On demande ce que devient l'expression

lorsque^ aux [variables indépendantes x et y et à la fonction z, on substitue deux nouvelles variables indépendantes Il et V et une nouvelle fonction iv, étant données trois relations

cp^ {x, y, z, M, u, lo) = 0, cp2 {œ, y, z, u, y, lo) = o, ,^j^,. ?3(^' y, ^> ^1 ^, ^^") = 0

entre les trois nouvelles variables w, ^', iv, et les variables primitives x^ y^ z.

La marche à suivre est analogue à celle du cas précédent.

Pour que le lecteur saisisse mieux la ressemblance et la différence, nous conserverons autant que possible la rédaction du n° 107, en n'y introduisant que les modifications nécessaires et donnant aux équations correspondantes les mômes numéros accentués.

Les formules de transformations (21') donnant x, y, z^ en

fonction de u, v^ w, il ne s'agit, en somme, que d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport à x et y en fonction des dérivées partielles de iv par rapport à w et à v.

Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre

Considérons, à cet effet, les égaillés

dw="^clu^^-^ dv (22")

eu ôV ^ '

et les relations

hldx ^'^■^dy +^ dz-\-^-^ du +^ dv + ^ dœ =

ex \

que l'on obtient en différentiant totalement les formules de transformation (21'). En éliminant dz^ clw^ du^ dv entre les cinq relations ^22'), (22") et (23), on tombera sur une égalité

Mx + Bdy (24')

dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à clx et dy et qui devra être une identité puisque les variables x et y sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A = o, B =o, qui, étant linéaires

par rapport à -^' —-5 donneront sans difficulté les expressions ux dy

de ces dérivées en fonction de — - et de-— •

Pour trouver les dérivées du second ordre — ^.,' ---» -^j

dx' dxdy ciy-

on différentiera totalement chacune des relations (23') en

considérant dans cette opération dx qX r/y comme constants. Entre les trois relations ainsi obtenues

ôx- 01/^ dz^ ôu^ cv-

+ ^ £^^6-2 + 2 '-^ dxdy + 2 ^ c^:»c/^ + 2 i^ c?£cc^i< ^2 "^2 "^■^ ^2

(25') + 2 ^ dydv + 2 f^^ c?i/c^h^ + 2 ^ c^wc^t^ + 2 '-^ rf^c^?

dvOlO 1>Z OU OV CîC

et les égalités

dho = ^ c^i^2 I 2 ^ c;« c/y + ^ rf«;2 (26')

on éliminera d-z, d'u, d'v, dhv, et l'on remplacera, en outre, dîv, du, dv^ dz par leurs valeurs tirées des équations (22") et (23'). On tombera de la sorte sur une égalité

Tdx'- + ^Sdxdy + ildy'- = o,

homogène et du second degré par rapport à dx et à d// et qui, devant être une identité, équivaudra aux trois équations

Ces équations sont d'ailleurs linéaires par rapport à

elles donneront donc sans difficulté les expressions de ces dérivées partielles en fonction des dérivées partielles de iv par rapport à u et à v.

On continuerait de même pour les dérivées d'ordre supé- ,; rieur au second.

1 13. Exemple. — Que devient l'expression

lorsqu'aux variables indépendantes .x et y et à la fonction z on substitue les variables indépendantes u et v et la fonction lo définies par les relations

u = ax^ V = by^ 10 = ax -j- hy -)- cz^ (48)

«, ô, c étant des constantes données?

On a

du ■=. adx^ dv = bdy^

dio = adx -f- bdy -[- cdz = la-\-c'^—]dx-\- (b-\-c'':r- \dy^ et, par suite, la relation

dw = <—■ du 4- ■:— dv

ou 00

devient

ia~\-c'':^\dx-{'ib-\-c^\dy=:a — dx-\~b''—dy\

cette équation se décompose dans les deux suivantes

'dz '^w ^ . 'bz . 'dw ,..„,

ox ou oy ov

Différentions totalement la première, il viendra

,LlZ ,'dlO

C a— = a d' — > ox ou

c'est-à-dire

équation qui se décompose dans les deux suivantes

ox^ ôu^ oxoy ôuôv

On trouverait de même en partant de la seconde équation (50)

On a donc pour la transformée de l'expression (47) Autre méthode

114. La solution que nous venons de donner, pour les questions relatives aux changements de variables, est fondée sur la considération des difîérentielles totales. C'est en général la meilleure marche à suivre. Il est cependant avantageux parfois d'employer un autre procédé fondé sur la considération des dérivées partielles et qui, vu l'importance pratique des problèmes en question, ne doit pas être passée sous silence. Nous allons expliquer brièvement cette autre méthode en nous bornant au cas général oii l'on change à la fois les variables indépendantes et la fonction ; nous conserverons d'ailleurs les notations du n" 112.

