Aux ombilics

et l'équation des lignes de courbure est indéterminée. Cela ne veut pas dire que toute ligne qui passe en un ombilic est une ligne de courbure, mais seulement qu'il y a, en un tel point, plus de deux lignes de courbure. Il peut n'y en avoir que trois, comme l'a démontré^ M. Darboux.

Le fait que l'équation des lignes de courbure est indéterminée aux ombilics permet de former aisément deux équations qui, jointes à celle de la surface, détermineront les ombilics; ces points sont donc en nombre limité. Il suffit pour les trouver d'annuler les trois coefficients des différentielles dans l'équation (31). On trouve ainsi trois équations qui se réduisent à deux

1 + p2 pq 1 | q

490. Posons encore la question de savoir s'il existe des surfaces dont tous les points soient des ombilics, ou, ce qui revient au même, dont toutes les lignes soient lignes de courbure. Il faut pour cela que les équations (32) soient identiquement vérifiées. Voici comment Serret, dans son Coitrs de calcul différentiel, a obtenu l'équation de la surface : les cosinus directeurs A, B, C de la normale en un poinl sont donnés par les formules

Vi + p' + q' Vi + P' + q' \/i + p- + r

et les équations (32) expi'iment que

^^ ' ^.v ' cl,/' ^y

i Lerons çjénéi'ales sur la /licorie i/en f<iif/'uces, t. IV, note vu.

Donc A ne dépend que de x, B de y et, comme leurs dérivées sont égales, elles ne peuvent avoir qu'une valeur cons-

tante -• On a ainsi a

A ^ ^0 j^ __ y .Vo.

On en déduit

Donc

dz = pdx -\- qdy ^= p= ^

\Ja^ — {œ — œ^Y — [V — Vo?

et enfin

z — 2-, = v'^-^ (^ cr^^y^ — {y — y^)\ Cette dernière équation, rendue rationnelle,

{x — xX^[y — yo)-^-[^ — ^o)'' = ^'''^

est l'équation générale des sphères. La sphère (et comme cas particulier, le plan) est donc la seule surface dont toutes les lignes sont lignes de courbure.

491. Les lignes de courbure étant tangentes aux sections principales, l'équation (31) est, comme nous l'avons déjà dit, celle qui fait connaître les directions des tangentes aux sections principales. Mais il importe de remarquer que le rayon de courbure d'une ligne de courbure ne coïncide nullemeul avec la normale à la surface. Ainsi, dans les surfaces de révolution, les lignes de courbure en un point M sont le méridien et le parallèle, vu que les normalies ayant ces lignes pour directrices sont respectivemenl un plan et un cône ; or le centre d'une parallèle n'est pas situé sur la normale MN a la surface.

Ajoutons qu'en un point iVI d'une surface de révolution, les plans des sections principales sont le plan méridien et le plan mené par la normale MN et la tangente au parallè'e. Par suite le centre de courbure du méridien est l'un des centres de courbure principaux; quant à l'autre, il doit, d'après le théorème de Meusnier, se projeter sur le plan du parallèle au centre tnânie de ce cercle ; c'est donc le point où la normale MN rencontre l'axe de la surface ^e révolution .

492. Vu l'importance des lignes de courbure, nous allons écrire leur équation différentielle avec des coordonnées curvilignes u, V quelconques.

Conservant les notations des paragraphes 473 et 474, nous aurons pour équation de deux normales infmiment voisines

X — ./■ — (Lr Y — y — dy Z — z — dz

A + dK ^ B + rfB ^ C -f-c^C

S'il existe un point X, Y, Z commun aux deux normales, on obtiendra, en égalant les valeurs de ces coordonnées tirées des deux groupes d'équations précédents, les égalités

dx -\- (idk -f Af/0 = o 1

dy H- 6rfB + Bf/0 = o , (33)

dz -|- MC + Crfe = o )

qui, par l'élimination de 0 et de r/fj, donnent la condition cherchée

dx dk A I

dy f?B B =0. (34)

dz dC C I

11 suffira de remplacer d.r par '- du -h — dv, dX par — f/u -h — dv, etc., pour avoir l'équaliou du second degré

en dii^ di\ dont l'intégration fera connaître les lignes de courbure cherchées. Cette équation se décomposera en deux

du dv

Chacune de ces équations donnera par intégration, comme on le verra dans le second volume, une équation telle que

Fiu, V^ 1) = G,

A étant un paramètre variable, et cette équation, jointe aux équations (1), définira une famille de lignes de courbure tracées sur (S).

492. Equation aux rayons de courbures principaux. — Soit R l'un de ces deux rayons. On a

R = n/(X - xy + (Y - yr + (^ - ^^y = ^ S/A^ + B^ + C^, or les équations (33) développées peuvent s'écrire

OU oui \ôV ov I

Eliminons entre ces équations du^ di\ dO et remplaçons G par sa valeur — - ^ nous obtenons l'équation du

second degré

^^^ VA^+B^-fC^^w' ^y s/A^+B2-fC2^^' ^^ R ^C ^ , ___R___^

Pour retrouver l'équation (25) il suffira dans cette équation de faire

On trouve ainsi

Vl+y^ + î'

Vi+y^-l-

c'est l'équation (25).

493. Comme première application, nous chercherons les lignes de courbure des, surfaces de révolution. Nous supposerons que l'axe de la surface ait été pris pour axe des z\ son équation sera alors

Le plan tangent en un point ayant pour équation

(X - X) %x -f- (Y y) 2^ (Z - z) ^'{z) = o, on aura

dA =: Mx, dB =z My, dC =

L'équation (34) est donc ici

(Jy, 2?/, ^dy

dz, -o'{z), -^"iz)dz

dz.

[:2 + tp"(^)] [ydœ — .cdy) dz ■= o.

Le second facteur égalé à zéro donne les méridiens

le troisième, d'où Ton tire z = C, correspond aux parallèles. Enfin de

on déduit

et l'équation de la surface de révolution

représente une sphère sur laquelle les lignes de courbure sont indéterminées; on retrouve ainsi un résultat démontré d'une manière générale, n" 490.

494. Gomme seconde application, nous chercherons encore les ligne.'< de courbure des. surfaces développables .

Une telle surface s'obtient par l'élimination du paramètre u entre les deux équations (n" 427)

X = az + a )

dans lesquelles a, a, ô, i3 désignent des fonctions de u ; soient a\ a', b\ (i', leurs dérivées^ par rapport à u ; on a de plus, par hypothèse, entre ces quantités, la relation

En posant z = t\ on anra

ou eu '

A = è'^ + p', 13 = — (a'^ + a'), C = (éa' — «6') ^4-6a' — «ri'. Mais de Tëquation (39), on lire

— , =3 V"/ = ?^i ^^ élant une fonction de u ; a à

D'où

A = è' (^ -f- )0i B = — a' (^ + X), C = (è«' — ab') (z -f /,;

— o , -^;— z=. ba — ab .

Si Ton porte ces valeurs dans l'équation (34), on verra que le coefficient de ^/y-, c'est-à-dire le déterminant,

a, b' [z -\- Xj, b'

1, [ba — ab') [z + X), ha — ah'

a deux colonnes proportionnelles ; il est donc nul, el l"<'(|nation (34) développée est de la forme

Mc//<2 | ^dudv = u ; on aperçoit immédiatement une soliilion

du = o,

ce sont les génératrices recti lignes de la surface développable. Ln seconde famille de lignes de courbure serait donnée par l'intégration de l'équalion

M(//' + Nf/y = o,

qui ne peut pas être elleclnée en gén('r;il.

