RR

W '^Vy) "'"W

ex

iY

DY

ôY

^x ôa:*

^xdy

Y 3Y ^y 'by'bx

DY

ir iv

DY

7)zhy

Le déterminant qui figure dans le second membre est un hessien (n^ 364); il s'annule si la courbure totale est nulle, c'est-à-dire aux points paraboliques. Ces points sont donc, sur les surfaces, et, à ce point de vue, les analogues des points d'inflexion dans les courbes planes.

Nous verrons d'ailleurs, dans le deuxième volume, que Tanalogie est plus complète et qu'à certains égards on peut considérer la courbure totale comme l'analogue de la courbure d'une courbe plane.

532. Cherchons le du- de quelques surfaces simples. Surfaces de révolution, — Nous prendrons Taxe de la surface comme axe des 5, et nous poserons

L'équation de la surface sera

et si Ton pose

Félément d'arc aura pour expression

ds^ = dr^ (1 + f'^) 4-r2éfy^ ou, en introduisant une variable ti telle que

u =fclr VlTT^.

ds^ z=du^ +^ (m) dv^ ; (70)

u est Tare de méridien compté à partir d'un certain parallèle ; car, pour v = 0\ on vl ds = du ; 9 (t/) est le carré du rayon r du parallèle qui passe au point de coordonnées u, t\ On peut encore donner au ds- précédent une forme différente en posant

r du u. = / ■ ;

on trouve ainsi, parce que (p(w) devient une fonction F(u^) de u^y

ds^ = F (u^) {du^ + dv^).

C'est un cas particulier d'une classe de surfaces, dites ?>oihennes ou isométriques^ pour lesquelles on a

(h^ = '{.(«, v){du^ + r/r»).

oCiS. On reconnaît dans la formule (70) une forme de rf.s^ signalée au n° 525, et cela devait être, puisque les méridiens sont évidemment des lignes géodésiques et que nous avons choisi les mômes coordonnées sur la surface qu'au Tï" 525.

L'équation (63') des lignes géodésiques peut d'ailleurs être complètement intégrée dans le cas des surfaces de r»'volution. Prenons, on effet, la forme (70), c'est-à-dire faisons dans l'équation (03)

prenons de plus u comme variable indépendante, et écrivons

dv (/r^ suivant la coutume v et v" au lieu de -r-? -tt/ Il vient

dit di(-

rv" + 2r y' + rVî?'^ ,^ o. (71)

Cette équation, ainsi qu'on le démontrera dans le second volume, a pour intégrale (en désignant par « et 6 deux constantes arbitraires)

/adn — ===

Cela posé, considérons sur la géodésique, qui correspond à des valeurs données a et b, des constantes arbitraires, un arc infiniment petit MN faisant avec le méridien du point M Tangle w. On a évidemment

rdvf langu, = — ,

et Ton en déduit immédiatement, en tenant compte de l'expression de v (72),

rsinco = a.

(]ette forme de Téquation des géodésiques des surfaces de nWolution est due à Claîraut; elle est des plus utiles pour leur discussion. On en conclut, par exemple, qu'une géodésique correspondant h la valeur a peut arriver à toucher le parallèle de rayon a, mais ne peut pas rencontrer un parallèle de rayon moindre.

5;i4, Surfaces rég/(^es, — Elles sont définies par les équations

^ ce r= a^u + 6^,

a, et f)i étant des fonctions d'un paramètre v. On en déduit un ds^ de la forme

ds^ = («î + al+ al) du^ + Ddudv + [ku^ + 2Bu + C) dv^. Nous poserons

et D = 0, ce qui revient à dire que u sera la longueur de génératrice comptée h partir d'une trajectoire orthogonale, tout le réseau (?/, v) étant d'ailleurs orthogonal. On obtiendra ainsi, comme forme réduite du ds\ des surfaces réglées

ds^ =1 du^ + (Xii^ + 2Bm + C) rfoV

Surfaces développables

535. Dans le cas des surfaces développables, nous avons vu qu'on a de plus

donc le coefficient de dv^ est un carré parfait, et Ton aura, dans le cas des surfaces développables, en remplaçant v par une fonction de v, choisie de manière à réduire à l'unité le coefficient de w^,

rfs» = rfw» + (u — a)3 dv^, au lieu de

ds^ = diC^ + [(w — a)a + p«] r/t-î,

qui correspond aux surfaces réglées non développables ; a et g sont des fonctions de v.

Nous allons montrer que les surfaces développables sont applicables sur un plan. Elles satisfont bien à la condition qui résulte du théorème de Gauss{n'* 531) d'avoir leur courbure totale nulle ; mais cette condition n'est pas suffisante.

Ecrivons

ds^ = [du + i {u — a) dv] [du — i {u — a) o?r],

= c'»' [du -f. i (w — a) dv] X e*'*' [du — i [u — a) dv].

Les deux facteurs sont maintenant des différentielles exactes, et Ton pourra poser, en appelant rf{a: H- ly) et d{x — iy) ces différentielles,

l œ -^ ty = Me'*' — t /ae^«'rft?,

I X — iy = ue-i*" -f- 1 joLC-^^'dv ;

nous avons ainsi réussi à exprimer, en fonctions de u et de i\ les deux coordonnées d'un point du plan, et ces coordonnées vérifient bien la condition

ds^ = dx^ + dy^y

ce qui démontre le théorème. Au reste les formules précédentes peuvent s'écrire

on = u cos t? + / a sin vdvy

y =z u sinr — Ixcosvdv;

et roîi voit que les courbes v = €*• seront des droites dans le plan, comme sur la surface développable.

