Exemple

1° Soit y= arc sinr la fonction inverse de x = siny. Quelle que soit celle des déterminations de y que l'on considère (n° 24), on aura , d'après la règle précédente,

cosy ^i — Bin-y v'i — ^'^

le radical devant être pris avec le signe de cosy; par exemple, il aura le signe +, s'il s'agit de l'arc y, compris

entre — ^^ et ^ dont Je sinus est ^. Pour toute autre déter-

mination y r= kr. + ( — 1 )'' /y,, on aura y' = ( — l)'-- y\-^

2° Soit y = cv^ dont la fonction inverse est x = r^^-^' ■^ loga

On aura

?/' = — == y log'rt = a* log'a

ylog-a

Il importe d'ailleurs de savoir trouver cette dérivée directement. C'est la limite du rapport

Aa? Aa;

lorsque A.r tend vers zéro. Or, si l'on pose

a^^ = l -\- a, le second facteur devient

aloo-« lop;' a

il a donc pour limite log«, lorsque Ix et par suite y. tendent vers zéro, vu que son dénominateur a pour limite l'unité.

En particulier e'' a pour dérivée ^'.

Le produit Ae'' de e'^ par un facteur constant A est d'ailleurs la seule fonction de x qui se reproduise par la dérivation. En effet, soit y une fonction de x telle qu'on ait

y =: y ou 1 r= 1.

Les deux membres de cette dernière égalité sont respectivement les dérivées de log y et de x ; et, comme deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent différer que par une constante c, on aura

log-2/ = a;-f c d'où

y z= e^+^ = e". e* = ke^

Dérivée d'un produit