495. On peut enfin, par les mêmes formules, trouver les lignes de courbure de V ellipsoïde .

A cet effet nous poserons

„ (m — a") [v — al i

avec

Ces valeurs de ^, ?/, s vérifieront bien l'équation de l'ellipsoïde, à cause des identités connues

H- 7^^ :J7^^ TT H- /.. ^^ i.. __, .^ = «'

(oc - p) (a y) ^ (B - a) ([i - y) ^ (y a) (y - p)

(oc p) (a - y) ^^ (p - a) (^ y) ^ (y - a) (y - p) «2 p2 ^2

Il sera alors facile de calculer ^' ^) ^j etc. ; on trouvera

ainsi pour les lignes de courbure, par un calcul un peu long,

mais sans difficulté, une équation de la forme

^dudv =: 0,

dans laquelle M est une quantité essentiellement différentede zéro.

Les lignes de courbure auront donc pour équations, soit

u = (?% soit

Leurs projections sur les plans de coordonnées, obtenues en éliminant le paramètre variable [v ou u) entre deux des équations (41), seront des coniques ayant pour axe respectivement ceux des ellipses principales de l'ellipsoïde.

^96. Ce résultat est susceptible d'une intéressante interprétation géométrique ; pour l'exposer rapidement, nous remplacerons dans l'ellipsoïde a-, b~, c- par a — w, ^ ■ — iv, Y — u). L'ellipsoïde a ainsi pour équation

et les formules (41) contiennent n, t\ w symétriquement. Les coordonnées de la ligne de courbure ti = G'" vérifieront donc aussi l'équation

c'est-à-dire que cette ligne de courbure sera l'intersection de l'ellipsoïde donné et de la quadrique homofocale

g (.V, y, z) ~ -^—- + -^^— 4- -^ — — 1 = 0. (43) On sait que l'équation

représente une famille de quadriques dont les sections principales ont les mêmes foyers; suivant (jue X est intrrieur, supih'ieur aux quantités a, [3, y, <ui compris entre les extrêmes, l'équation rejnv^seiitei'a un ellipsoïde l'écl, un ellipsoïde iiniiginaire, ou un des deux hypei'boloïdes.

R(^stanl -dans 1(> domaine r('el, nous voyons (jue les lignes de courbnre {\'\\\\ s\slèine snr li^ilipsoïde pi'oviennent de l'intersection de celli' snri'ace avec les liy[)ei'bi)loïdes liomo-

olO CHAPITRE XIX

focaux à une nappe ; le second système des lignes de courbure proviendra des hyperboloïdes à deux nappes.

Chacune de ces surfaces est coupée orthogonalement par les autres, c'est-à-dire qu'en chaque point de l'intersection

on a

:^cc :>j; "•" h/ :^y ~^ :^^ ^^ ~ '

(a — u) (a - ir) '^ {^ — u) {f, — w) ~^ (y — u) (y — to) ^ ^ '

en effet cette dernière équation résulte de la soustraction des équations (42) et (43).

L'équation (44) est du troisième degré en a, c'est-à-dire que, par chaque point de l'espace, il passe trois des quadriques de la famille. Voilà donc des surfaces telles que, par chaque point de l'espace, il en passe trois ; ces surfaces se coupent orthogonalement et forment ce qu'on appelle un système triplement orthogonal. Leurs intersections mutuelles sont lignes de courbure sur les surfaces auxquelles elles appartiennent. C'est un cas particulier d'un célèbre théorème, dû à Dupin, et que nous allons établir.

Théorème de Dupiii sur les SYstènies ti'ipleiiieiil orthogonaux

497. Trois familles de surfaces, deux à deux orthogonales, se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure.

Les familles de surfaces dépendent chacune d'un paramètre qui reste constant sur une surface déterminée ; soient ?<, v\ iL\ ces paramètres. Nous supposerons que les équations des trois surfaces aient été résolues par rapport kx, y, z., de sorte que les coordonnées d'un point de l'espace s'expriment par des formules de la forme

Si tu, par exemple, reste constante, ces formules expriment les coordonnées d'un point de la surface (îo); si deux paramètres u, t\ restent constants, elles représentent la courbe d'intersection des surfaces [ii) et [v] ; sur cette courbe, iv seule varie.

Une fois posés ces préliminaires, qui s'appliquent à toute représentation de l'espace en fonction de trois paramètres, c'est-à-dire à tout système de coordonnées, venons au théorème de Dupin.

Si les plans tangents aux trois surfaces qui se croisent en un point forment un trièdre trirectangle, il en sera évidemment de même des tangentes aux intersections mutuelles de ces surfaces prises deux à deux. On aura donc les conditions

et deux autres analogues ; nous écrirons, par une abréviation

facile à saisir,

^ 1>IC ^If

Dérivons chacune de ces équations par rapport à la variable qui n'y entre pas; nous obtiendrons trois équations, telles que

Additionnant ces trois ('([uaiions, et retranchant chacune de la somme, nous trouvons

Eliminons

'dx 3y 'dz

par exemple, entre la dernière équai)w H^iv ^w ^

tion du système (46) et les deux dernières équations du système (45) ; nous trouvons

'du

'dudv

dudv

Cette condition exprime (n° 475) que les surfaces [ii] et (v) de'coupent sur la surface (iv) un re'seau conjugué; or ce réseau est déjà orthogonal en vertu des hypothèses ; c'est donc le réseau des lignes de courbure.

M. Darboux a complété ainsi le théorème de Dupin : lorsquon a deux familles de surfaaes se coupant mutuellement à angle droite et suivant des lignes de courbure communes^ il existe nécessairement une troisième famille de surfaces qui forme avec les deux jjremières un système triple orthogonal.

La démonstration résulte immédiatement du théorème suivant, que nous nous bornerons à énoncer, et qui généralise un théorème, démontré au n° 460, sur les congruences rectilignes :

Les surfaces d'une congruence quelconciue^ qui sont assujetties à contenir une courbe de cette congruence ., et à admettre en un de ses points M la tangente MT comme direction principale^ forment deux séries distinctes et sont tangentes à deux plans différents passant par la droite MT ; réciproquement., toute surface de la congruence ., tangente en M à un de ces deux plans, satisfait à la condition proposée. Pour que les courbes de la congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux plans précédents soient toujours rectangulaires.

■^Dîi. GoROLLAiHE. — La transformation par rayons vecteurs réciprroques conserve les lignes de courbure. — En effet

complétons un système triplement orthogonal qui comprenne la surface (S), en adjoignant à ces surfaces les surfaces parallèles; ce qui fait une première famille, el les normalies développables le long des lignes de courbure, ce qui constitue les deux autres familles. Dans l'inversion, ce système se transforme en un autre système triplement orthogonal, el les intersections mutuelles des surfaces restent lignes de courbure, en vertu du the'orème de Dupin.

Formules d'Oliiide Kodricjues

^99. Ces formules résultent immédiatement des égalités (33). Supposons, en effet, que, dans les équations de la normale. A, B, C, au lieu de représenter des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale, désignent ces cosinus eux-mêmes, c'est-à-dire que

A2 4- B2 -f- CJ = 1, ou

ArfA-f-BrfB -^CdC = o;

on a alors (n" 492)

De plus, en multipliant les équations (33) respectivemeni par A, B, C et ajoutant, on trouve

parce que, à cause de la perpendicularit ' de la normale et do l'élément r/r, dy^ dz^ on a

Pi.dx -\- y^dy -f- Cdz = o.

Donc, en excluant les snrfaces imaginaires qui satisferont à la condition

A2 -^ B2 + C^ ^, „, on Ironve

dfi =: d\\ = o,

CALCUL LNKINITKSIMAL. 33

et les formules (33) se réduisent à

dx -f- Rt?A = o

dy ^ RrfB = 0 !•• (47)

dz -f- Rû?C = o )

Ce sont les formules crOlinde Rodrigues. Elles supposent qu'on a fixé un sens sur la normale et que R est positif ou négatif.

On peut donner de ces formules la démonstration intuitive qui suit. Soit MM' un arc infiniment petit d'une ligne de courbure; les normales à la surface aux points M et M' se coupent (n*" 487) en un point 0 qui est le centre de courbure de la section normale en M, et l'on a sensiblement MO = M'O = R.

