Soit

une expression contenant deux variables indépendantes x et y, une fonction z de ces variables et les dérivées partielles des divers ordres de cette fonction. On demande ce que devient l'expression V lorsque^ aux variables indépendantes X et y^ on en substitue deux autres u et v liées aux pjremières par deux relations données

^«(^7 Vi Wj ^) — O7 ?2 (■», y^ ", î-') — o- (21^

Ces deux formules de transformation donnant j: et y en fonction de u et de ^', il ne s'agit en somme que d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport à ^ et à y en fonction des dérivées partielles de z par rapport à u et à v.

Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre

Considérons à cet effet les égalités

dz = ^ dx -\- ;r d'I

'^z 'dz

dz ^ — du -\- ^ dv

et les relations

hlda^^hl,iy.^^lidu-]-^-^dv

:^x ' ?iî/ -^ ' i)u ' ^v

V^ dx -\- - -I- -^ dv

dx OV

que l'on obtient en différentiant totalement les formules de transformation (21). En éliminant dz^ du et de entre les quatre relations (22) et (23), on tombera sur une égalité

Adx -\-Bd(/ = o, (24)

dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à dx etd/j et qui devra être une identité, puisque les variables x et fj sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A ^ o, B = o, qui, étant linéaires

par rapport à-^' — ^' donneront sans difficulté les expressions

de ces dérivées en fonction de — et — •

du dv

Pour trouver les dérivées du second ordre

CALCUL IXFIMTËSIMAL. 8

on différentiera totalement chacune des relations (23) en considérant dans cette opération dx et cly comme constants. Entre les deux relations ainsi obtenues

+ 2 V4^ c/£cc?y + 2 ^4^ 6/^rfM + 2 ^ £/a;t/z; + 2 ^-|^ dydu f

+ 2 ^ rfyrf/; + 2 ;-î^ c/i^c/y 4- ^ d^u J^'^dH = o ôyôv ôuôv ' du ^y

et les égalités

cu^ ouov cv^ I ^ '

on éliminera r/-5, c/'w, d'v^ et l'on remplacera en outre diiQÏ dv par leurs valeurs tirées des équations (23). On tombera de la sorte sur une égalité

ï^dx^ -f- ^Sdxdy -\- Qdi/'^ =^ o

homogène et du second degré par rapport à dx et à d?j, et qui, devant être identique, équivaudra aux trois équations P = o,S= o, Q =0; ces équations sont d'ailleurs linéaires par rapport à