisi les mômes coordonnées sur la surface qu'au n" 525.
L'équation (63') des lignes géodésiques peut d'ailleurs être complètement intégrée dans le cas des surfaces de révolution. Prenons, en etfet, la forme (70), c'est-à-dire faisons dans Téquation (OB')
prenons de plus u comme variable indépendante, et écrivons
dv dv suivant la coutume v et r* au lieu de -r» T-h' H vient
dît du-
ro" + 2/1;' + rV'i?'3 — o. (71)
Cette équation, ainsi qu'on le démontrera dans le second volume, a pour intégrale (en désignant par a et 6 deux constantes arbitraires)
/ adu V = I ,
J r yV- — a
Cela posé, considérons sur la géodésique, qui correspond à des valeurs données a et 6, des constantes arbitraires, un arc infiniment petit MN faisant avec le méridien du point M l'angle o). On a évidemment
rdv tango. = -^,
et Ton en déduit immédiatement, en tenant compte de l'expression de v (72),
rsinu) = a.
Cette forme de Téquation des géodésiques des surfaces de révolution est due à Clairaut; elle est des plus utiles pour leur discussion. On en conclut, par exemple, qu'une géodésique correspondant à la valeur a peut arriver à toucher le parallèle de rayon a, mais ne peut pas rencontrer un parallèle de rayon moindre.
534. Surfaces réglées. — Elles sont définies par les ■ équations
a, et bi étant des fonctions d'un paramètre v. On en déduit un ds^ de la forme
ds^ = {a} +al+ al) du^ + Ddudv + (Aw^ + %Bu + C) dv^.
Nous poserons
et D = o, ce qui revient h dire que u sera la longueur de génératrice comptée à partir d'une trajectoire orthogonale, tout le réseau (w, v) étant d'ailleurs orthogonal. On obtiendra ainsi, comme forme réduite du r//, des surfaces réglées
ds^ = du^ + (Aw^ + 2Bt* + C) dv^.
Surfaces développables
535. Dans le cas des surfaces développables, nous avons vu qu'on a de plus
a[ Oj aj^
donc le coefficient de dv*^ est un carré parfait, et l'on aura, dans le cas des surfaces développables, en remplaçant v par une fonction de v, choisie do manière à réduire à l'unité le coefficient de w^,
ds^ = du^ -f- [u — a)* dv^^
au lieu de
cfea = du^ + [{u — (x)2 + pa] dv^,
qui correspond aux surfaces réglées non développables; a et g sont des fonctions de v.
Nous allons montrer que les surfaces développables sont applicables sur un plan. Elles satisfont bien à la condition qui résulte du théorème de Gauss(n** 531) d'avoir leur courbure totale nulle; mais cette condition n'est pas suffisante.
Ecrivons
ds^ = [du + i {u — a) dv] [du — i [u — a) dv]^
= e'*' [du -{- i(u— a) dv] X e"'»' [du — i (m — a) dv].
Les deux facteurs sont maintenant des différentielles exactes, et Ton pourra poser, en appelant d{x H- iy) et d{x — l'y) ces différentielles,
a? -f- îy = tee'*' — il ae'*'rft;,
I X — iy = î<6 "'** -f- M ae~'*'rfi? ;
nous avons ainsi réussi à exprimer, en fonctions de u et de u, les deux coordonnées d'un point du plan, et ces coordonnées vérifient bien la condition
ds^ = dx^ + <^y^»
ce qui démontre le théorème. Au reste les formules précédentes peuvent s'écrire
X =r U cos t? 4" / a sin vdv,
y z=z u smv — lacosvdv;
et Ton voit que les courbes v = C* seront des droites dans le plan, comme sur la surface développable.
5:i6. La r(5ciproque de ce théorème a été établie par 0. Bonnet {Annali di Matematica, 2" série, t. Vil, p. 61) : Toiile surface applicable sur un plan est Penveloppe d'un plan mobile.