Si A, B, C désignent les cosinus directeurs de la normale MO, et A + f/A, B + f/B, G + r/C, ceux de M'O, on aura, en projetant le contour fermé OMM'O sur les trois axes

pr. OM + pr. MM' + pr. M'O = o ;

par exemple sur Çix

OM X A -j- fte -f M'O (A + dk) = 0, ou

— R X A 4- ffe + R (A + dk) =z o, ou enfin

dœ -|- Rdk = 0.

Lignes de eoin'biire coiiiiniines à deux surfaces

500. Les formules d'O. Rodrigues fournissent une démonstraiion aisée d'un beau théorème de Joachimstahl : Deux surfaces qui ont une ligne de courbure commune se coupent en tous les points de cette ligne suivant le mêrne angle.

Soit un élément ds de la ligne commune, dont les projections sur les axes sont dx, dy, dz\ appelons R et Rj les rayons de courbure principaux correspondants dans les deux

surfaces, el A, B, C, Aj, Bj, Gj, leurs cosinus directeurs. On aura par les formules d'O. Rodrigues

>lx -f Rc^A = 0, dy + Kcm = o, ch -\- RrfC = o,

<lx -j- R<o?A^ = o, dy -f- R,f/B^ i= o, dz -j- R,cC^ = o;

multiplions les égalités de la première ligne respectivement |)ar RjAj, R^Bi, RiG|, membre à membre, celles de la seconde par RA, RB, RC, et ajoutons. Si Ton remarque que la perpendicularité des rayons de courbure aux lignes de courbure entraîne les égalités

k^dx -j- ^\dy -f C,o^3- -r o, hdx -\- Bdy -\- Cdz = o, on trouve

AdA^ + Bc^B, + C^C, + ^^dA + B,dA + C^dC = o,

c^(AA, + BB, + ce,) = 0.

Donc

AA, | BB, + ce, = 0\

c'est-à-dire que les normales aux deux sui-faces font entre elles un angle constant.

50I. O théorème résulle immédiatement de la théorie des développées. Nous avons en effet démontré (n" 447) que les normales d'une courbe L qui enveloppent deux développées différentes se coupent sur L, suivant un angle constant ; celle propriét('' s'applique évidemment aux normales considérées dans le paragraphe précédent, qui, en vertu même de leur définition, enveloppent une développée de L.

R('ciproquement, si deux .surfaces (S) et (S') se coupent suivant an angle constant le long (Tune courbe Ij., et si cette coarbe est ligne de courba re pour (S), elle est aussi ligne de courbure pour (S'). En elfet, par hypothèse, les normales de (S) enveloppent une di'veloppt'e de L; les normales de (S') le long de L, faisant un angle constant avec les précédentes,

enveloppent aussi une développée de L, et, puisqu'elles forment une développable, L est une ligne de courbure

de (S').

502. Par exemple, si un plan ou une sphère coupent une surface suivant un angle constant, l'intersection est une ligne de courbure de cette surface. Car toutes les courbes tracées sur un plan ou sur une sphère sont des lignes de courbure du plan ou de la sphère.

Surfaces-enveloppes de sphèe*es. Cyelides

503. Parmi les surfaces à lignes de courbure planes, nous considérerons en particulier celles (S) pour lesquelles un des systèmes de lignes de courbure est formé de circonférences. Dans ce cas, les normales à la surface le long d'une des lignes de courbure circulaires vont rencontrer l'axe de cette circonférence en un même point 0, et la sphère qui passe par la circonférence et qui a pour centre 0 touche la surface (S) le long de cette circonférence. (S) est donc une enveloppe de sphères.

Réciproquement toute enveloppe de sphères à un paramètre a un système de lignes de courbure circulaires. En effet la caractéristique d'une de ces sphères est évidemment une circonférence ; les normales à la surface le long de cette circonférence sont les rayons de la sphère et, par suite, font un angle constant avec le plan de la circonférence, et comme celle-ci est ligne de courbure sur la sphère, elle est aussi ligne de courbure sur la surface-enveloppe.

504. Dupin a appelé cyelides les surfaces dont les lignes de courbure sont circulaires dans les deux systèmes. D'après ce qui précède, ces surfaces sont de deux manières enveloppes de sphères ; leurs normales rencontrent deux courbes, auxquelles se réduisent les deux nappes de la surface des cenli'es <le courbure.

En un point d'une de ces courbes, centre d'une sphère enveloppée, les normales qui y passent forment un cône de révolution ; ces normales rencontrent la deuxième courbe, qui est ainsi située sur un cône de révolution et, de même, sur une infinité de cônes de révolution ayant leurs sommets sur l'autre courbe. On reconnaît le système de deux coniques focales, dont chacune est le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par l'autre. Les génératrices de ces cônes constituent la congruence des normales à une famille de cyclides parallèles.

On peut ici faire une application du théorème que nous avons démontré (n° 461) relativement aux congruences de normales. Les deux plans focaux sont en elTet les plans tangents aux deux développables réduites aux cônes, dont les sommets S et S^ sont sur les coniques focales ; or c'est une propriété bien connue de ces coniques que l'axe du cône de révolution de sommet S est précisément tangent à la conique qui renferme ce sommet. Le plan tangent au cône S| passe donc par l'axe du cône S et est perpendiculaire au second plan tangent. Les droites SSj sont donc bien normales à une surface.

505. Considérons trois sphères qui ont leurs centres sur la première conique; une sphère quelconque de la seconde série touche les trois premières aux points oi^i sa caractéristique touche les caractéristiques de ces trois sphères. La cyclide peut donc être considérée comme l'enveloppe d'une sphère tangente à trois sphères données.

Soient C, G', G" les centres de ces trois sphères; faisons de hi tigure une transformation par rayons vecteurs réciproques, en prenant le pôle d'inversion sur la circonférence qui passe pai'i^l. G', G". Les trois sphères transformées auront leurs centres en ligne droite; la surface nouvelle sera l'enveloppe d'une s[)hère tangente au.v trois sphères précédentes, elle admettra évidemment la ligne des centres GG'G" comme axe de symélric. La cai-acléi-isliciue de la sphère enveloppée sei-a une ci reonlV' renée F ddut les points de conlact avec les sphères lixcs snnl dans le |)lan de l'axe, (>l la siii'l'ace-cnve-

loppe sera un tore engendré par la révolution de V autour de l'axe. Dans cette transformation, les plans des lignes de courbures circulaires se transformeront en sphères ; mais, comme les angles se conservent dans l'inversion, ces sphères couperont le tore suivant un angle constant le long d'une circonférence transformée, et cette circonférence sera encore une ligne de courbure du tore. Il était d'ailleurs évident que les lignes de courbure du tore étaient, d'une part, les parallèles, d'autre part les circonférences méridiennes. Les cyclides de Dupin sont donc les inverses du tore (Mannheim).

506. Il est à remarquer que, dans le tore, les sphères qui ont pour caractéristiques les circonférences méridiennes sont toutes égales. Le tore est donc une mirface-canal : on appelle ainsi l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe quelconque. Il est évident que, dans ce cas, la caractéristique de la sphère enveloppée est un grand cercle normal au lieu des centres.

Représentation sphéi'ique de Gauss

507. Nous allons maintenant étudier l'important mode de correspondance des surfaces dû à Gauss et connu sous le nom de représentation sphérique.

Fixons sur la normale en M à la surface (S) un sens, et par le centre 0 d'une sphère de rayon égal à l'unité, menons une parallèle à cette normale dans le sens fixé. Cette parallèle perce la sphère en un point m qu'on appelle Yimage sphérique ou la représentation sphérique du point M.

