T, = V-RR

' Darboux. Leçons, etc., loco citalo.

515. Comme application, nous chercherons les lignes asymptotiques des surfaces réglées. Soient

X =z ati -^ b j

y=za,u + b^ , (55)

les équations de la génératrice dans lesquelles ri, i, a,, ..., sont des fonctions de la variable i\

dx = adu -j- (^ '" 4" ^') ^^1 dy =z a^du -[- («i^ + b{) do, dz = a^du •+" (^i^ 4" ^i) ^^•

Les différentielles secondes d*Xy d^y^ d^z, ne renfermeront pas de termes en dti'^; donc, dans Téquation (52), dv sera en facteur, et un système de lignes asymptotiques aura pour équation t = C**. Ce sont donc les génératrices rectilîgnes de la surface.

Pour le second système, on aura à intégrer une équation de la forme

^ :- a^u^ + pu + y, (56)

a, ^y Y étant des fondions connues de v ; cette équation no peut pas s'intégrer en général. Nous aurons à en reparler dans le second volume (équation de Riccati); mais, pour ne pas avoir à revenir sur les lignes asymptotiques, nous donnerons immédiatement, sans démonstration, la forme générale de la solution de celte équation

nC -|- ^ ^

dans cette formule, /, m, /f. A, sont des fonctions de r à déterminer et ne dépondant que de a, g, y; c est une constante susceptible de recevoir des valeurs arbitraires. Si Ton remplace u par sa valeur dans lès équations (55), on a, en fonction de r, les équations des asymptotiques du second sys-

52i CBAPITRE XIX

lèiue. Donnons h C quatre valeurs, Cj, G,, C3, C^^, il en résultera quatre lignes asyniptotiques; pour une valeur déterminée de t;, les formules (55) donneront le point de rencontre de la génératrice correspondante avec ces asyniptotiques. On aura par exemple

et deux autres formules analogues pour y^ et z^; de môme Xo, //o, 50, 0:3, ... Or, on voit facilement que

et, comme v a disparu dans le second membre, il en résulte que les quatres asyniptotiques considérées coupent une génératrice recliligne en quatre points, dont le rapport anharmonique reste constant, lorsque la génératrice décrit la surface réglée.

Courbure géodésique : lignes géodésiques

51 0. 11 nous reste à définir une dernière catégorie de courbes tracées sur les surfaces : ce so7it les lignes géodesiques. Quelques considérations préliminaires sont utiles. Nous avons vu que, pour toutes les courbes F de la surface qui touchent, au même point M, une môme droite MT, Taxe de courbure coupe la normale en un môme point 0; nous appellerons ce point le centre de courbure normale de la courbe F, et nous appellerons centre de courbure géodésiqup ou centre de courbure tangentielle le point Oj, où Taxe de courbure de cette courbe rencontre le plan tangent en M. Ce point 0, coïncide avec le centre^ de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent, en vertu du théorème de Meusnier; car écrite projection est la section normale du cylindre projetant.

Le rayon de courbure yêodésique a pour valeur absolue MOj, et son inverse est la courbure géodésic/ue.

517. Nous ne préciserons pas davantage le signe de ce rayon de courbure, parce que nous nous bornerons au cas où ce rayon est infini, e! nous appellerons lignes géodésiques celles dont le rayon de courbure géodésique est infini, ou, ce qui revient au môme, à cause de la définition du centre de courbure géodc^sique, celles dont le plan osculateur est normal à la surface. Ces courbes doivent leur importance en géométrie à ce que, sauf des restrictions analogues à celles qu'on rencontre dans tous les problèmes de minimum, elles sont les plus courts chemins entre deux quelconques de leurs points. C'est ainsi que, sur la sphère, les grands cercles, dont le plan est effectivement normal à la sphère, sont les plus courts chemins entre les deux quelconques de leurs, points, pourvu que le chemin soit compté sur le plus petit des deux arcs de grand cercle limités i>ar ces points.

Soit AB la ligne la plus courte parmi c^41es que Ton peut tracer sur une surface entre les points A et B, et MaM' un arc infiniment petit pris à volonté sur AB. Désignons, en outre, par MT la tangente en M à la ligne AB, par MZ la normale à la surface au point M, et enfin par MgM' Tare appartenant à la section faite dans la surface par le plan ZMM'. Par hypothèse, on a Tinégalité

MaM' — MpM' < o,

qu'on peut écrire, en appelant c la corde MM\

MaM' — r MSM' — c ^

La limite du premier membre, lorsque, M restant fixe, M' tend vers M, sera donc négative ou nulle, de sorte qu'on aura à la limite

p et p, étant les rayons de courbure, en M, de la ligne AB et de la section par le plan normal ZMT. D'ailleurs, si 0 est

Tangle du plan osculateur à la ligne AB, au point M, et du plan ZMT, on a, d'aprt^s le théorème de Meusnier, p = p^ cosO. L'inégalité pi'écédenie devient alors

et comme le premier membre ne saurait être négatif, on aura 6 = 0. Ainsi la ligne minima AB a, en chacun de ses points, son plan osculateur normal à la surface ; c'est donc une ligne géodésique.

