OBJET DE L ANALYSE INFINITESIMALE

Soil ff Taire du trapèze niixliligne aAM,x compris entre un arc AM de courbe plane, Taxe des x, une ordonnée fixe aA et Tordonnée Mp, = f{x) qui correspond à une abscisse variable 0[JL = j-.

(7 est une fonction de x\ et, dès qu'on a possédé la notion de la dérivée, on a été naturellement conduit à chercher la dérivée de cette fonction a.

Or, quand x varie de pi/, j varie d'une quantité égale à Taire du trapèze mixtiligne [^.MMV-', lequel, si •;.•/ est assez petit, se trouve compris entre les rectangles ;j.M1;a', '^KM'/ obtenus en menant MI et M'K parallèles à OX. Mais ces deux reclangles ont respectivement pour mesure les produits

Ma. ixjjl', MV. ul;/.

* Le rapport

est donc compris entre Mjx et M'/ et, par suite, sa limite est MjjL lorsque ;j.p/ tend vers zéro.

Donc Vairr du trapèze mixtiliyne aAM;i. a pour dérivée rordonnée M;;. = / [x) qui correspond à Vahscisse variable Oy. = ,r.

La question des quadratures se trouve ramenée de la sorte à la recherche d'une fonction ayant pour dérivée /^.r), c'est-àilire au problème analytique inverse de celui auquel conduit le problème des tangentes.

o. Le passage d'une fonction à sa dérivée et le retour de la dérivée à la fonction primitive ont constitué, dès le début, Tunique objet du calcul différentiel et du calcul intégral. Mais bientôt des généralisations se sont offertes. D'abord, la dérivée d'une fonction étant une fonction de la môme variable, on peut calculer la dérivée de cette dérivée, ou dérivée du second ordre ^ puis prendre la dérivée de celle-ci qu'on nomme dérivée du troisième ordre et ainsi de suite. D'autre part, si Ton considère une fonction de plusieurs variables x^ y, ;;, on peut chercher la dérivée de cette fonction en ne faisant varier que x et traitant y et - comme

des coDstantes : oo obtient ainsi ce qu'on appelle la Airiri^ parti^U^ par rapport à j*. et il existe de même une dérivée par rapport à chacune des autres variables y et :;. Enfin ces dérivées partielles, étant à leur tour des fonctions de ^. y. S- donneront chacune des »U ririez ^tttrii^ll^^ «in s^rond orfire et ainsi de suite.

Grâce à ces considératiun>. nou< pouvions maintenant préciser l'objet du calcul différentiel et celui du calcul intégral.

Le calcul différentiel comprend l'ensemble des règles relatives an calcul des dérivées des divers ordres des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs variables indépendantes.

Le calcul intégral comprend l'ensemble de^ méthodes propres à déterminer des fonctions d'après des équations où ces fonctions sont engagées avec leurs dérivées des divers ordres et les variables indépendantes.

Ajoutons que le calcul intégral a donné naissance à un grand nombre de fonctions nouvelles, dont Tétude a étendu singulièrement le domaine de l'analyse. Sous ce rapport, le calcul infinitésimal est la continuation de Talgèbre, et on pourrait, non sans raison, aujourd'hui mieux qu a l'époque de Lagrange, lui attribuer la dénomination de théorie des fonctions.

Nous compléterons cette introduction en exposant les propriétés fondamentales des infiniment petits.

Infiniment petits des divers ordres

6. Lorsque plusieurs inOniment petits figurent dans une môme question, on choisit l'un d'eux a pour terme de comparaison, et on lui donne le nom d'infiniment petit principal ; alors, si un autre infiniment petit }, est tel que son rapport à la ;*■• puissance de a ait une limite k déterminée (*) et diffé-

('} Observons ici, une f<MS pour toutes, que Vin/ini n'est pas une quantité déterminée, sans quoi on pourrait l'augnienter, ce qui serait contradictoire. Quand on dit qu*une grandeur devient infinie, on entend par là qu'elle prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, de manière à surpasser toute quantité donnée si grande qu'elle soit.

OBJET DE l'analyse INFLNITÉSIMALE 7

rente de zéro, on dit que 3 est du /i"* ordre et que sa valeur^ principale est AV ; on peut écrire d'après cela

e étant infiniment petit.

Voici quelques exemples :

1* On sait, par la Trigonométrie, que les rapports

sin cr i^x

ont Tunilé pour limite; et il résulte de la formule

1 — cosa? __ x^

que

1 — coa X

a pour limite 5'

Donc, si X est pris pour infiniment petit principal, sin a: et tgjc sont des infiniment petits du premier ordre ayant l'un et l'autre x pour valeur principale, tandis que 1 — cos x est du

\ second ordre et a pour valeur principale - j:^.

2* La relation bien connue, /' = /cos(i) entre la longueur / d'un segment recliligne et la longueur /' de sa projection sur une droite faisant un angle (o avec ce segment, donne :

/ — ^ = / (1 — cos (d).

La différence / — /' est donc un infiniment petit du second

ordre, lorsque Tangle o) est un infiniment petit du premier o rdre, / étant fini. Elle s'abaisse au troisième ordre si / est, comme w, infiniment petit du premier ordre ;

3* Si Ton désigne par /'(a:) la dérivée d'une fonction /(j-), on peut écrire, d'après la définition même de la dérivée,

6 tendant vers zéro avec h. Si donc on prend h pour infiniment petit principal et si, pour la valeur considérée de .r, /' [x) est déterminée et différente de zéro, Taccroissement / (.r+A) — f[x) de la fonction sera un infiniment petit de premier ordre ayant h f[x) pour valeur principale. Ainsi, Faccroisscment d'une fonction est, en général, un infiniment petit du même ordre que l'accroissement de la variable: il y a exception pour les valeurs de xqui rendent la dérivée nulle ou infinie.

7. Uemarquons qu'il existe des infiniment petits n'ayant pas d'ordre déterminé. Par exemple, l'expression

y =: X sin ~

tend vers zéro en même temps que j-, puisque le facteur sin - reste compris entre — 4 et + 4 ; mais c'est un infini-

mentpetit dont l'ordienepeut être assigné, puisque le rapport

- = sin - ne tend pas vers une limite déterminée lorsque

X tend vers zéro.