Si le point M parcourt une ligne sur (S), son image m parcourt sur la sphère une ligne, image de la première. Les plans tangents aux points correspondants étant évidemment parallèles, les tangentes conjuguées des tangentes à une ligne et à son image sont parallèles ; en d'autres termes, l'image (/) d'une ligne (L) fait avec (L) un angle complémentaire de celui que (L) fait avec sa conjuguée.

Par exemple à la tangente d'une ligne asymptotique (ligne tangente à une asymptote d'une indicatrice) correspond une droite perpendiculaire. Nous utiliserons plus loin cette propriété.

A une tangente principale correspond sur la sphère une tangente parallèle. Les formules d'O. Rodrigaes ne font qu'exprimer cette propriété : en effet les coordonnées du point m sont évidemment les cosinus directeurs de la normale en M. Exprimons que les déplacements de M et de m sont parallèles ; nous obtenons les conditions

dx dy dz

dk^dÊ^ dC'

qui ne sont autres que les équations (47), dont on a éliminé R.

508. La représentcitioH sphérique crime ligne de courbure plane L est une circonférence ; car les normales à la surface le long de L font un angle constant avec le plan de L (n" 502), et les parallèles à ces normales menées par le centre de la sphère sont les génératrices d'un cône de révolution qui coupe la sphère suivant une circonférence.

Réciproquement, si la représentation sphérique d'une ligne de courbure L est une circonférence, la ligne de courbure est plane ; en effet les tangentes de L, étant parallèles à celles de la représentation sphérique, sont parallèles à un plan, et L est une courbe plane.

Lignes asyinptotiques

509. On appelle lignes asgniptotiques d'une surface celles qui ont en chaque point pour tangente une des asymptotes de l'indicatrice! Le paragraphe précédent permet d'obtenir immédiatement leur équation différentielle; en effet, exprimons qu'elles sont, en chaque point, perpendiculaires à leur image. Nous obtenon ^ l'équation cherchée

dxdk + dl|d\^ + dzdC. = G, (48)

dans laquelle il n'y a plus qu'à remplacer dx par

/// ))ar

r— au -\- r— av.

eu ÔV

:— chf 4- -^ dv, etc.

du dv

Dans le cas particulier où les variables indépendantes sont u = X et v = //, l'équation précédente devient

dpâj- -\- dqdy = o, (49)

rdx'^ -\- 'isdxdy -f- Idy- = o. (50)

51 0. Une remarque importante s'impose ici : l'équation

(48) subsiste même si A, B, C désignent non plus les cosinus directeurs de la normale, mais simplement des quantités proportionnelles. En effet il faut, dans cette hypothèse, écriie au lieu de dk

A dA , , , i

ou ■ . 4- Aa.

V^A'+B'-^ + C^ y/A2|B2-|-C2 vA^+B^-hC2

mais les termes, qui se trouvent ainsi ajoutés dans l'équation (48), disparaissent, parce que l'on a évidemment

Mx 4- Bf/y + Cdz = o.

511. Théorème. — Le plan oscillateur d'une ligne asymptotique en un point est tangent à la surface en ce point. Le plan tangent à la surface a pour équation

Nous devons exprimer qu'il contient, outre le point .r, y, 2,

les points x 4- dx, y + dy, z -f- dz, et x -\- dx -\- - d-x,

y -\- dy -\- - dHj, z -\- dz -\--^ cP-z., ce qui donne les condi-

fions

kdx + ^dy + Cf?s = o . (51)

kd^r + Bf/2y -]- C(Pz

L'équation (51) est identiquement vérifiée; elle exprime que la normale est perpendiculaire à la tangente. En la différentiant et en retranchant (48) du résultat, on trouve Téquation (52). Le théorème est donc vérifié.

On voit, de plus, que l'équation (52) est équivalente à l'équation (48) ; elle peut donc, au môme titre que cette dernière, être prise pour équation des lignes asymptotiques. Elle peut encore s'écrire

ou en remplaçant les différentielles secondes par leurs valeurs

'bu

bu bz bv

du^ + 2

bubv

b^ bu^V

b'^Z bubv

bz bu

dudv

b^x bv'bx bu

bx b^

bjy

bv'-

bjz bv^ b z

512. Il est intéressant de remarquer que cette équation prend la forme simple

^f/,,2 | pji,-i = o,

lorsque le réseau (//, r) est coiijuiiué (V)). Ce résultat s'explique aisément dans le cas particulier où l'on a pris pour axes des./;

et des ij les tangentes à deux courbes du réseau conjugué. L'équation s'écrit alors

Tclx''' -)- tdy°^ = G,

et elle exprime que les tangentes asymptotiques coïncident avec les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

513. Dans le cas des lignes asymptotiques, le théorème de Meusnier se trouve en défaut. En effet, l'équation (15), qui donne le rayon de courbure d'une courbe dont le plan osculateur fait avec la normale l'angle y, est

p = po COS y.

Mais ici y = ^^ cos y = o et p,, = oo, puisque la section

normale a pour trace, sur le plan tangent, une asymptote de l'indicatrice. Le lecteur pourra voir dans le tome II des Leçons sur la Géométrie des surfaces^ de M. Darboux, page 397, comment il faut procéder dans ce cas.

514. Pour la section de (S) par son plan tangent, co'mme pour la ligne asymptotique, la formule de Meusnier devient illusoire ; mais il existe entre les rayons de courbure de ces deux courbes une curieuse relation due à M. Beltrami, et que nous nous bornerons à faire connaître sans démonstration : le rayon de courbure de la section plane est égal à trois fois la moitié du rayon de courbure de la ligne asymptotique.

Nous donnerons enfin un dernier résultat relatif aux lignes asymptotiques; si l'on appelle tq la torsion de la ligne, R et R' les deux rayons de courbures principaux de (S), on a

T, = v/-KR'('). (54)

■ Darboux, Leçons, etc., loco cllato.

515. Comme application, nous chercherons les lignes asymptotiques des surfaces réglées. Soient

X = au -\- ^ \

z =1 a.-^u -\- io !

les équations de la génératrice dans lesquelles «, 6, «^ ..., sont des fonctions de la variable v.

dx := adu -\- {a' u -f- h') c/f, dy = a^du -\- {a[u -f- ^O do, dz = a^du -\- (a^u -\~ b^) dv.

Les différentielles secondes cl^x, d~y^ d-z, ne renfermeront pas de termes en du~; donc, dans l'équation (52), dv sera en facteur, et un système de lignes asymptotiques aura pour équation v = G'^ Ce sont donc les génératrices rectilignes de la surface.

Pour le second système, on aura à intégrer une équation de la forme

^ = a..2 + pu + y, (56)

a, i3, Y étant des fonctions connues de v; cette équation ne peut pas s'intégrer en général. Nous aurons à en reparler dans le second volume (équation de Riccati); mais, pour ne pas avoir à revenir sur les lignes asymptotiques, nous donnerons immédiatement, sans démonstration, la forme générale de la solution de cette équation

dans cette formule, /, ?n, //, //, sont des fonctions de v à déterminer et ne dépendant (|ue de a, |i, y; c est une constante susceptible de recevoir des valeurs arbitraires. Si l'on remplace // par sa valeur dans les équations (55), on a, en fonction de r, les équations des asymptotiques du second sys-

tème. Donnons à G quatre valeurs, G|, Go, Go, G4, il en résultera quatre lignes asymptotiques ; pour une valeur déterminée de ?;, les formules (55) donneront le point de rencontre de la génératrice correspondante avec ces asymptotiques. On aura par exemple

iCf 4- »?

et deux autres formules analogues pour i/i et z^; de même Xt, 2/9, So' ^31 ••• Or, on voit facilement que

et, comme ?j a disparu dans le second membre, il en résulte que les quatres asymptotiques considérées coupent une génératrice recliligne en quatre points, dont le rapport anharmonique reste constant, lorsque la g('nératrice décrit la surface réglée.

