Considérons une fonction bien définie
de plusieurs variables w, v, iv^ et supposons que les quantités u^ V, IV soient elles mômes des fonctions bien définies d'une variable indépendante x. La fonction w est dite alors une fonction co?nposée de œ par l'intermédiaire des fonctions u^v^io de cette variable.
Désignons par^ÏQ une valeur déterminée quelconque parmi celles que la variable indépendante x peut prendre ; soient
z^Q,ï^Q,iOQles valeurs correspondantes de ?/,i\?/', et coq=/(^/o'^0'^^'o) la valeur que prend alors oj. Il est clair que si x tend vers zéro, w, î', 10 tendent vers Uq^ Vq, Wq^ puisque «, v, iv sont des fonctions continues de x ; par suite w tend alors vers ojq puisque / est par hypothèse une fonction continue de u^ i', ic. Donc : Une fonction composée w =^f[u^ r, w) est une fonc-
26 nilAlMTRE II
lion coiilinuc de hi riiri(il)lr indrpouldnlc ,/■, .s// csl uni' foncl'ioti cunlituic des fo/K-lio/is iiiIrrntrd'Kilrcs // , r, vr, c/ si ers fonclio/is intcniu'd'tnu'cs sont à Irio' lour des fondions continues de ,r.
Nous avons iléjù rencontré pliisiours cas particuliers de ce théorème, et notamment le cas des fonctions //r, //".
Uemar([uons ([iie si les fonctions intermédiaires n, r, y/? se réduiseul à une seule //, la fonction com]>osée m devient sim- [)lement wwc fond ion de fonction .
Eulin, au lieu de supposer ([ue les fonctions intermédiaires ?/, i\ ic ne dépendent que d'une seule variable r, on peut concevoir que //, r, ic soient des fonctions de plusieurs variables indépendantes./,//, ... Ou aura alors \\i\Q fonction coniposcc de pliisicio's variahlcs inflf''j)cn<Iitntcs,(^\\\ serad'ailbnirs nue fonclion couliuue de ces varial»les si y/, r, iv sont des fonctions continues de ./■, // ..., et si /'est à son (our une fonclion continue de r, u, ir.
2î>. Lorsque ré(|uation ([ui lie une fonction // à une ou à plusieurs variables indépendantes est résolue par rapport à //, on dit que //est une fonction explicite. Sinon, on dit qu'elle est inijdicitf; il lu^ sera question jusqu'au cliapitre vu que de fonctions explicites.
Di<|f08sioii SUE* I*"^ iioiii1>i*<>^ c
30. Le nombre ^' jouit d'une propriété qu'il esl indispensable de connaître : c'est la limite vers laquelle tend l'expression
lorsque ni croit iudéliniment.
Supposons d'abord )n entier et positif.
La formule du binôme donne :
LKS FONCTIONS CONTINUES 27
en })OScint, pour simjililicr l'ccriluro
'ûi (m — \ ... (m — n -\- \ j m — i m — 2 m — n~\- i
Un = ■ = ' '•••
ou
m/ \ mj V m
ii„ ost donc do la forme
(1 —7.; (1 — fi j ... fl —À)
a, ,3, ... A étanl dos nombres positifs inférieurs à 1.
Or, on sait, par l'algèbre élémentaire (^ j, que la valeur d'un tel produit est comprise entre 1 et
Comme on a ici
il vient
et, en divisant par 1. 2. ... /^
1.2... /< 1.2... n 1.2... 'u 2m 1.2... [v, — ±) Dès lors, en faisant successivement n^2, 3, ... m, ajou-
(■; Lîi ['leuve est (railleurs l'oit aisée : on a d'abord
M - a) (1 - ;>; = 1 (,• + ,%j + ai > 1 - (a -f ,?),
puis, en nndtipliurit par 1 — y
et ainsi de suite.
tant et augmentant de 2 chacun des résultats, on a
^ m) " ^"^ 2wi
On voit par ]à que la valeur de l'expression (12) est comprise entre deux quantités qui tendent l'une et l'autre vers e quand w? croît indéfiniment, d'oii l'on conclut que cette expression a pour limite e.
Le théorème subsiste lorsque m^ tout en restant positif, n'est plus astreint à ne prendre que des valeurs entières.
En effet, attribuons à m une valeur positive quelconque, et soit \i.-\- 1 l'entier immédiatement supérieur à cette valeur. L'expression (12) sera moindre que
et plus grande que
Or, quand m croît indéfiniment, il en est de même de l'entier \h ; chacune des expressions (13) et (14) étant alors le produit d'un nombre qui tend vers e par un facteur qui tend vers 1, aura pour limite e ; et, par suite, il en sera de même pour l'expression (12) dont la valeur reste toujours comprise entre celles de (13) et de (14).
L'expression (12) tend aussi vers e, lorsque m est négatif et qu'il grandit indéfiniment en valeur absolue.
En effet, soit
m = — (ijL -)- 1) \}. désignant un nombre positif, on aura
OU
(.+iy".(.+iy-(.H-i).
Or, lorsque la valeur absolue de m croît indéfiniment, \). devient infini, et l'expression précédente, produit de deux facteurs, dont l'un tend vers e et l'autre vers 1, a pour limite e.
