MM
A la limite, lorsque M' tend vers M, MP devient la tangente inconnue MT, et l'on voit que les sections par le plan normal ZMT ont la même courbure au point M. La droite MT rencontre donc les deux indicatrices aux mêmes points; cette tangente est donc un diamètre commun aux deux indicatrices. Comme il y a deux diamètres communs, on voit que la ligne d'intersection L a un point double au point M.
En particulier, si Lune (S) des surfaces est développable, son indicatrice consiste en deux droites parallèles symétriques par rapport au point M, et tangentes à l'indicatrice
de l'autre surface (Si). Les diamètres communs aux deux indicatrices se confondent donc avec la corde de contact, et l'on tombe sur le théorème des tangentes conjuguées qui se trouve ainsi démontré géométriquement.
Enfin, dans le cas plus particulier encore où l'une (S) des deux surfaces est un plan P, son indicatrice est la droite à l'infini et par suite Us tangentes à la ligne d'intersection de la surface (S|) et de son plan tangent P sont les asymptotes de l'indicatrice de la surface (Sj). Ce résultat a déjà été trouvé sous une autre forme, à la page 488.
Des lignes de eourbure
WVl . On appelle ligne de conrhnre d'une surface une ligne le long de laquelle les normales à la surface forment une surface développable. Cette définition a besoin d'être expliquée : les normales à une surface forment une congruence et, en général, comme Ton sait, la plus courte de deux droites d'une congruence est du premier ordre par rapport aux paramètres variables [u et v). Dans le cas spécial que nous examinons ici, les surfaces de la congruence prennent, d'après M. Mannheim, le nom de normalies, et ici, comme dans les congruences rectilignes quelconques, il y a deux manières de grouper les droites de la congruence, de manière à avoir des surfaces développables. Les lignes de courbure sont les traces sur la surface (S) des normalies développables cl, lorsque nous disons, que le long d'une ligne de courbure deux normales se rencontrent, nous voulons simplement dire ({ue la plus courte distance de ces droites est d'ordre supérieur au premier.
^581$. Formons l'équation dill'érentielle des lignes de courbure. Soient
les équations do la normale dont le pied sur (^S) a pour coor-
données ,r, y, z ; soient
X — œ — dx -\~ {)) -f- rfjj) (Z — z — dz) = o ) Y — y — dij 4~ (^ "h ^9) (Z — ^ — ^^) =0 1
les équations de la normale au point infiniment voisin. Pour que ces deux droites se rencontrent, aux infiniment petits du second ordre près, il faut et il suffit que
dœ -j- pdz dy 4- qdz ,^^.
Cette équation, développée après qu'on a remplacé dp^ dq^ dz par leurs valeurs en fonction de dx et de dy^ s'écrit
[(1 + ly") s — pqr] dx^ + [(i + p2) ^ — (1 + p'') r] dxdy
+ [pqt — (1 + q^) s] dy^ = 0. (31)
L'équation (30) ou l'équation (31) donnent la solution du problème. Elles définissent les deux directions du plan tangent, suivant lesquelles il faut se déplacer pour obtenir des normalies développables. L'identité de cette équation et de l'équation (26) nous montre que :
Les lignes de courbure se coupent à angle droit ; elles sont tangentes aux sections princijicde s. En d'autres termes, elles forment sur la surface un réseau conjugué orthogonal, et c'est évidemment le seul.
La démonstration directe de ce théorème est d'ailleurs des plus simples ; il suffit de prendre les axes particuliers qui nous ont déjà servi, savoir la normale au point M pour axe des z et les axes de l'indicatrice pour axes des x el des y. On a alors à l'origine
el l'équation (31) devient
(/ — r) d.rdy ^= o, ce qui donne bio]i pour directions des tangentes aux lignes
de courbure
dx = 0, di/ = o,
c'est-à-dire les deux axes de coordonnées.