Courbure géodésiquc : li(|ues (jéoclésiqiies

516. Il nous reste à définir une dernière catégorie de courbes tracées sur les surfaces : ce sont les lignes géodésiqiies. Quelques considérations préliminaires sont utiles. Nous avons vu que, pour toutes les courbes F de la surface qui touchent, au même point M, une même droite MT, Taxe de courbure coupe la normale en un même point 0 ; nous appellerons ce point le centre r/e courbure normale de la courbe F, et nous appellerons centre de courbure géodésique ou centre de courbure tangentielle le point Oj, 011 l'axe de courbure de cette courbe rencontre le plan tangent en M. Ge point Oj coïncide avec le centre de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent, en vertu du théorème de Meusnier ; car celle projection est la section normale du cylindre projetant.

Le rayon de courbure géodésique a pour valeur absolue MOj, et son inverse est la courbure géodési([ue.

LIGNES TRACEES SUll LES SURFACES 555

517. Nous ne préciserons pas davantage le signe de ce rayon de courbure, parce que nous nous bornerons au cas oii ce rayon est infini, ei nous appellerons lignes géodésirpies celles dont le rayon de courbure géodésique est infini, ou, ce qui revient au uième, à cause de la définition du centre de courbure géodésique, celles dont le plan osculaleiir est normal à la surface. Ces courbes doivent leur iinpoj'tance en géométrie à ce que, sauf des restrictions analogues à celles qu'on l'encontre dans tous les problèmes de minimum, elles sont les plus cou vis chemins entre deux quelconcjues Je teints points. C'est ainsi que, sui' la spbère, les grands cercles, dont le plan est elîectivement normal à la sphère, sont les plus courls chemins entre les deux quelconques de leurs points, pourvu que le chemin soit compté sur le plus petit des deux arcs de grand cercle limités ])ar ces points.

Soit AB la ligne hi plus courte parmi celles que l'on peut tracer sur une surface entre les points A et B, et MaM' un arc infiniment petit pris à voh3nté sur AB. Désignons, en outre, par MT la tangente en M à la ligne AB, par MZ la normale à la surface au point M, et enfin par M^iM' l'arc appartenant à la section faite dans la surface par le plan ZiVIM'. Par hypothèse, on a l'inégalité

MaM' — MpM' < o,

qu'on peut écrire, en appelant c la corde MM',

MaM' — c M\M'

La limite du premier membre, lorsque, M restant fixe, M' tend vers M, sera donc négative ou nulle, de sorte qu'on aura à la limile

p et Pi étant les rayons de courbure, en M, de la ligne AB et de la section par le plan normal ZMT. D'ailleurs, si 0 est

l'angle du plan oscillateur à la ligne AB, au point M, et du plan ZMT, on a, d'après le théorème de Meusnier, p = Pi cos 9. L'inégalité précédente devient alors

CCS 2 0

et comme le premier membre ne saurait être négatif, on aura 0 = o. Ainsi la ligne miniaia AB a, en chacun de ses points, son plan osculateur normal à la surface ; c'est donc une ligne géodésique.

On rencontre aussi ces courbes en mécanique; ce sont les trajectoires d'un point assujetti à se mouvoir sur une surface sans être soumis à aucune force extérieure. En elfet, dans ce cas, le plan osculateur de la surface, qui contient toujours la résultante des forces, contient la seule force appliquée au point, savoir la réaction normale de la surface.

51U. Cherchons, par exemple, les lignes géodésiques du cylindre de révolution. Soient

/ a? = R cos^, ) y = B sin /,

( ^ = n<^[th

les coordonnées d'un point M de la courbe rapportées à trois axes rectangulaires, dont oz coïncidant avec l'axe du cylindre. Le plan osculateur en un point

X — R ces t Y — B sin t Z — B^ (f)

— B sin ^ B ces i \W (t)

— B ces t — B sin t Bc&" it)

doit avoir sa trace sur xot/ parallèle au rayon qui va de l'origine à la projection de M ; on a ainsi la condition

o" {t) = o; d'où

? (0 = ht + p,

OU plus simplement, en prenaul iiii nouveau plan convenable des xy parallèle à l'ancien,

Les équations de la géodesique sont donc

, ./• = R cos /, 2/ = Rsin/, ' .- = R///.

On reconnaît les équations d'une hélice tracée sur le cylindre, et l'on sait en effet que les hélices, provenant de l'enroulement de droites sur le cylindre, sont bien les plus courts chemins tracés sur le cylindre entre deux ([uelcon([ues de leurs points. 11 est facile ici de préciser les restrictions dont nous avons parh' dans la définition (n° 517) ; il faut que l'arc d'hélice soit inférieur à une spire ; s'il était égal à ime spire, le plus court chemin d'une de ses extrémités à l'autre serait évidemment la g('nératrice du cylindre qui joint ces deux points; s'il était supérieur à une spire, il y aurait une autre hélice passant par ses extrémités et qui serait le chemin minimum.

519. On vérifierait, de même, que les hélices tracées sur des cylindres quelconques sont les géodésiques de ces cylindres.

5— O. L'exemple des cylindres nous permet encore de faire connaître une particularité qui achèvera de donner à ces courbes intéressantes leur véritable physionomie. Entre deux j)oiiils du cylindre, quelque voisins ([u'ils soient, i! y a toujours une infinit»' de g^'odésiqncs, dont une seule, bien entendu, en gén('ral, est plus court climiin entre les deux points. En effet, si ; et y; sont l'ordonnc'e et l'abscisse curviligne du premier jioint M, celles du seccuul, M', seront, à volcvnté, S' et •/;', ou ^' + 2/.-R et r/, / ('lanl un nombre entier quelconque, positif ou ni'gatif. Si on déroule le

cylindre sur un plan, au point M correspondra un point m, et les diverses valeurs de k feront correspondre à M' une infinité de points m', m'j, m'.,, ... Les droites mm\ m7n\, mm 2^ ..., donneront toutes les hélices passant par M et par M', lorsqu'on enroulera, de nouveau, le plan sur le cylindre.

521. L''équation des géodésiques s'écrit immédiatement en exprimant que la normale principale à la courbe, dont nous avons donné les cosinus directeurs (n° 418), coïncide avec la normale à la surface, dont les équations ont été écrites au n° 474. On trouve ainsi

ce qu'on peut écrire, en appelant p la valeur commune de ces rapports,

d^'x ds^

ds'

d-^z ds^

Multiplions les deux membres de ces équations respectivement par -,-' 7 ' '7~' p1 ajoutons membre à membre; il ^ ds ds ds "^ '

vient

dx d'X , dii d^ii , dz d^z , . , , t^ , , /^ 7 \

Le second membre est nul en vertu de l'équation de la surface, comme nous l'avons souvent observé (51), et le premier

parce qu'il est la demi-dérivée de( — j +(7) +('T. )'

qui a pour valeur l'unité. Les équations (G) se réduisent donc à une seule, si l'on tient compte de Féquation'de la surface, ce qui était à prévoir.

Il faut remarquer que les numérateurs des équations (G) sont écrits en supposant que Tare de la ligne géodésique est pris pour variable indépendante. On s'affranchira de cette restriction en écrivant de préférence

, dx , dii , dz

ds ds ds

el maintenant la variable indépendante peut être prise arbitrairement.

Nous retrouverons bientôt l'équation des géodésiques sous une forme très symétrique et très condensée, comme application d'une méthode extrêmement féconde, qu'il nous reste à faire connaître.

522. La méthode que nous allons indiquer est due à Gauss, qui l'a fait connaître dans son célèbre Mémoire : Disquisitionea générales circa superficies curvas; elle a été illustrée par les travaux de nombreux géomètres, parmi lesquels il nous suffira de citer Bonnet, Bour, Codazzi, Laguerre, Ribaucour et M. Darboux. Avec les indications qui suivent, le lecteur reconstituera aisément tous les calculs.

