Soit le déterminant
dont les éléments ti, r, iv^ z sont des fonctions d'une môme variable x. Le déterminant considéré ici est du second ordre^ mais le raisonnement et la conclusion s'appliquent à un déterminant d'ordre quelconque.
On a
u -j- A^^, V -f- Au
F {x -|- ^x) ou, en vertu d'une propriété élémentaire des déterminants,
F (a? + \x) = et par suite
u, Ay 10, As-
Aif, Ay A?6% A^
¥ {x-{- ^x)—¥{x) Ao;
Au
Ay u, —
Aa;
' Ax
ic, —
t^ii Ay
Aa; Ao?
A2y As-
A.ii7 Aa;
Lorsque A a: tend vers zéro, les deux premiers termes du second membre tendent respectivement vers
to\ z
IV, z'
tandis que le troisième terme tend vers zéro, puisqu'il est le produit de deux facteurs dont l'un a une limite
finie
,' , et dont l'autre tend vers zéro.
(') Nous supposons connue du lecteur la théorie élémentaire des déterminants qui se trouve aujourd'hui dans tous les Traités d'algèbre.
On a dori^ finalement :
^ ' \io,z\
d'où cette règle
La dérivée (Vun déterminant est égale à la somme des déterminants que Von obtient en remplaçant successivement chaque ligne verticale [ou horizontale) par une autre formée avec les dérivées des termes de cette même ligne.
Déi'ivées des ïoiictioiis circulaires
r>8. Nous savons déjà que la dérivée de sin x est cos x.
La dérivée de cos x s'obtiendrait par un calcul analogue. Mais le théorème des fonctions de fonction la donne immédiatement. On a, en effet :
Sa dérivée es^ donc égale à cos (^ — x\ multiplié par la
dérivée de ^ — x qui est — 1.
On a donc
(cos a?)' =
— sin a;.
Les dérivées de
siiic;*?
^ cos a;
séc X -
~ cosx
s'obtiennent par la règle de dérivation d'un quotient. On a ainsi :
,, , cos;'<;.-cosa7 — smx { — sin a;) sin-'a; + cos^a? 1
COS- a? cos* a; cos^a?
' — sin x) sin x
isécx)' = —
ces- a; cos'^a;
On en déduit, à l'aide du théorème des fonctions de fonction,
(cotg.;)' = [tg (^ - 0.)] ^ ./ .
cos-(- — icj
sui- a?
cos a;
(cosécir)'
cosM^ — a;j
sin^o;
59. Quant aux dérivées des fonctions circulaires inverses, on les obtient par la règle de différentiation des fonctions inverses. C'est ainsi que nous avons trouvé (n" 65) pour la dérivée de y = arc sin x.
le radical devant avoir le signe de cos y.
Soit y = arc cos x^ on a d'abord x = cos y, puis en différentiant par rapport h x et ayant égard au théorème des fonctions de fonction
i = — s'my, y\ d'où
sin y \/[ — x-
le radical devant être pris avec le signe de sin y. Soit encore y == arc tg x ; on aura successivement
a? = tgv, 1= T" 2/ '
^ ^ ' ces"'' y
d'où
y z= ces- V = -; — ; ;•
On trouve de même : pour y = arc cotg x,
et pour y = arc séc a?,
le radical devant être pris avec le signe de tg y. Enfin pour y = arc coséc x^ on a
oc \x
le radical devant être pris avec le signe de cotg y.
Il est à remarquer que, comme logx^ les fonctions circulaires inverses ont des dérivées algébriques.
Expression de l'accroissement d'une fonction de plusieurs a ariables
60. Le théorème des fonctions de fonction, les règles relatives à la dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, ne sont que des cas particuliers de la règle de dérivation des fonctions composées. Mais, avant d'exposer cette règle, il convient d'étendre à une fonction de plusieurs variables la formule fondamentale (3) du n° 6.
A cet effet, une définition nouvelle est nécessaire.
