CHAPITRE PREMIER OBJET DE L'ANALYSE INFLNITÉSLMALE

Définition et R61e des infiniment pelils

1 . On nomme infiniment petit toute quantité variable ayant pour limite zéro.

VAnalijse infinitésimale^ créée vers la fin du xvii" siècle par Lcibnitz et Newton, a pour objet l'emploi des infiniment petits pour révaluation des quantités finies.

Les infiniment petits peuvent intervenir de deux manières: la grandeur à évaluer peut, en effet, se présenter soit comme la limite du rapport de deux infiniment petits, soit comme la limite d'une somme dlnfiniment petits dont le nombre croît indéfiniment. De là, la division de l'analyse infinitésimale en deux branches : le calcul différentiel et le calcul intégral.

Problème des tangentes; origine du c^tileul différentiel

S, C'est le problème des tangentes qui a donné naissance au calcul difTérentiel.

Considérons une courbe plane [figA) dont Téquation en coordonnées rectilignes est y =/(.r). Prenons sur cette courbe deux points M et M' correspondant respectivement aux abs-

CALCUI. LNFIMTÉSIMAL. 1

cîsses xetx + h, La tangente au point M est, par définition, la limite des positions que prend la sécante MM'S lorsque, M restant fixe, M' vient, en restant sur la courbe, se con-

FlG. 1

fondre avec le point M. Or, d'après la théorie analytique de la ligne droite, le coefficient angulaire de la sécante MM' s'obtient en divisant la différence f [x -\- h) — f {x\ des ordonnées des points M' et M par la différence h de leurs abscisses. Par suite, le coefficient angulaire de la tangente MT est égal à la limite du rapport :

[ce

A-h)--nx)

lorsque h tend vers zéro.

Ainsi, dans ce problème, le nombre cherché se présente comme la limite du rapport de deux différences infiniment petites.

On appelle dérivée d'une fonction f [x) la limite du rapport (1), c'est-à-dire du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable x^ lorsque ce dernier accroissement (positif ou négatif) tend vers zéro. De là cette proposition : le coefficient angulaire de la tangente à une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comme fonction de Vabscisse,

Problème des quadratures; Origine du calcul intégral

3. C'est \q problème des quadratures qui adonné naissance au calcul intégral.

OBJET DE l'analyse LNFINITÉSIMALE 3

Proposons-nous d'évaluer Taire du trapèze mixtiligne aAM{i. compris entre un arc AM de courbe plane rapportée à des axes rectangulaires, les deux ordonnées extrêmes aA, \lM et l'axe des X. Nous supposerons, d'ailleurs, pour plus de simplicité, que l'ordonnée de la courbe PQ reste positive et croissante depuis aA jusqu'à [jlM.

Décomposons la base ajji. en parties a3,3Y,.»...T;ix, égales ou

inégales; désignons par ./\j, j-,, .r.,, Jr^ les abscisses des

points a, g, Y, {/., et par yQ, y,, y.,» !/v- ^^s ordonnées

correspondantes.

En menant par Fextrémité de chaque ordonnée une parallèle à OX jusqu'à sa rencontre avec l'ordonnée précédente et

Fio, 2

avec l'ordonnée suivante, on forme une suite de rectangles inscrits aAAog, h»BB^7, r^llIL,;jL dont les aires ont une somme

s = {x^— a?o) 2/0 + (^2 — ^i) yi + ••• + (^11 -- ^\^-i)yv-'i

inférieure à Taire T du trapèze curviligne considéré, et une

suite de rectangles circonscrits aB,B3, t^Cfi-;^ t;M,M[jl dont

les aires ont une somme

S = (a?< — ^o) !/i -f- (^2 — ^<) l/'i + ••• + (^|i — ^ii-i) yii supérieure à T. On a donc

Mais si Ton désigne par S le plus grand des intervalles

;/', — cTq, ./., — ./•, ^|i-J^|j.-4, on voit que la différence S — v

tend vers zéro avec s, puisqu'elle est moindre que

c'esl-à-dire que

^{H — yo:-

Par suite Taire T est la limite vers laquelle tend la somme v» lorsque chacun des intervalles j-, — j^q, .^o — .r^,...,r^ — ,r^^^ tend vers zéro.

Ainsi, dans le problème des aires, la grandeur à évaluer se présente comme la limite d'une somme d'infiniment petits dont le nombre croît indéfiniment.

Telle esl, traduite dans le langage mathématique actuel, la méthode suivie par les géomètres de Tantiquité pour la résolution du problème des quadratures, en sorte qu'on peut dire avec Leibnitz (lettre à Wallis, 29 décembre 1698) que le calcul intégral remonte jusqu'à Archimède.

Corrélation eiili*e le calcul diifcrcntiel et le calcul intégral ; objet de chacun d'eux

4. Les géomètres du xvn* siècle se sont placés, pour résoudre le môme problème, à un point de vue tout différent. Au lieu de calculer directement la somme s et d'en

déduire sa limite, ils ont ramené la recherche de Taire à celle d'une fonction ayant une dérivée donnée. Voici comment :