Soit le produit

y ^::z UV

de deux fonctions de la variable x.

On a successivement

A?/ = (u -j- Am) (y -\- Au) — uv = wAy -j- wAm -{- Am Au

A?/ Au , Ai« , ^.u Au ^

-^=M— +u — -f— — Aa; Ao; Aa? Aa; Aa? Aa7

d'où, en passant à la limite pour ^x=^o,

y z= uv' -\~ VU . (11)

Donc : la dérivée d'un produit de deux facteurs s'obtient en midtipliant chaque facteur par la dérivée de Vautre et ajoutant.

La formule précédente peut s'écrire

Lorsque — est positif, ce rapport est égal à la dérivée de

\o^u\ on convient d'après cela de nommer, dans tous les cas, dérivée logarithmique d'une fonction u le rapport de la dérivée de la fonction à cette fonction elle-mC'Uie.

La formule (12) s'énonce alors : La dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarit!;miques des facteurs.

Outre sa simplicité, cet én:^n3.; oifr^ l'avautage de s'appliquer sans modification au cas d'un iiombro quelconque de facteurs., En effet, soit

y = iio.ot.

CALCUL IXFIMTÉSIMAL. 4

On a successivement

y ^ U [VWt] ~ M "' U "*" [loi] ~" M "^ U ■ 10 t

Dérivée d'une puissance

55. Le cas précédent contient celui d'une puissance // = ?<" dont l'exposant est entier et positif. On a alors

d'où

y' = mu"^~^u\

formule déjà trouvée (n" 49).

Cette formule s'étend au cas oii l'exposant m est quelconque, u étant alors supposé positif. On a, en effet, dans cette hypothèse (n°25),

d'oii l'on déduit, par le théorème des fonctions de fonctions

mu' mu' ,„ , ,

y' = e'"io?". =: u'". = mu"^-^u

Par exemple, pour m = -i on a

y ~ u2 — sju, y' =-u ^ u' —

Donc : la dérivée d'un radical du second degré s'obtient en divisant la dérivée de la quantité sous le radical par le double du radical.

Dérivée d'un quotient