Le produit de deux infiniment petits
OBJET DE l'analyse INFLNITÉSIMALE 9
dont Fun est d'ordre n, l'autre d'ordre n\ peut s'écrire
!î(5' = M' %'' + "' (1 + -rj),
y; désignant un infiniment petit. Ce produit est donc un infiniment petit d'ordre n-^n , et sa valeur principale est égale au produit des valeurs principales des facteurs.
O. Si deux infiniment petits
i^ = 7ex« (1 + e), [i' = A'7.'^ (1 + e')
sont du même ordre, leur rapport
a une limite -y- déterminée et différente de zéro.
Réciproquement, si le rapport de deux infiniment petits fj et ^3' a une limite /^ déterminée et différente de zéro, les infiniment petits sont du même ordre ; car les relations
dans lesquelles s et $, sont des infiniment petits, donnent
P'==A'^,a'Ml + e)(l + s,),
qui estde la forme /fV (1-1-e'), a' désignant un infiniment petit et k' une quantité Â/i, déterminée et différente de zéro.
Eln particulier, si deux infiniment petits ont la même valeur principale, leur rapport a pour limite l'unité et réciproquement. Il suffit de faire dans la proportion directe qui précède k =//, et, dans la réciproque, /t, :=!.
Quand deux infiniment petits ont la môme valeur principale, on dit, pour abréger le langage, qu'ils sont équiralents.
10 CIIAPIÏRE I
Principes relatifs ù la substitution des infiniment petits
lO. On 11 altère pas la limite du rapport de deux infiniment petits en substituant à chacun d'eux un infiniment petit équivalent.
En d'autres termes, si les infiniment petits y. et a', 3 et fi' satisfont aux conditions
lim — — 1 , Uni ^ =1 , (4)
on aura
lim —, = lim -•
En effet, les conditions (4) peuvent être mises sous la forme
a == a (1 -f s) fi' == P (1 + -o),
£ et •/; désignant des infiniment petits. On en déduit la relation
qui, à la limite, se réduit à (5).
11. On n altère pas la limite d'une somme de quantités positives infiniment petites dont le nombre croU indéfiniment, quand on remplace chacune cVelles par un infiniment petit équivalent.
En d'autres termes, soient «j, a^,... a,„ des infiniment petits positifs dont la somme a une limite tmie s lorsque leur nombre croit indéfiniment. Si i3p t^>i--- {^m désignent d'autres infiniment petits satisfaisant aux conditions
lim^=l, lim^ = l,... lim^=l, (6)
OBJET DE l'analyse liNFLMTÉSIMALE dl
011 aura
lim(p^ +8, + ... p,n) = s, (7)
En effet, on peut donner aux conditions (6) la forme
p, = a^ (1 4- £|), Po = oco (1 + £.,), ... i3„, = a,„ (1 -f £,„),
£i,so... £„j désignant des infiniment petits. On en déduit
La première parenttièse du second membre ayant pour limite s, il suffit de prouver que la seconde parenthèse a pour limite zéro. Or, si Ton désigne par e la plus grande des valeurs absolues de sj, so,... s„„ on voit que la somme
a,e, 4" a^e.» -f- ••• 4" «,„£;„ est inférieure au produit
dont les deux facteurs ont l'un pour limite .y, l'autre pour limite zéro. Cette somme est donc nulle à la limite.
Iti, Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être énoncés de la manière suivante .
Quand on c/ip/'chr la linùfc du rapport de deux infiniment petits ou la limite d'une somme d'infiniment petits pjositifs dont le nombre croît indéfiniment^ on peut^ dans chaque terme du rapport ou de la somme ^ ne conserver que les parties infiniment petites de V ordre le moins élevé.
Par exemple, si l'on propose de trouver la limite du rapport
sin a? -\- 5 sin'*£c -j- 7 sin^a?
tx -(- X- -\- \ix'^
lorsque ur tend vers zéro, on peut remplacer ce rapport
par
sma;
ce qui montre immédiatement que la limite cherchée est -•
Ces propositions sont d'un usage très fréquent, vu (n''i)lamanière dontlesinfiniment petits interviennent dans l'évaluation de grandeurs déterminées. L'avantage considérable qu'elles offrent tient à ce qu'elles permettentde supprimerdansles infiniment petits considérés la partie qui rendrait leur comparaison ou leur sommation difficiles.
Déflnitioii de la foiitimiité
l'3. Une fonction // = f [x] n'est bien déiinie dans un intervalle donné («, h) que si à chaque valeur de j- comprise entre a et b correspond une valeur déterminée dé y et une seule.
Lorsque la relation qui unit // à r laisse à y la faculté de prendre plusieurs valeurs pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle donné, la définition de la fonction, dans cet intervalle, doit être complétée par Tadjonction d'autres conditions propres à lever toute ambiguïté. Nous reviendrons sur ce sujet. Mais il doit être entendu d'ores et déjà que, lorsque nous parlerons d'une fonction, il s'agira toujours d'une fonction bien définie dans un intervalle indiqué.
Observons, en outre, que jusqu'à nouvel ordre il ne sera question que de fonctions réelles de variables réelles.
On dit qu'une fonction / (.r) est continue ]}Our x = c lorsque /' [c + h) a pour limite /' (r) de quelque manière que h (ende vers zéro ; ou, en termes plus précis, on dit qu'une fonction / {x) est continue pour ./• =: c, si, à tout nombre positifs aussi petit qu'on veut, correspond un nombre positif r, tel que l'inégalité
entraîne
Une fonction est dite continue dans un intervalle quand elle est continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle.
Toute fonction non continue est dite discontinue.
