Si l'on pose — = a, a tendra vers zéro lorsque m
croîtra indéfiniment, et le théorème qui précède prendra ce
nouvel énoncé :
L'expression (l -{- x)'-^ tend vers e, lorsque a tend vers zéro.
Plus généralement, Vexpressio?i (1+a) I* a pour limite e'', ?', lorsque y. tend vers ze'ro^ le produit y.^i a pour limite p. Cela résulte du théorème précédent et de l'identité
SI
ina|î
Par exemple, l'expression (1 +sinjr) ""^'-^ a pour limite e, lorsque x tend vers zéro; car, sinjç tend alors vers zéro et le produit sinj-. cotg.r, qui est égal à cosj;, a pour limite l'unité.
Premiers exemples de dérivées
32. La dérivée d'ime fonction /(.r), c'est-à-dire (n" 2) la limite du rapport
lorsque h tend vers zéro, est en général une quantité déterminée, indépendante de la manière dont h tend vers zéro. Elle dépend de la valeur attribuée à x'^ c'est une fonction de cette variable, que l'on désigne par la notation
c'est-à-dire en plaçant un accent sur le symbole / qui désigne la fonction,
La dérivée a été introduite dans la science par Newton, sous la dénomination aujourd'hui abandonnée àe fluxion; c'est à Lagrange que l'on doit le nom de dérivée^ ainsi que la notation (2).
.'Î3. Voici quelques exemples simples :
1" Soit proposé de calculer la dérivée de .z™, l'exposant m étant supposé entier et positif.
La formule du binôme
donne :
La dérivée de j;'" est donc égale à la limite du second membre, lorsque h tend vers zéro, c'est-à-dire à
mx"'-\ (3)
2° Cherchons la dérivée d'une somme. Soit la somme
F (x) = F, (x) -f F,{x) -f ... -f F„ {x) = SF^(^). On a ici
F(^' i-h)— F{x) ^ Fa- {x 4- h) — F/, [x]
et à la limite, lorsque h tend vers zéro,
V{x)=^F,{x) = F',{x)-\-Fi{x)-\-... +F;,{x). .
Donc la dérirée (Tune somme est égale à la somme des dérivées.
La démonstration suppose que chacune des fonctions F,(jr), Fo(j')..., F„(j;) qui composent la somme F(j) ait une dérivée déterminée pour la valeur de x que l'on considère. Mais le théorème le suppose aussi ; son énoncé serait vide de sens dans le cas contraire ; il est donc inutile de l'alourdir en y introduisant cette restriction.
3° La dérivée d'une constante C est nulle^ puisque le numérateur du rapport (1) est alors égal à zéro quel que soit h.
Il suit de là que la dérivée de G + © [x) est ©' [x] ; en d'autres termes, les constantes additives disparaissent dans la dérivation.
Au contraire, les facteurs constants subsistent ; en d'autres termes, la dérivée de Cs [x] est Ga' [x] ; car ici la constante G se trouve facteur commun dans les deux termes f {x -\- h) et f [x) du numérateur du rapport (1);
4" Enfin il résulte de ces observations et de la règle relative à la dérivée d'une somme, que la dérivée d'un polynôme entier
kx'" -f Bo;'" - ' -f- C^"' -' + ... -|- Ho? -f- K est
mkx'"-^ + [;i)i - '!) B:c"' -2 -f {m — 2) Cx'" -^ | ... [ H
On voit qu'on l'obtient en multipliant chaque terme par V exposant de x et diminuant cet exposant d'une unité.
Cas d'exception
34. Le rapport (1), lorsque h tend vers zéro, peut, pour certaines valeurs de x^ devenir infini, ou ne tendre vers aucune limite, ou enfin admettre des limites différentes suivant que h tend vers zéro par des valeurs positives ou par des valeurs négatives. On dit alors que la fonction / [x) n'a pas de dérivée déterminée pour ces valeurs exceptionnelles de x. Voici des exemples de ces divers cas :
1° Soit proposé de trouver la dérivée de / [x) = ]Jx — 2
pour X = 2, v^ désignant ici la racine cubique arithmétique. On a alors
/•(2 + A) =^Â /-(Sj^o,
et le rapport (1) a pour expression :
'Â JL
Ce rapport croît donc indéfiniment lorsque h tend vers zéro.
2° Soit à trouver la dérivée de
Y ix) = X sin —1 - ■ co
pour X = 0.
On a ici
F (/?)=: A sin |, F(o)=o.
et le rapport (1) a pour expression
sin 7?
qui, lorsque h tend vers zéro, oscille entre — 1 et -|- 1 sans tendre vers aucune limite.
3° Soit, enfin, proposé de trouver la dérivée de
pour ^ =^ 2.
On a