Soient OZ, la normale à la surface, OX et OY les tangentes aux courbes v = C" et u = G'^ Nous appellerons a:, y, z, les coordonnées d'un point M, par rapport à ce trièdre T, mobile. Si l'on donne aux variables indépendantes u et V des accroissements infiniment petits, le trièdre T devient un trièdre analogue T', d'origine 0'; M devient M', et nous appellerons les coordonnées de ce nouveau point, par rapport au trièdre T', .r -|- dx, g -\- dt/, z -\- dz, et par ra|)port au trièdre T, x -h r/X. y -j- (lY, z + dZ. Les axes sont supposés rectangulaires, et, par suite (n" 477, form. Il et 12), l'élément d'arc a pour expression

C&2 = iV-du'i + C^do^

CALCUL LNFINITÉSI.MAL. 34

ds^ = Edu^ + Gdv\

Cela posé, le théorème des pi^ojections permet d'écrire

projection OM' = projection 00' + projection O'M',

FiG. 44.

et, si l'on remarque que la projection de O'M' peut être remplacée par la somme des projections de ses projections sur O'X', O'Y' et O'Z', on établira, sans peine, les formules, qui ne sont vraies qu'au second ordre près.

dX. = Adu -{- dx -\- ^z — yy \ dY = Cdv -\- dy -\- -{X — xz '• dTj = dz -\- (ly — pa?

a, ^, Y, désignent les cosinus infiniment petits définis par le tableau suivant

Ces cosinus infiniment petits sont de la forme

a = pdu -\- p^dv \

p = qdu -{- qydv >• (59)

Y = rdu -\- r^dv )

En portant ces valeurs dans les formules (58), et remarquant que

dx = T— du 4- — - dv. dij z=: ....

on aura finalement des équations telles que

d\ = Mdu + ^dv, dY = M'du + N'ofu, dZ = M'dtc -f K'dv.

Si le point M est fixe, les six coefficients de du et de dv doivent être nuls, ce qui donne des équations de la forme

-^ry-qz-K ^^r,y-q,z .

d'^x En exprimant que les deux valeurs de -, — r tirées de ces

dtfdc

équations sont égales entre elles, ainsi que celles de 4-"'{-

dudi)

et (V^ . "j 1 et en observant que les conditions oblenues

doivent avoir lieu, quel que soit le point fixe M, on obtient enfin les équations de Godazzi, qui sont fondamentales dans

cette théorie

Ary, + Q) = o , c)r, t^r

rq^ + -^ — -^zr: o

^ ' ' c'M c'y pr. -h -r^ — ^ = f »

M. Darboux, auquel ou doit les uolatious symétriques dout uous venons de nous servir, a observé que les quantités/y, q, r, sont les composantes de la rotation que subit le trièdre T, lorsqu'on fait varier u seiilement, que /jj, q^, r,, sont les rotations correspondant à la variation de i\ et il a tiré de ce point de vue cinématique les plus heureuses conséquences, qui sont développées dans son traité déjà si souvent cité. Nous nous bornerons à deux exemples, pour faire comprendre la fécondité de la méthode.

5— .*i. S'il existe sur oz un point ^ = o, // = o et z = p, qui se déplace tangentiellement à os, on aura pour ce point

dX. = o, c^y -— o,

Adu -[- p [qdiù -\- q\dv) ■= o, Cdv — p ['pdu -\- p^dv) = o.

L'élimination de p conduira à l'équation diffi^rentielle des lignes de courbure

Apdu'^ 4- Cq^dv^- + [Cq + Aj)^) dudv = o,

et celle de ~ h l'éciuation aux rayons de courbure princidv

paux

524. Prenons maintenant un point M, dans le |)Ian XOY(£ = o); exprimons que son déplacement a lieu clans ce plan [dz==o). Le lieu des points qui jouissent de cette propriété, c'est-à-dire la caractéristique du plan tangent XOY, sera la tangente conjuguée de 00'; en exprimant que sa direction coïncide avec 00, on aura Téquation des lignes asymptotiques. On trouve ainsi pour la caractéristique

{pdu -f- j>,rtV) y — {qdu -\- q^dv) x = o,

et pour l'équation des asymptotiques

(/du -\- q^dv Cdv pdu -)- XJ^dv Adu

525. Revenons aux lignes géodésiques. Pour cela, appelons 0^ l'angle que la tangente à la courbe 00' fait axec OX, et utilisons les formules de Frenet, ainsi que la représentation sphérique (n° 417). Le point représentatif de la tangente aura pour coordonnées, si l'on prend des axes parallèles à OX, OY, OZ, meni's par le centre de la sphère

cosco, sinco, 0,

et son déplacement, auquel on peut appliquer les formules (58), dans les([uelles on n'a qu'à supprimer les termes Adit et Cdv, qui proviennent du déplacement de l'origine, sera parallèle à la normale principale de la courbe ; si la courbe est géodésique, on aura pour ce point

dX = o et c^Y = 0,

c'est-à-dire

— sin M do) — (rdii -\- r^dv) sin oj = o, cosw fAo -j- {rdn -f- r^c^y) cosoj = o,

en tenant compte des (équations (59); ces deux ('qiialions se réduisent à r('(|uation unique

(7co -\- rdv. -f- )\dv = o, (63)

534 CHAPITRE XTX

qui est l'équation différentielle des lignes géodésiques. Il

kdu . Odv

n y a plus qu a y remplacer cos o) par —j — ' sin w par — >—j

et d'après les formules de Codazzi (61), r par — r~J~^ ^'i P^^

-r-T-i pour avoir une équation oii n'entrent plus que les

A ClZl

coefficients de cls~.

On obtient ainsi l'équation, que nous écrirons avec les notations de Gauss (form. 10, n° 477),

2(EG — F2) (dud-h — d-ccVu) = (^E ^ -|- F ^- — 2E ^^ du^

^ ' ^ ^ \ ÛV ' du CVj

+ (3F ^ + G^^ -2F ^ -2E ^"j du^ dv

\ OV du OU du/

V au OV 00 OV J

\ ou dv dv J ^ '

On peut signaler, par exemple, les lignes de longueur nulle (^ds- = o), comme vérifiant l'équation (63); mais ces lignes imaginaires n'ont pas d'intérêt ici.

Gomme deuxième application, supposons que u soit l'arc degéodésique qui fait en M, avecune droite donnée, l'angle z) ; les deux coordonnées d'un point quelconque de la surface seront l'arc u et l'angle v, analogues à des coordonnées polaires, et l'on aura

ds^ = du^- -j-^Fdudv ^ Gdv\

Mais, puisque v = G" est une géodésique, et que E = 1, l'équation (63') se réduit à

F ne dépend que de ^J, et comme ce coefficient est évidemment nul pour 21 = 0, on a

On obtient donc la forme très remarquable qui suit

ds^ = du'- -\- Qdv^.

Surfaces applicables

526. Nous avons vu (n° 477) que l'élément d'arc d'une surface, sur laquelle est tracé un réseau {u, v), est donné par la formule

gç. ■■ ds^- = Edu^ + 'iFditdv + Gdv^. (64)

Si les coordonnées des points M e t ?>i de deux surfaces peuvent s'exprimer en fonction des mêmes paramètres u et v, de manière que les cls- des deux surfaces soient donnés par la formule unique (6i), les deux surfaces seront dites applicables l'une sur l'autre. Pour justifier cette définition, prenons sur la première surface trois points infiniment voisins M, M', M", et sur la deuxième surface les trois points m, m\ m'\ qui correspondent respectivement aux mêmes valeurs de u et de 15 ; les deux triangles MM'M" et mm'm" pourront être amenés à coïncidence, puisque, en vertu de l'égalité des ds~^ ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

527. Donnons immédiatement un exemple. La surface de vis à filet carré, dont l'axe est oz^ a pour équations

X = u cosu, y = Il sinu,

z = av,

a étant une constante. Son ds^- sera donc

Considérons maintenant Valfjsséide ou caténoïde, c'est-àdire la surface engendrée par la révolution d'une chaînette

autour de sa base. Nous prendrons cette base pour axe des s, et l'axe de la chaînette pour axe des x ; si r désigne la distance d\m point de la méridienne à os, l'équation de la méridienne sera dans son plan

Pour avoir les coordonnées d'un point de la surface, en fonction de deux paramètres r et y, il suffit d'adjoindre à l'équation précédente les équations

aj = r cosu, ?/ = ?• sinu, On en tire

ds'^ = r'^dv'^ + —^ -, dr"-,

et il suffit de poser

pour que l'élément linéaire prenne la forme

c'est-à-dire la même forme que dans la surface de vis à filet carré. Donc la surface de vis à filet carré est applicable sur la caténoïde. Les courbes v = C"" sont sur la première les génératrices rectilignes, sur la seconde les méridiens qui sont des chaîneties; de môme, les hélices de la première correspondent aux parallèles de la seconde.