Soit, en effet, une surface applicable sur un plan, c'est-àdiro telle que
en désignant par j;, y, z les coordonnées d'un point de la surface, et par w, v celles d'un point du plan prises pour variables indépendantes. On a alors
('^)*+(rrr+©"=E©'='. -
c>/t ^1? hc ()r "^ hi ^v ^ t>u Dy '
m + ar + (1)' = s (s)" = '•
En différentiant ces trois équations successivement, par rapport h u et k v, on trouve, après quelques simplifications faciles,
2j 5IJ^ 5^. "■ ^' 2j 57^ hi ~" ^^ 2j c>i?2 :)/< — ^'
11 en résulte
cV2.y
c^/fâ
hc^
t)îr^t? t^u<)v C^«Dv
le jacobien des deux fonctions 7-» ^? est donc nul, ainsi que celui des fonctions -^ et r~' t*t ces trois fonctions sont fonc-
tions d'une d'entre elles; de même ^» ^' r^» dépendent de
Tune d'elles, et comme ces six fonctions sont reliées par la relation
elles ne dépendent que d'une d'entre elles. Enfin les identités
permettent d'exprimer jj et q en fonction de la môme quantité, c'est-à-dire de les considérer comme dépendant l'une de l'autre. La surface est donc développai) le (n** 441).
Caries géographiques
5ÎI7. Le problème, qui consiste à représenter une surface sur une autre, et en particulier sur le plan, a été l'objet d'importants travaux de la part de Lambert, Euler, Lagrange, Gauss. Une carte géographique est une représentation sur un plan. Voici quels seraient les termes du problème.
Supposons les coordonnées x, y, 2, d'un point M, d'une surface (S), exprimées en fonction de deux paramètres u et t\ de telle sorte qu'on ait
ds^ --: E du + ^Vdudc + Gdv^,
et soit M' un point infiniment voisin de M sur la surface;
CALCUL LVFINITÉSIMAL. 33
soit (le même 7n[\, Y) un point du plan, m' un point infiniment voisin. Il s'agirait d'exprimerX, Y en fonction de u et de t% c'est-à-dire de faire correspondre les points de manière qu'on eût constamment
MM' -.rz mm' ou
cls^ = dX^' + dT\
Celte condition ne pouvant être réalisée que si la surface (S) est développable (n° 536), Lambert Ta remplacée par la suivante
MM' =z X . 7nm' ou
A étant en fonction de u et de v, qui assure la similitude des triangles infiniment petits, ou, ce qui revient au même, la conservation des angles.
Nous ne parlerons pas des autres modes, par exemple du système de Babinet, qui réalise la conservation des aires infiniment petites, et nous nous bornerons h deux systèmes de caries; nous supposerons, de plus, que la surface à représenter est sphérique.
r>38. Cartes de Mercator. — Si Ton prend, pour représenter un point de la sphère, des coordonnées polaires {^b longitude, 0 colatilude)
X = R sinO cos|, y =z R sine sin}, z = R cosô,
le ds'^ sera
ds^ = R2 (sin«e<^^a + db^).
On peut l'écrire
Il suffira donc de poser
Y = L tang^, pour le ramener à la forme
On obtient ainsi le système de Mercator, dans lequel les droites équidistantes parallèles à 0// représentent des méridiens faisant entre eux des angles égaux, tandis que les parallèles de la sphère, qui correspondent à des variations égales en latitude, sont représentées par des droites parallèles à Ox, dont la distance à Ox croit à Tinfini, lorsque la latitude tend vers 90°.
539. Projections stéréographiques. — Soit (E) le plan de Téquateur, Z le pôle nord, V le pôle sud que nous prendrons pour point de vue, M un point de la sphère, m sa projection stéréographique, c'est-à-dire la trace sur (E) du rayon visuel VM. Nous rapporterons la sphère au même système de coordonnées polaires que dans le numéro précédent : soit donc
ZOM = 0,
mOX = <]/,
Fio. 45.
nous prendrons comme axes de coordonnées dans le plan de Téquateur deux axes rectangulaires. Cela posé, on voit
que OVm =5 et que, dans le triangle rectangle VO?n,
Ont = R tang -•
Donc les coordonnées de m dans le plan XOY seront
X — R tang- cos^ Y = R tang- sin^,
On tire de là pour le ds'^ dans le plan
ds^= ^^ (sin^ Orf^« + rfô*-»), cos^-
et il suflit de le comparer k celui de la sphère donné au commencement du paragraphe précédent pour voir que ces deux ds- sont bien proportionnels. Les angles sont donc conservés par la projection stércographique, ce qui est connu. Le rap|)()rt de deux éléments correspondants
2 COS^^r
est égal à 5 si la colatitude est nulle, c'est-à-dire pour les parties de la carte voisine du pôle. Il est égal à ?/n, pour e =^» dans le voisinage de Téquateur.
540. Nous observerons en terminant que la carte d'une surface sur un plan avec conservation des angles est toujours possible, tandis que Tapplication qui conserve les angles et les proportions dans toute la carte n'est possible, comme on Ta vu (n"* 535), que pour les surfaces développables. Ce théorème sera démontré dans le second volume.