5:i6. La réciproque de ce théorème a été établie par 0. Bonnet {Ammli di Matematica^ 2* série, t. Vil, p. 61) : Toute surface applicable sur un plan est l'enveloppe d'un plan mobile.

Soit, en effet, une surface applicable sur un plan, c'est-àdire telle que

dœ^ -h dy^ + dz^ = ds^ = dv^ + dv^,

en désignant par ./-, y, z les coordonnées d'un point de la surface, et par w, v celles d'un point du plan prises pour variables indépendantes. On a alors

(iT+gr+(i)'=E (!)■='■

En différentiant ces trois équations successivement, par rapport h u et à i\ on trouve, après quelques simplifications faciles,

2j hûv :>u ~~

2j Dm* Dt? "~ ^'

Il en résulte

le iacobien des deux fonctions 7-» ^> esl donc nul, ainsi que

celui des fonctions -^ et r^» et ces trois fonctions sont fonc-

tions d'une d'entre elles; de même — » ^> ^» dépendent de

Dr Dr Dr *^

Tune d'elles, et comme ces six fonctions sont reliées par la

relation

SD^ tVr D« Dt? "^ ^^

elles ne dépendent que d'une d'entre elles. Enfin les identités

^z Do? , Dv

5ï; = ^^ 57. + *? ïïï'

D^ D,r Dy

permettent d'exprimer p et 7 en fonction de la môme quantité, c'est-à-dire de les considérer comme dépendant l'une de l'autre. La surface est donc développable (n" 441).

Caries géographiques

5C17. Le problème, qui consiste à représenter une surface sur une autre, et en particulier sur le plan, a été l'objet d'importants travaux de la part de Lambert, Euler, Lagrange, (iuuss. Une carte géographique est une représentation sur un plan. Voici quels seraient les termes du problème.

Supposons les coordonnées x, y, 2, d'un point M, d'une surface (S), exprimées en fonction de deux paramètres n et r, de telle sorte qu'on ait

ds^ — E du + ^Vdudc + Gdv\

et soit M' un point infiniment voisin de M sur la surface;

soit de même m(X, Y) un point du plan, m un point infiniment voisin. 11 s'agirait d'exprimerX, Y en fonction de w et de r, c'est-à-dire de faire correspondre les points de manière qu'on eût constamment

MM' ^ mm' ou

Celte condition ne pouvant être réalisée que si la surface (S) est développable (n' 536), Lambert Ta remplacée parla suivante

MM' =z X . mn^ ou

X (Hant en fonction de n et de u, qui assure la similitude des triangles infiniment petits, ou, ce qui revient au même, la conservation des angles.

Nous ne parlerons pas des autres modes, par exemple du système de Babinet, qui réalise la conservation des aires infiniment petites, et nous nous bornerons à deux systèmes de cartes; nous supposerons, de plus, que la surface à représenter est sphérique.

53». Cartes de Mercator. — Si Ton prend, pour représenter un point de la sphère, des coordonnées polaires (4» longitude, 6 colatitude)

07 = R sin6 cos'l, y =: R sinG sin']/, z = R cos6,

le dii^ sera

ds^ — R2 (sin« ôrf'}2 + rfe»).

On peut récrire

11 suffira donc de poser

Y 1= L tang-,

pour le ramener à la forme

On obtient ainsi le système de Mercator, dans lequel les droites équidistantes parallèles à Oy représentent des méridiens faisant entre eux des angles égaux, tandis que les parallèles de la sphère, qui correspondent à des variations égales en latitude, sont représentées par dos droites parallèles à Ox, dont la distance h Os croît k l'infini, lorsque la latitude tend vers 90°.

539. Projections stéréouraphiques. — Soit (E) le plan de Téquateur, Z le pôle nord, V le pôle sud que nous pn^ndrons pour point de vue, M un point de la sphère, />/ sa projection stéréofrraphique, c'est-à-dire la trace sur (R) du rayon visuel VM. Nous rapporterons la sphère au môme système de coordonnées polaires que dans le numéro précédent : soit donc

ZOM = 0, t7iOX = i!/.

Fio. 45.

nous prendrons comme axes de coordonnées dans le plan de Téquateur deux axes rectangulaires. Cela posé, on voit

que OVm =5 et que, dans le triangle rectangle VO/w,

Om = R lang 5z

Donc les coordonnées de m dans le plan XOY seront

X =r R tang- cos'} Y = R tang- sin^,

On tire de là pour le ds^ dans le plan

cos^^

et il suflit de le comparer à celui de la sphère donné au commencement du paragraphe précédent pour voir que ces deux rf.s- sont bien proportionnels. Les angles sont donc conservés par la projection stéréographique, co qui est connu. Le rapport de deux éléments correspondants

aCOS^rr

\ est égal à r si la colatitude est nulle, c'est-à-dire pour les

parties de la carte voisine du pôle. Il est égal à un^ pour

6 = ^? dans le voisinage de Téquateur.

540. Nous observerons en terminant que la carte d'une surface sur un plan avec conservation des angles est toujours possible, tandis que l'application qui conserve les angles et les proportions dans toute la carte n'est possible, comme on Ta vu (n** 535), que pour les surfaces développables. Ce théorème sera démontré dans le second volume.