^, étant une fonction de x et de // qui dépendent ellesmêmes de u et de i\ est une fonction composée de ces nouvelles variables ; on a donc, d'après la règle de dérivation

des fonctions composées,

Dz i^z L*x ^z 7)y ^v i)rr t)r ^y l'v

On en déduit ensuite, en différentiant successivement par rapport à ti et à v et observant que — et -^ dépendent de jc et de y qui sont à leur tour des fonctions de ii et de v.

Les équations (A) et (B) sont linéaires par rapport aux inconnues

elles donneront ces quantités lorsqu'on y aura remplacé

yy

yy

yx

yy

par leurs valeurs en fonction de

'dlO

:^ia

yho

:>ha

r-to

'du

dv'

dlldv

valeurs que l'on tire des équations obtenues en différentiant successivement par rapport h u eihv les équations de transformation (21), et allant jusqu'aux dérivées du second ordre inclusivement, c'est-à-dire jusqu'aux dérivées de même ordre que les dérivées les plus hautes qui figurent dans l'expression (20').

Appliquons cette méthode à l'exemple du n° 113.

Les formules de transformation sont ici

elles donnent, par différentiation,

du 1

v~ — ■ ~' ôv a

yix diidv ~ °'

En portant ces valeurs dans (A) et (B), on obtient immédiatement les valeurs

du

dz du

1 /dio

c \du

dl/ 1

dv "~ b'

dz dv

c \dv

dh/

du^ - ^'

, d^z du""

1 dho

C dll^

d-'y dudv ~ °'

dudv

1 dho

C dudv

dv' = "'

. d'-z dv'

id-w

~ c dv^

dz a fdlO \

dz b /dw

dv c \du )

dy c\dv

ab dho d'-z

b^ dho

dx'^ C du'' ' dxdy

c dudv dl/^'

c dv'

d'oii résulte, pour la transformée de l'expression (47), la valeur déjà trouvée au numéro précédent.

Traiisforinatioii de Legendre

115. Nous terminerons ce chapitre par quelques mots sur une transformation due à Legendre; cette transformation, qui trouve son emploi dans le calcul intégral, va d'ailleurs nous offrir une nouvelle application des principes précédents.

Désignons, suivant un usage reçu, respectivement, par

les dérivées partielles

d'une fonction ;: de deux variables indépendantes x et y.

La transformation de Legendre consiste à prendre pour nouvelles variables indépendantes ^j et q et pour nouvelle fonction

10 = px ■\~ qy — z. (52)

Il s'agit de calculer les dérivées r, s^ t, en fonction des dérivées

'bw 7>io ^^10 b^w y^'io 2p 'dq Sp'-^ ^pbq 'èq^

Or on a

et

dz = pdx -f- qdy (54)

dp = 7'dx -j- sdy (55)

dq = sdx -]- tdy'j (56)

dîv = xdp -j- ydq -\- pdx -\- qdy qui, à cause de (5t), se réduit à

dio = xdp -j- ydq ;

on voit par là que

dp i)q ^ '

D'ailleurs, en résolvant (55) et (56) par rapport à dx et dy^ on a

ce qui donne

7}p ri — s^ ^q Tip rt — s^ 2q rt — ou, en vertu de (57),

'b^xo t ^^10 S Ti'^w r

t)/)2 ri — s^ itp^q rt — s^ ^q^ ri — «^ '

on en déduit

'bho ^ /^2^\2 1

t)p^ 'èq'^ \^pi>q) ' rt — s^ et enfin,

7>p^ 'dp^q c>q'^ Tip^ 7)q^ yTip^qJ

Définitions

1 16. On donne le nom de série à toute suite illimitée de quantités se succédant suivant une loi déterminée, mais d'ailleurs quelconque.

Une série

W), Mgi ••'■> '^111

est dite convergente lorsque la somme

de ses n premiers termes tend vers une limite déterminée, et par conséquent finie , à mesure que le nombre n croît indéfiniment. Cette limite S est dite la somme de la série, et l'expression S — S,„ que l'on désigne habituellement par R„, reçoit le nom de 7'este.

On appelle séine divergente toute série qui n'est pas convergente.

117. Comme premier exemple de série, nous citerons la progression géométrique

(2, aq, acf^ ..., aq" , ... (1)

Elle est convergente lorsque la raison q est, en valeur

absolue, inférieure à l'unité ; car la formule connue

montre que, dans cette hypothèse, S,j a pour limite

puisque ç-" tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Dans tout autre cas, la progression est une série divergente. En effet, si q est, en valeur absolue, supérieur à 1, la formule (2) montre que S„ croît indéfiniment avec n. Il en est de même pour ^ = -]- 1, car tous les termes de la série sont alors égaux à «, et l'on a S„ =: an. Enfin pour q = — 1 la série devient

et S„, étant égal à zéro ou à a suivant que ii est pair ou impair, n'a pas de limite déterminée; il y a donc encore divergence.