Soit d'abord une courbe (G) indécomposable de
genre zéro. Par ses points doubles et par n — 4 autres points
fixes de (G), faisons passer une courbe (G') d'ordre n — 2;
c ' 1 f (y^ — 2) (// + !) ^ comme nous avons lixe seulement ^^ -^ — ^
' Voir, par exemple, Jokdan, Cours d'analyse de VÈcole Polj/technique, deuxième édition, t. 1, chap. v. La possibilité du problème résulte de l'étude que nous avons faite d'une courbe autour d'un point singulier, étude dans laquelle nous avons réussi à séparer toutes les branches.
points, il restera deux paramètres arbitraires, et l'équation de la courbe (C) sera de la forme
%^^^ {ûc, il) + a^cpa {x, y) + t.^^^{x, y) = o, (82)
2i|, 2.,, çij, étant des fonctions déterminées. La courbe (82) a, comme cela résulte du n" 385, n{n — 2) — 2 points fixes communs avec (G). Comme (C) et (C) se coupent en n{ii — 2) points, il en reste deux seulement, dont les coordonnées dépendent de aj, a^, «3.
Posons
Si X, y, est un point donné, X, Y, est déterminé d'une manière univoque par ces formules. Eliminons x, y, entre les équations (83) et celle de (C), c'est-à-dire exprimons que les équations
Xcp3
ont au moins une solution commune de plus que celles déjà existantes. Le résultat de l'élimination sera
A tout point M de (85) correspondra, au moins, un nouveau point )n[x, y) de (C), commun aux trois courbes (84); mais les deux premières de ces courbes appartiennent au type (82), et, par conséquent, avaient déjà >i(;i — 2) — 2 points communs avec(G). Elles ont donc, si le point X, Y, est sur la courbe (85), n{n — 2) — 1 points communs avec (C), et elles ne peuvent en avoir davantage, sans quoi la courbe
cp, — XiS -f- X ((p2 — ^©3) = o,
qui aurait aussi n [n — 2) points communs avec (G), pourrait, par un cboix convenable de a, avoir n {n — 2) + 1 points
sur (G), et par conséquent faire partie de (C), qui serait décomposable, ce qui est contre l'hypothèse. Donc, à un point M de (85) correspond un point unique m de (G).
Il est essentiel de remarquer que l'équation (85) est celle d'une conique; il suffit, pour le prouver, de montrer qu'à toute valeur donnée de X correspondent deux valeurs de Y, et réciproquement. Or, si Ton se donne X, la première équation (8i) détermine une courbe du réseau (82), c'est-à-dire une courbe qui coupe (G) en deux points seulement, dont les coordonnées dépendent de X. A chacun de ces points correspondent par (83) une seule valeur de Y, donc en tout deux.
D'ailleurs, une transformation honiographique, suivie d'une inversion ', permet de faire correspondre à une conique un cercle, puis une droite. Il se trouve donc établi que, par une transformation birationnelle, on peut toujours faire correspondre, point par point, une courbe quelconque de genre zéro à une droite.
390. Lorsqu'un procédé quelconque permet de faire correspondre, d'une manière univoque, les points d'une figure aux points d'une autre figure, on dit qu'on a obtenu une re/prèsentation conforme de la première sur la seconde. Les résultats acquis dans le paragraphe précédent peuvent donc s'énoncer ainsi : « On peut toujours obtenir d'une manière rationnelle la représentation conforme d'une courbe de genre zéro sur une ligne droite. »
391. Gomme second exemple, nous allons montrer qu'on peut obtenir d'une manière analogue, la représentation d'une forme courbe (G) de genre un^ non décomposable, sur
' La transformation qui permettra de passer d'une conique au cercle sera, par exemple, une perspective conique, quant aux formules d'inversion un peu moins usuelles, les voici, en mettant le pôle sur le cercle,
k est la puissance d'inversion, et ces formules sont bien birationnelles.
une cubique sans point double. La méthode étant identique à celle qni vient d'être employée, nous n'insisterons pas sur les détails.
Par les
points doubles et par n — 3 autres points fixes de (G), faisons passer une courbe (G) d'ordre n — 2. Son équation sera de la forme (82)
et elle coupera (G) en ''
points fixes et en tt'ois autres points dont les coordonnées dépendront de a^, a^, «3. Posons encore
et, entre ces deux équations et
rioo,y)=o, (84)
éliminons x, y. Nous obtenons l'équation
A un point m de (G) correspond évidemment un seul point M de cette nouvelle courbe (D. Réciproquement, si X, Y satisfont à l'équation (85), les trois équations (83) et (84) acquièrent une nouvelle solution commune en x^ y, ce qui fait en tout
et elles ne peuvent en avoir une de plus, sans quoi la
courbe
n'aurait plus avec (C) qu'un seul point d'intersection dont les coordonnées dépendraient de a; les coordonnées de ce point s'exprimeraient rationnellement en fonction du paramètre a; la courbe (C) serait de genre zéro, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Ainsi, à tout point de la courbe F, correspond bien un seul point de (G). D'ailleurs (F) est une cubique. En effet se donner X, c'est prendre pour valeurs des paramètres
' a, = 1, TC2 = G, 7.3 = X,
et Ton sait que trois seulement des systèmes de valeurs correspondantes de x et de // dépendent de a^, a.,, «3. Par suite, Y prend au plus trois valeurs ditîérentes pour une valeur donnée àX, et réciproquement : F est donc une cubique. Cette cubique n'a pas de point double, sans quoi elle serait unicursale ; les coordonnées de ses points s'exprimeraient rationnellement en fonction d'un paramètre, et il en serait de même pour(C), ce qui est contre l'hypothèse. Le théorème est donc démontré.
Corollaire. — Projetons la courbe F de manière qu'un de ses points d'inflexion soit à l'infini et que la tangente en ce point soit également rejetée à l'infini; z ^0 doit donner trois points confondus. L'équation sera donc, en coordonnées homogènes, de la forme
P] étant une fonction linéaire, P., un polygone du second degré. Un changement de coordonnées permettra d'écrire l'équation précédente sous la forme
X'^ -)- Pg =: G,
et Pj contient nécessairement un terme en y\ sans (|uoi y
s'exprimerait en fonction rationnelle de l'abscisse, et la courbe serait unicnrsale. Po pourra alors se mettre sous la forme
(ay -\- hx -\- c)^ -\- dx^ -{- ex -\- f
a ^ 0. Prenons la droite
ai/ -\- bx -\- c = o pour axe des x. l'équation de la cubique devient
y 2 r= aa?'^ -}- px^ -f- yx -j- 8.
Une dernière substitution, qui remplacera x par À.2: -\- ,a, donnera enfin la forme la plus réduite
//'^ = Ax'^ — f/.joc — ^3 (86)
d'une courbe sur laquelle on puisse obtenir la représentation conforme de toutes les courbes de genre un.
Quelques formules en coordonnées polaii*es
392. Les formules que nous avons à donner dans ce paragraphe s'obtiennent par de simples changements de variables. Soit
