COS X

a pour limite -•

Donc, si X est pris pour infiniment petit principal, sinx et X-^x sont des infiniment petits du premier ordre ayant l'un et l'autre x pour valeur principale, tandis que 1 — cos x est du

second ordre et a pour valeur principale- .i--*

2° La relation bien connue, /' = /cos to entre la longueur / d'un segment rectiligne et la longueur /' de sa projection sur une droite faisant un angle to avec ce segment, donne :

i — r = (' (1 — costo).

La différence / — /' est donc un infiniment petit du second

ordre, lorsque l'angle o) est un infiniment petit du premier o rdre, / étant fini. Elle s'abaisse au troisième ordre si / est, comme o), infiniment petit du premier ordre ;

3° Si l'on désigne par/'(j:) la dérivée d'une fonction /(.i^), on peut écrire, d'après la définition même de la dérivée,

ou

£ tendant vers zéro avec h. Si donc on prend A pour infiniment petit principal et si, pour la valeur considérée de ./•, /' [x) est déterminée et dilîérente de zéro, l'accroissement l' Çjc-\-h) — /(j) de la fonction sera un infiniment petit de premier ordre ayant A /"(r) pour valeur principale. Ainsi, l'accroissement d'une fonction est, en général, un infiniment petit du même ordre que l'accroissement de la variable : il y a exception pour les valeurs de xqui rendent la dérivée nulle ou infinie.

7. Remarquons qu'il existe des infiniment petits n'ayant pas d'ordre déterminé. Par exemple, l'expression

y =: X Slll - ^ X

tend vers zéro en même temps que j-, puisque le facteur sin - reste compris entre — 1 et + 1 ; mais c'est un infini-

mentpetit dont l'ordienepeut être assigné, puisque le rapport l = sin - ne tend pas vers une limite déterminée lorsque

X tend vers zéro.