Comme second exemple, nous considérerons la série

à laquelle on donne le nom de série harmonique.

En groupant les termes, à partir du troisième, de la manière suivante :

ou voit que chaque groupe a une valeur plus grande que -y Donc, quand n croit indéfiniment, S„, renfermant la quan-

tité - autant de fois qu'on veut, finit par surpasser toute limite ; la série harmonique est donc divergente.

119. Pour qiiune seine soit convergente, il faut que le terme général u,^ tende vers zéro lorsque n croit indéfiniment.

En effet, S étant la somme d'une série convergente, S„ et S„-|-i ont l'une et l'autre pour limite S, et par suite leur différence, c'est-à-dire u,,, a pour limite zéro.

Mais la condition n'est pcLs suffisante., témoin la série harmonique (2) qui est divergente (n° 118), bien que son

terme général - tende vers zéro quand n croit indéfiniment .

Caractère cjéiiéral de convergence

120. Pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute valeur entière et positive de p, la différence S„-j-p — S,j tende vers zéro quand n croît indéfiniment.

i° La condition est nécessaire; car, si S désigne la somme d'une série convergente, S„ et S„-j p ont l'une et l'autre pour limite S lorsque n croît indéfiniment, et par suite leur différence a pour limite zéro ;

2° La condition est suffisante.

En effet, par hypothèse, à tout nombre s positif et aussi petit qu'on veut répond un nombre entier et positif z; tel que l'on ait, pour toutes les valeurs entières positives de p,

ou

cela revient à dire qu'on a

pour toutes les valeurs de n supérieures à v.

Cela posé, attribuons successivement à s des valeurs sj, S2, £o, ..., indéfiniment décroissantes, et soient t'^, v^, Vo, ..., les valeurs correspondantes de i;.

Désignons en outre par A,, la plus grande des quantités

et par B;, la plus petite des quantités

On aura, d'après (4), pour toutes les valeurs de 7i supérieures

à la fois à v^^ v^-. ..., i'/n

et pour démontrer que S„ a pour ?i infini, une limite déterminée, il suffit de montrer que, lorsque/' croît indéfiniment, A;,, et B/t tendent vers une même limite.

Or, lorsque k augmente. A;, ne décroît pas et reste supérieur à Bj, tandis que B,, ne croît pas et reste supérieur à Aj ; A,, et B;,. ont donc chacun une limite déterminée, et ces deux limites sont égales, puisqu'on a

B/, - A, < (S., + EA-) — (S.,, — £/,) < 2e,,

et que s,, tend vers zéro lorsque k augmente indéfiniment.

121. L'importance de ce théorème, au point de vue théorique, ne doit pas faire illusion sur sa portée pratique ; s'il intervient utilement dans la démonstration de certaines propositions, il est d'un emploi peu commode pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série donnée. Pour atteindre ce dernier but, le procédé le plus fécond consiste, sans contredit, dans la comparaison delà série proposée avec des séries dont on connaît la convergence ou la divergence. De cette comparaison résultent diverses règles dont nous nous bornerons à indiquer les plus usuelles ; d'ailleurs, jus-

qu'au n° 136, il ne sera question que des séries dont tous les termes sont positifs.

Premières notions sur les séries dont tous les tei'ines sont positifs

122. Pour démontrer qu'une série à termes positifs est convergente, il suffit de prouver que la somme S„ des n premiers termes reste, à partir d'une certaine valeur de n, inférieure à un nombre fixe. Car S,,, croissant avec n et restant moindre qu'un nombre fixe, a une limite déterminée.

123. Il résulte de là o^hine série U à termes positifs est convergente si ses termes sont moindres respectivement que ceux d'une autre série U' à termes positifs et convergente. En effet, la somme S„ des n premiers termes de la série U est alors moindre que la somme S„' des n premiers termes de la série U', et, par suite, moindre que la somme S de cette dernière série.

De même, une série U à termes positifs est divergente, si ces termes sont respectivement plus grands que ceux d'une autre série U' à termes positifs et divergents, car S„, croît indéfiniment avec n, puisqu'elle reste supérieure à S,/, qui, par hypothèse, croît au-delà de toute limite.

Voici quelques applications de ces principes.