Le théorème précédent est un cas particulier d'un théorème plus général, dû à Bour [Joitmal de l'Ecole Polytechnique^ XXXIX" Cahier, p. 82) : Les hélicoïdes sont applicables sur des surfaces de révolution.

5^8. Signalons, en passant, une importante propriété de la caténoïde. On a vu (n° 491) que les rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont celui de la

méridienne et la longueur de la normale limitée à Taxe. Or il est facile de voir que, dans la chaînette, la normale, ainsi définie, est égale et de sens contraii-e au rayon de courbure, et nous démontrerons, dans le second volume, cette propriété caractéristique. Donc, dans la caténoïde, les deux rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. On appelle surfaces minima^ celles pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. La caténoïde est donc la seule surface minima de révolution.

529. Plusieurs remarques se présentent à propos de l'exemple qui vient d'être traité. On voit d'abord que le ds~ de la caténoïde ne s'est pas présenté immédiatement sous la même forme que celui de l'hélicoïde, et qu'il a fallu effectuer un- changement de variables ; ici le changement a été très simple. Mais il peut y avoir des cas oij le changement à effectuer est plus compliqué et, malgré les nombreux travaux des géomètres sur l'application des surfaces, le problème général, qui est désigné sous le nom de déformation des surfaces, est loin d'être résolu. Nous donnerons plus loin (n° 531) une condition nécessaire pour qu'une surface puisse êlre appliquée sur une autre, et nous traiterons en particulier le cas des surfaces applicables sur un i)lan, qui sont les surfaces développables. Nous devons faire observer que le problème de la déformation est soumis à toutes sortes de restrictions : le lecteur, que ces questions intéressent, consultera avec fruil les Lcfcns sur la Théorie des surfaces, de M. Darboux (livre I, c h a p . vni et passim ) .

530. Quoi qu'il en soit, et quelques variées, en apparence, que soient les surfaces qui ont un même r/.<.-, il est bon de se rendre compte que ces surfaces sont au fond bien déterminées par le rA-. En effet, si l'on donne

ds^ = Kdii"' -f "iVdudv -f C,dv-\

les trois

équations

"' 'bu bv

bz bz

bu bv

(^y+(r!y+(iy=«-

définiront, à des fonctions arbitraires près, introduites par l'intégration, les trois inconnues x, y, z, en fonction de u et de V.

531. Démontrons maintenant le théorème fondamental de Gauss : Toutes les surfaces applicables sur une même surface ont même courbure totale. On appelle courbure totale d'une surface, en un point, le produit des inverses des deux rayons de courbure principaux.

En effet l'équation (62) donne pour la courbure totale (Notations de M. Darboux) :

br^ br

\ bv bu ,„„,

Or les formules de Godazzi (61) montrent que r et r^ dépendent seulement des coefficients de l'élément linéaire. Donc toutes les surfaces, qui ont même cls-, ont bien même courbure totale.

Avec les notations de Gauss, si l'on pose

1 bv bu 1 bu bv

' 2 Gs/EG — F^ 2eVEG— F^

la courbure totale est donnée par l'équation

l'angle a étant défini par l'équation (12

^^WE-G^ + '|^ + ^ + f|;=o, (66)

Pour F ^ 0, on retrouve, aux notations près, l'équation (65).

On peut encore signaler la forme remarquablement simple que prend l'équation (65), si l'on adopte pour coordonnées une famille de géodésiques et leurs trajectoires orthogonales (n° 525 in fine) : on a, en effet, dans ce cas, en écrivant C' au lieu de C dans le ds~

Enfin, si les variables indépendantes sont les coordonnées X et y, et si l'on adopte les notations du n" 485, on obtient la courbure totale sous la forme d'un déterminant fonctionnel

Soit

J ;) (L M) __ rt — s'

RR' ~ ^\x,y) ~ (1 -f-p2 4. g-if

l'équation de la surface; un calcul facile montre qu'on peut encore écrire

RR'

W ^Vy) "^W

'dx

^xdy

'dz '^z'dx ^Zi^y ^z-

Le déterminant qui figure dans le second membre est un hessien (n° 364); il s'annule si la courbure totale est nulle, c'est-à-dire aux points paraboliques. Ces points sont donc, sur les surfaces, et, à ce point de vue, les analogues des points d'inflexion dans les courbes planes.

Nous verrons d'ailleurs, dans le deuxième volume, que l'analogie est plus complète et qu'à certains égards on peut considérer la courbure totale comme l'analogue de la courbure d'une courbe plane.

532. Cherchons le ds- de quelques surfaces simples. Surfaces de révolution. — Nous prendrons l'axe de la. surface comme axe des z^ et nous poserons

L'équation de la surface sera

et si l'on pose

X ^=. r CCS y, y = r sin y,

l'élément d'arc aura pour expression

ds^' =dr'- [i-^ f^) -\~r-^dv^, OU, en introduisant une variable u telle que

li =fdr v/i + r-,

ds^- = du^ + cp [u] dv'' ; (70)

u est l'arc de méridien compté à partir d'un certain parallèle; car, pour v = C'% on a ds = du; cp (?^) est le carré du rayon /- du parallèle qui passe au point de coordonnées u, v. On peut encore donner au ds- précédent une forme différente en posant

/ dit

on trouve ainsi, parce que (f{u) devient une fonction ^{u^) de t<i,

ds^ = F {u^) {du^ + dv-^).

C'est Lin cas particulier d'une classe de surfaces, dites isothermes, ou isométriques, pour lesquelles on a

ds'^ = '\[u, v) [du^ + dv^-).

533. On reconnaît dans la formule (70) une forme de dssignalée au n° 525, et cela devait être, puisque les méridiens sont évidemment des lignes géodésiques et que nous avons choisi les mômes coordonnées sur la surface qu'au n° 525.

L'équation (63') des lignes géodésiques peut d'ailleurs être complètement intégrée dans le cas des surfaces de révolution. Prenons, en effet, la forme (70), c'est-à-dire faisons dans l'équation (6.3')

E = 1, F = G, G = cp (m) = r2 ;

prenons de plus î/ comme variable indépendante, et écrivons

suivant la coutume v' et v" au lieu de -j-' -j-^' H vient

dî( du-

rv" -\- "ir'v' -\- r'Vv''^ ^ o. (71)

Cette équation, ainsi qu'on le démontrera dans le second volume, a pour intégrale (en désignant par a G,i b deux constantes arbitraires)

Cela posé, considérons sur la géodésique, qui correspond à des valeurs données a et h, des constantes arbitraires, un arc infiniment petit MN faisant avec le méridien du point M l'angle (o. On a évidemment

rdv tan o- co = -7—5

et l'on en déduit immédiatement, en tenant compte de l'expression de v (72),

r sinw = a.

Cette forme de l'équation des géodésiques des surfaces de révolution est due à Glairaut; elle est des plus utiles pour leur discussion. On en conclut, par exemple, qu'une géodésique correspondant à la valeur a peut arriver à toucher le parallèle de rayon a, mais ne peut pas rencontrer un parallèle de rayon moindre.

