X := ^ cosco, >/ ■==. p sino

On en tire, si o) est pris comme variable indépendante,

dx =: — p sinwc^o) -|- cosojrfp,

dy =^ ^ costofZoj -|- sinwr/p,

d^x = — p coswrfoj^ — 2 siii o)0?co(fp -(- cosojf/^p,

dry = — p sinco<iw^ -|- 2 cosojc/co'ip -\- sinwc^^p,

et par suiîe, comme on l'a déjà vu, pour la différentielle de l'arc

ds- =: dp- -\- p'^dio-

et pour le rayon de courbure (n° 104)

P — PP + 2p ^

Si l'on pose p =-■> cette formule devient

ir («f -j- i(. )

et l'on voit que les points d'inflexion s'obtiendront en faisant le rayon de courbure infini, ce qui donne l'équation

qu'on peut écrire

393. Concavité vers le pôle. — Nous allons retrouver ce résultat en cherchant directement la condition pour que la courbe tourne sa concavité vers le pôle, c'est-à-dire pour qu'elle soit située dans le voisinage du point M, entre le pôle et la tangente en M.

Soit MT la tangente au point p^, wq. Si la courbe est concave vers le pôle, en menant un iM* rayon vecteur, voisin de OM, qui coupe

IM la courbe en M', et la tangente en M",

il sera nécessaire que Ton ait