CP
^x^ ^x^y dy'^^
elles donneront donc sans difficulté les expressions de ces dérivées partielles en fonction des dérivées partielles de z par rapport à ^^ et à i'.
On continuerait de mâme pour les dérivées du troisième ordre, ..., etc.
'108. Nous avons supposé qu'il n'y avait que deux variables
indépendantes; mais le procédé s'applique évidemment au cas
où le nombre ;i des variables indépendantes est quelconque;
les formules de transformation doivent alors être au nombre
de n.
1 09. Remarquons encore que la méthode resterait la même si la fonction;; figurait dans les formules de transformation qui seraient de la forme
cp/a7, y, u, V, s) = o, cp2(a;, y, u, v, z) = o;
il faudrait alors ajouter respectivement dans les relations (23) les termes
cz cz
e t dans les relations (24) les termes qui proviennent de la différentiation de ceux-là.
1 lO. Exemple. — On demande ceque deviennentles expressions
lorsqu'au lieu de x et y on prend pour variables indépendantes les quantités p et 6 liées aux premières par les formules
i»=f;,cos6, ?/ = psiu9. (29)
La différentiation de ces deux relations donne
dx = cZp. CCS 6 — p sin6o?6 | „,
dy = dp. sinô -(- p cos6<i6 (
que l'on peut écrire, en résolvant par rapport à r/p et dO,
•dû = ces ()dx -\- sin (idy db = — - sin 0 dx 4- - ces Ôrfy.
En substituant ces valeurs dans l'égalité
^-- dœ -\- r- c/y = r- ap 4- r— a i , on obtient l'identité
— — cosO— 4— sin6— - \dx + \ — — sniô:;-— -cos6- \dy=o, [Jx dp ' p d(}J [yy op p ci6J
d'où l'on tire, en annulant les coefficients de dx et de dij,
'^Z , ^5 l . ^ ^z ] — = cos Or sin 0 -^-r j
- = sin 0 -r- + - cos f) — ,
On déduit de là immédiatement, pour la transformée de l'expression V,
/^^\2 i /dz\^
Pour transformer l'expression Vj il faut calculer les déri-
vees du second ordre — -,' ; — ;•
A cet effet on difîérentiera les relations (30) ou (ce qui est équivalent et plus simple) les relations (31) en laissant, bien entendu, dx et di/ constants. On trouve ainsi immédiatement les valeurs
dy — pdO-, d-d = — — ^-- 5
qui portées, en même temps que les valeurs (31), dans l'égalité
donnent l'identité
^ 2P'-^ '>J''^ , sin^/:)2^ i^z\ . ,./l l>^z . 1 ?j\
^ -^ [?y^ 2)p^ p X^p^H oMj Vp2:)fj2 I p î)py
-\~ dx dy\ =: 0.
En égalant à zéro séparément les coefficients de dx''-^ dyet de dxdy ^ on a trois équations qui donnent respectivement
les valeurs des trois dérivées partielles—^,' —^5 — ^•
Les deux premières nous importent seules puisque -— -
ne figure pas dans l'expression V^ ; c'est pourquoi nous n'avons pas calculé le coefficient de dxdy dans l'identité cidessus. Pour avoir Vj, il suffit d'ajouter les deux relations que l'on obtient en égalant à zéro les coefficients de dx"- et de f/y2^ ce qui donne finalement
' Dp2 ^ p2 DÔ2 ^ p ^p
1 1 1. Par un calcul semblable, mais un peu plus long, on trouverait que les expressions
deviennent respectivement
et
c>2 + p2 ^^ + p2 gin2,j, :^o2 H" p :>p + p2 :>,|,'
lorsqu'on pose
rx; = p siri']/ cosO, y = p sint]> sinO, 2- r= p cos']/,
c'est-à-dire lorsqu'aux variables indépendantes .r, y, 2 (coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace) on substitue les variables p, oj, 9 (coordonnées polaires du même point).
Les expressions (33) et (34) jouent un rôle important en analyse : on leur donne, d'après Lamé, les noms de paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction H.
Ces paramètres jouissent de cette propriété remarquable que leur forme n^est pas altérée par une substitution orthogonale ; en d'autres termes, les expressions (33) et (34) deviennent respectivement
lorsqu'au lieu de x^ y, z on prend pour variables indépendantes trois autres variables u^ v, w liées aux premières par les formules
X = au -\- bv -{- cic \
y =: au -)- b'v -\- c'io \ (39)
z = a"u -f b"v -f c"îo )
dans lesquelles a, b, c, a\ b\ c\ a", b\ c" désignent des constantes choisies de telle sorte que l'on ait identiquement
^2 | ^2 ^ ^2 „2 J^v^ -^ iV^, (40)
condition qui entraine évidemment les relations
a, + «'2 + a'^^ = l, b-'-^b'-' + b"^ = i, c'^ + c'2+c"2=l ,^^, alj^a'b'-]-a"b" = o, bc-\-yc'-i-b"c" = o, ca-\~ca'-\-c"a"=o.^ '
Pour démontrer cette propriété des paramètres différentiels, il suffit d'appliquer la théorie du changement des variables indépendantes (n° 124).
A cet effet, mettez d'abord les formules de transforma-
CHANGEMEiNT DE VARIABLES
tion (39) sous la forme
u =: ax -{- a'y -(- a"z V = bx -{- b'y -f- b"z 10 ^ ex -\- c'y -\- c"z ;
il suffit pour cela d'ajouter les équations (39) multipliées respectivement d'abord par «, 6, c, puis par «', b\ c\ enfin par «", h\ c'\ et détenir compte des conditions (41).
Cela fait, différentions une première fois les relations (42), ce qui donne pour dii^ di\ div les valeurs
du = adx -{- ddy -\- d'dz dv ■■= bdx -\- b'dy -f- h"dz dio = cdx -{- c'dy -f- c"dz^
qui, portées dans
-^- du + r— au + T~ "^^'' du ov ' ÙIO
donnent l'identité
dx -\-dy + dz
<)jj ^u ^v
^z ^u ov ow
et, par suite,
Mi
En faisant la somme des carrés et tenant compte des rela-
tions (41), on trouve pour le paramètre différentiel du premier ordre la valeur (37).
Actuellement, différentions les relations (43) en considérant dx^ dy ^ dz comme constants; on obtient ainsi
dr-U-^^Q^ (i^u := 0, d^îO=0,
en sorte que, dans la relation
+ 2 3^ ^^^y + 2 — dydz-{- ^^ dzdx
= T-T- du^- 4- -T-^ dv''' 4- ^—^ dio^ 45)
