Examinons quelques cas particuliers

1° Soit iù = ku -\- By + Cio, A, B, G étant des constantes. Les dérivées partielles de oj par rapport à ?/, v, iv sont respectivement A, B, G ; on a donc

o/ = Au' + Bv' 4- C?w' ;

c'est le théorème sur la dérivée d'une somme. 2° Soit

(0 = iivio ;

les dérivées partielles de w par rapport à u, v, w sont respectivement viL\ uw, uv ; on a donc

oj' = v?ou' -f- uw.v' -j- uviu , ou

iû' __ u' | £.' I ^^' .

(jù u V 'W

c'est le théorème relatif à la dérivée d'un produit

u 3° Soit 0) =- :=uv~^\ les dérivées partielles de w par rapport

h u eih. V sont respectivement - et — uv^: on a donc ^ V

u , , vu — uv

0J= UVV-- =

c'est le théorème relatif à la dérivée d'un quotient;

4° Dans le cas où il n'y a qatme fonction composante, c'est-à-dire lorsqu'on a

u étant une fonction de x, la formule (13) se réduit à

w' = /' [u).u' ; c'est le théorème des fonctions de fonction.

Usage ilu théorème des fonctions composées

64. Le théorème des fonctions composées permet de ramener le calcul de la dérivée de toute fonction explicite d'une seule variable indépendante au calcul des dérivées des fonctions simples. Voici comment:

Toute fonction explicite oj de la variable indépendante x résulte d'un nombre limité d'opérations effectuées successivement sur cette variable. S'il n'y a qu'une opération, on est en présence d'une fonction élémentaire; on peut donc trouver sa dérivée. S'il y a plusieurs opérations, la dernière devra être effectuée sur une ou plusieurs fonctions ii, t\ to... déjà formées, et l'on aura:

OJ =/ {u, V, 10, ...)

Le théorème des fonctions composées ramènera alors la dérivation de m à celle des fonctions w, r, u\... et à celle

des fonctions qui résultent de /(m, v, iv,...) quand on y regarde tour à tour toutes les fonctions composantes sauf une comme des constantes. Si les fonctions i/, i\ îl\... ne résultent pas d'une seule opération effectuée su la variable x, on traitera chacune d'elles comme nous venons de l'indiquer pour w, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on tombe sur des fonctions élémentaires.

65. Quelques exercices sont indispensables pour apprendre à calculer les dérivées avec rapidité et sans hésitation. Aussi croyons-nous devoir traiter un certain nombre d'exemples :

1° Soit y = ?/", u el V étant deux fonctions de œ dont la première est supposée positive ; on a

log ?/ = V log t<, d'oîi

et enfin

y' =u^-^ [vil -f- iw' logif).

L'application du théorème des fonctions composées conduirait au même résultat. En effet, les dérivées partielles de II" par rapport à u et à v étant respectivement viC'^ et tC log u^ on a

y' ^ vu^-^â' -\- u^logu.v'.

Dans le cas particulier oii u = v = jc, on a:

2° Soit On a

2/ = log" 2 + "^ "^ ^^ + ^^ + "^'M'

\ ^-\- ce -[- si a -\~ bx -\- oo'^ \ 1 + \^ I 1 , 1 o , |2 ' I V I I j 2 Va -{- bx 4- oc

— T ^ZZIZZIZIZZ" ^^ J) '

- + x-\-\]a-{- bx^ x"^ ^^x-{-^a-{-bx-{-c^

LES RÈGLES DE DÉRIVATION 6t

d'où

sja ^ bx -\- ex 3' Soit

On a

y = arctg[y^|^tg|].

ou, réductions faites,

1 s/a' — b-^ ^ a -\- b Gos X

LA DlFFEREiNTIELLE

Définition

66. A la notion de la dérivée se rattache immédiatement celle de la différentielle, dont la conception est due à Leibnitz. Reprenons la relation fondamentale

Ay = y !\x -{- eAa; (1)

de la page 8. C'est à la première partie y'Ajc du second membre qu'on donne le nom de différentielle. x\insi, par définition, la différentielle d'une fonction ij = f [x) est le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement arbitraire de la variable indépendante x.

On représente cette différentielle par la lettre d que l'on place devant le symbole qui désigne la fonction. On a donc

dy ■=. y h.x ou df [oc] = f {oc) i^x.

Cette définition, appliquée au cas oii la fonction f {x) se réduit à la variable indépendante elle-même, donne

dcc = àx, (2)

puisque la dérivée de x est égale à l'unité. On peut donc

écrire

d'où l'on déduit

dy = y'dx^ (3)

Ainsi, en résumé :

La différentielle de la variable indépendante n'est autre que r accroissement arbitraire de cette variable.

La différentielle d'une fonction est le produit de la dérivée de la fonction par la différentielle de la variable indépendante.

La dérivée d'une fonction est égale au quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable indépendante .

Ajoutons encore, d'après la formule (1), que,.?/ Von suppose l'accroissement \x de la variable infiniment petit., et si, pour la valeur de x considérée la fonction a une dérivée déterminée et différente de zéro., la différentielle dy de la fonction est la valeur principale y' Lx de V accroissement infiniment petit Ay de cette fonction.

Interprétation géométrifjue de la différentielle

67. La différentielle dy est susceptible d'une interprétation géométrique fort simple.

Soit G la courbe qui a pour abscisses les valeurs de la variable indépendante x et pour ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction y = f [x). Désignons respectivement par I et N les points où l'ordonnée P'M' voisine de PM rencontre la tangente MT au point M [x, y) et la parallèle à OX menée par M. On a d'abord

doj = FF' = MN, puis