534. Surfaces réglées. — Elles sont définies par les équations

tti et hi étant des fonctions d'un paramètre v. On en déduit un ds- de la forme

ds2 ^ (^2 -j- a| + al) chi^ + Y^dudv + [ku^ + 2Bî^ + C) dv^.

Nous poserons

«? + «2 + «1 = Il

et 0 = 0, ce qui revient à dire que u sera la longueur de génératrice comptée à partir d'une trajectoire orthogonale, tout le réseau [u^ v) étant d'ailleurs orthogonal. On obtiendra ainsi, comme forme réduite du c/.s^ des surfaces réglées

ds^ = diC-' + (An2 -f 2Bn + C) dv"^ . Surfaces développables

535. Dans le cas des surfaces développables, nous avons vu qu'on a de plus

donc le coefficient de dn^ est un carré parfait, et l'on aura, dans le cas des surfaces développables, en remplaçant v par une fonction de v^ choisie de manière à réduire à l'unité le coefficient de u~^

ds^ = da^ -\~ [u — a)^ dv^ ^ au lieu de

C&2 = du^ J^ [(m a)2 ^ p21 c?u2,

qui correspond aux surfaces réglées non développables ; a et [i sont des fonctions de v.

Nous allons montrer que les surfaces développables sont applicables sur tm plan. Elles satisfont bien à la condition qui résulte du théorème de Gauss(n° 531) d'avoir leur courbure totale nulle; mais cette condition n'est pas suffisante.

Ecrivons

ds'^ = [du -\- i (m — a) dv] [du — i [u — a) c/i;],

= e'" [du -\- i (u — a) dv] X e -'" [du — i {u — a) dv] .

Leg deui facteurs sont maintenant des différentielles exactes, et l'on pourra poser, en appelant d{x + ii/) et d{x — iy) ces différentielles.

l X -\- ly =z ue'^ — i j ae'<'cZu, i X — ip = ue~'^ "l~ w 2c6~'''cZu ;

nous avons ainsi réussi à exprimer, en fonctions de u et de V, les deux coordonnées d'un point du plan, et ces coordonnées vérifient bien la condition

ds^ = dx^ -j- dy^^

ce qui démontre le théorème. Au reste les formules précédentes peuvent s'écrire

X = u cosu -j- / a.sinvdv,

y = u smv

/a cos vdv ;

et l'on voit que les courbes v = C" seront des droites dans le plan, comme sur la surface développable.

536. La réciproque de ce théorème a été établie par 0. Bonnet {AnnaU di Matematica, 2" série, t. VII, p. 61) : Toute surface applicable sur un jjlan est Venveloppe cVun plan mobile.

Soit, en effet, une surface applicable sur un plan, c'est-àdire telle que

en désignant par x, y, z les coordonnées d'un point de la surface, et par u, v celles d'un point du plan prises pour variables indépendantes. On a alors

.r ^x ^y L^y liz 'dz ■^ ^x ^cc

En différentiant ces trois équations successivement, par rapport h îi et à t), on trouve, après quelques simplifications faciles,

Il en résulte

^Kv

hr-

ht'^

- cV2y -

t)-Mt^U l>ndv 2iUiiV

le l'acobien des deux fonctions ^» ^? est donc nul, ainsi que

celui des fonctions -^ et—' et ces trois fonctions sont foncôîi m

tions d'une d'entre elles; de niAnie ^' —-■: 7^' dépendent de

^v ^v 2iv *■

l'une d'elles, et comme ces six fonctions sont reliées par la relation

elles ne dépendent que d'une d'entre elles. Enfin les identités

^ =" ^' ^i + '^ hi' dv ~^' dv +^^if'

permettent d'exprimer p et q en fonction de la même quantité, c'est-à-dire de les considérer comme dépendant l'une de l'autre. La surface est donc développable (n" 441).

Cartes géographiques

5Î37. Le problème, qui consiste à représenter une surface sur une autre, et en particulier sur le plan, a été l'objet d'importants travaux de la part de Lambert, Eulor, Lagrange, Gauss. Une carte géographique est une représentation sur un plan. Voici quels seraient les termes du problème.

Supposons les coordonnées x, y, :■, d'un point M, d'une surface (S), exprimées eu fonction de deux paramètres u et r, de telle sorte qu'on ait

ds- = E (//' -]- -iVdiuh: 4- Cdv-,

et soit iM' un [)oiut infiniment voisin de M sur la surface;

CALCUL IXFINnÉï-I.M AL. 3o

soit de même m(X, Y) un point du plan, m un point infiniment voisin. Il s'agirait d'exprimer X, Y en fonction de u et de V, c'est-à-dire de faire correspondre les points de manière qu'on eût constamment

WsV = mm' ou

ds' = dX^ + dT\

Cette condition ne pouvant être réalisée que si la surface (S) est développable (n° 536), Lambert l'a remplacée par la suivante

MM' = X . mm'

ds^ = l^idX'- + fA'2),

X étant en fonction de li et de v, qui assure la similitude des triangles infiniment petits, ou, ce qui revient au même, la conservation des angles.

Nous ne parlerons pas des autres modes, par exemple du système de Babiaet, qui réalise la conservation des aires infiniment petites, et nous nous bornerons à deux systèmes de cartes; nous supposerons, de plus, que la surface à représenter est sphérique.

538. Cartes de Mercator. — Si Ton prend, pour représenter un point de la sphère, des coordonnées polaires ('i longitude, 6 colatitude)

a? ^ R sin 0 ces •]/, y = B. sin6 sin '^i, ^ = R CCS 6,

le ds- sera

ds^ = R2 (sinn-cZf^ -j- db^).

On peut l'écrire

Il suffira donc de poser

I = L tan g -5

pour le ramener à la forme

ds^ = R-^siiiM {dX-^ + d\'-).

On obtient ainsi le système de Mercator, dans lequel les droites équidistantes parallèles à Oy représentent des méridiens faisant entre eux des angles égaux, tandis que les parallèles de la sphère, qui correspondent à des variations égales en latitude, sont représentées par des droites parallèles à Ox, dont la distance à Ox croit à l'infini, lorsque la latitude tend vers 90°.

539. Projections stéréographiques. — Soit (E) le plan de l'équateur, Z le pôle nord, V le pôle sud que nous prendrons pour point de vue, M un point de la sphère, m sa projection stéréographique, c'est-à-dire la trace sur (E) du rayon visuel VM. Nous rapporterons la sphère au même syslème de €oordonnées polaires que dans le numéro précédent : soit donc

ZOM = 0,

mOX = •!/,

Fi G.

nous prendrons comme axes de coordonnées dans le plan de l'équateur deux axes rectanguUiires. Cela posé, on voit

-^^^\ fi

que OVm = 5 et que, dans le triangle rectangle \0?n,

Om = U tan g -•

Donc les coordonnées de m dans le plan XOY seront

A = n tang - cos']> Y = R tang- sin d-,

On tire de là pour le ds"- dans le plan

(/s2= (sin^ U'h'^ + rtO^),

COS^ g

et il suffît de le comparer à celui de la sphère donné au commencement du paragraphe précédent pour voir que ces deux ds^~ sont bien proportionnels. Les angles sont donc conservés par la projection stéréographique, ce qui est connu. Le rapport de deux éléments correspondants

2 cos^-

est égal à - si la colatitude est nulle, c'est-à-dire pour les parties de la carte voisine du pôle. Il est égal à un^ pour 6 =^ ^? dans le voisinage de l'équateur.

(Cl

540. Nous observerons en terminant que la carte d'une surface sur un plan avec conservation des angles est toujours possible, tandis que l'application qui conserve les angles et les proportions dans toute la carte n'est possible, comme on l'a vu (n° 535), que pour les surfaces développables. Ce théorème sera démontré dans le second volume.

Numéros. Pag-es.