Soit u = / (-^'î y-, -•) une fonction de plusieurs variables X, y/, :;. On peut prendre la dérivée de u en considérant x comme seule variable et traitant y et z comme des constantes. On donne alors à l'expression ainsi obtenue le nom de dérivée partielfe de a par rapport à ./; et on la désigne par
fx (•^, y, ^)-
Il y a de même une dérivée partielle par rapport à y, et une dérivée partielle par rapport à r ; on les désigne respectivement par f\j (./■, y, z) et/', (./•, //, z).
Par exemple, soit
On a
a = 2Aoc 4- 2D2/, r^j = SBy + ^Dx, fl = 2C 3-.
Désormais, quand nous parlerons d'une fonction de plusieurs variables, il sera toujours sous-entendu que cette fonction est bien définie et continue, et qu'elle admet des dérivées partielles continues au moins dans un certain champ. Nos raisonnements ne s'étendront qu'à un champ assez restreint pour que ces conditions soient remplies.
61. Cela posé, voici la formule que nous avons en vue : Si Von désigne respectivement jjar Aj:, Ay, A^, les accroissements donnés ci plusieurs variables x^ y, z^ et par Am V accroissement correspondant d'un fonction u = f {x^ y^ z^) de ces variables^ on a :
Aw = /% {oc, y, z) ^x -\- t'y {.V, y, z) ^y-]rf-l (^, 2/, -) ^^ f^^x -f aAa; + pAy -j- yA^, ^ '
OÙ a, [3, Y, désignent des quantités qui tendent vers zéro en même temps que AoC, Ay, Lz.
En effet, on a
Am = /- (a; -j- Aa^, y + Ay, z -\- t^z)—f {x, y, z) ou
^u =z[f[x -\- ^x, y-\- Ay,z -\- ^z) —f {x, 2/ + At/, ;3- + ^z)] -)- [r («'•, y+^y,z + Lz) — f [x, y,z-{- ^z)]
+ If {^^ y. 2- + A^) — /• {x, y, z)],
et, en appliquant à chaque crochet le théorème des accroissements finis (n° 36),
Am = Aa? f^ [x -j- 6Aâî, y -j- A^/, z -\~ A^) + A?/ fl, {x, y -f l^y, z + A^) + ^2- /•,' [x, y, z -{- p.A^),
où 6, X, p. désignent des nombres compris entre 0 et 1.
Posons actuellement
f'x [x 4- 6^^, y + A^, ^ + ^^) — f!c {oo, y,z)—% t'y [x, y + ^^y, ^ + A^) — /; (^, ?/, 3-) = p,
a, |3, Y tendront vers zéro en même temps que A^, Ay, Ar-. Il suffit dès lors d'ajouter ces égalités, après les avoir respectivement multipliées par Ax, Ay, A:^, pour obtenir la formule (12).
Dérivée d'une îoiictioii composée
62. Il est aisé maintenant de trouver la dérivée d'une fonction composée
h) =z f (m, y, lo)^
c'est-à-dire d'une fonction de plusieurs variables w, v^ iv, qui sont à leur tour des fonctions d'une même variable indépendante X.
Lorsque x prend l'accroissement Aj:, les fonctions composantes n, V, w prennent respectivement les accroissements Au, Af , Aïo, et l'accroissement correspondant Aw de la fonction composée est, d'après le numéro précédent, donné par la formule
Ao) = fl [u, V, w) ÙlU -\- fl (m, 0, lo) Au -j- f,[, [u, V, tv) t^io -)- aAw -\- pAy -)- yAzy,
OÙ a, [3, Y, désignent des quantités qui tendent vers zéro lorsqu'on fait tendre vers zéro A^ et, par suite, A?/, Ai;, Aw. Nous supposons d'ailleurs, il est presque superflu de le répéter, que la fonction o) admette des dérivées partielles continues et que u, r, to admettent des dérivées ordinaires u\ v\ 10 déterminées. Alors, si on divise les deux membres
de la relation précédente par Ax, on a
, Am Au A?y
Aa? "^ Aa; ' Aa?
d'où, à la limite, lorsque A^ tend vers zéro,
^' = f/^M' + f;.v' + rw-io' (13)
Donc : la dérivée d'tme fonction composée est égale ci la somme des jwoduits obtenus en tnultipliant ses dérivées partielles par rapport aux fonctions composantes par les dérivées de ces composantes. Tel esl le théorème des fonctions composées.