On rencontre aussi ces courbes en mécanique; ce sont les trajectoires dun point assujetti à se mouvoir sur une surface sans être soumis h aucune force extérieure. En effet, dans ce cas, le plan osculateur de la surface, qui contient toujours la résultante des forces, contient la seule force appliquée au point, saroir la réaction normale de la surface.

518. Cherchons, par exemple, les lignes géodésiques du cylindre de révolution. Soient

1 a; =^ R ces ^ . 1/ := li sin t,

[ ^ = Rtp (0,

les coordonnées d'un point M de la courbe rapportées à trois axes rectangulaires, dont oz coïncidant avec Taxe du cylindre. Le plan osculateur en un point

X — R cos /

Y — R sin t

— Rsin/

R cos/

— R cos t

— R sin/

Ro" (t)

doit avoir sa trace sur xoy parallèle au rayon qui va de Torigine à la projection de M ; on a ainsi la condition

d'où

op (t) z=ht+^,

OU plus simplement, en prenant un nouveau plan convenable dos xy parallèle à raneien,

9 \C) = ht.

Les équations de la gi^odosique sont donc

1 a- =: R ces/, y = R sin /,

On reconnaît les équations d'une ht^lice trac<% sur le cylindre, et Ton sait en effet que les hélices, provenant de Tenroulement de droites sur le cylindre, sont bien les plus courts chemins tracés sur le cylindre entre deux quelconques de leurs points. 11 est facile ici de préciser les restrictions dont nous avons parlé dans la définition (n* 517) ; il faut que Tare d'hélice soit inférieur à une spire ; s'il était égal à une spire, le plus court chemin d'une de ses extrémités à l'autre serait évidemment la génératrice du cylindre qui joint ces deux points; s'il était supérieur à une spire, il y aurait une autre hélice passant par ses extrémités et qui s«»rait le chemin minimum.

519. On vérifierait, de même, que les hélices tracées sur des cylindres quelconques sont les géodésiques de ces cylindres.

5.20. L'exemple des cylindres nous permet encore de faire connaître une particularité qui achèvera de donner à ces courbes intéressantes leur véritable physionomie. Entre deux points du cylindre, quelque voisins qu'ils soient, il y a toujours une infinité de géodésiques, dont une seule, bien entendu, en général, est plus court chemin entre les deux points. En efl'et, si ; et tj sont l'ordonnée et l'abscisse curviligne du premier point M, celles du second. M', seront, à volonté, ;' et r;', ou ;' -+- 2/i7:R et r;', / étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Si on déroule le

cPx

rf».y d^z

cU^

ds* ds*

5i8 CHAPITRK XIX

cylindre sur un plan, au point M correspondra un point i«, et les diverses valeurs de k feront correspondre à M' une infinité de points m\ m\, w'o, ... Les droites mm\ nitv\. mm'çt, ..., donneront toutes les hélices passant par M et par M', lorsqu'on enroulera, de nouveau, le plan sur le cylindre.

rSdîl. L'équation f/es gvodêsiques s'écrit immédiatement en exprimant que la normale principale à la courbe, dont nous avons donné les cosinus directeurs (n"" 418), coïncide avec la normale à la surface, dont les équations ont été écrites au n° 47i. On trouve ainsi

ce qu On peut écrire, en appelant p la valeur commune de ces rapports,

rf%r d^y d^z

Multiplicms les deux membres de ces équations respectivement par -.-) -t^" -,-» et ajoutons membre à membre ; il vient

dr d'^x , dy dhi . dz d^z . , , r». . i-. ,

-d-sd?-^ds-di + -ds^^ -:plArfx + B<£y + Cd.).

Le second membre est nul en vertu de l'équation de la surface, comme nous l'avons souvent observé (51), et le premier

parce qu'il est la demi-dérivée de(^j H"(;/t) + (x) '

qui a pour valeur Tunité. Les équations (G) se réduisent donc à une seule, si Ton tient compte de Téqualion de la surface, ce qui était a prévoir.

Il faut remarquer que les numérateurs des équations (G) sont écrits en supposant que Tare de la ligne géodésique est pris pour variable indépendante. On s'affranchira de cette restriction en écrivant de préférence

j cjx ^ ^ , dz ' ds ' ds ' ds ,,,

et maintenant la variable indépendante peut être prise arbitrairement.

Nous retrouverons bientôt IVquation des géodésiques sous une forme très symétrique et très condensée, comme application d'une méthode extrêmement féconde, qu*il nous reste à faire connaître.

5^^. La méthode que nous allons indiquer est due à Gauss, qui Ta fait connaître dans son célèbre Mémoire : DisquUitiones générales circa superficies curvas ; elle a été illustrée par les travaux de nombreux géomètres, parmi lesquels il nous suffira de citer Bonnet, Bour, Codazzi, Laguerre, Ribaucour et M. Darboux. Avec les indications qui suivent, le lecteur reconstituera aisément tous l(»s calculs.

Soient OZ, la normale à la surface, OX et OY les tangentes aux courbes v = C*° et ?/ = G**. Nous appellerons X, y, 5, les coordonnées d'un point M, par rapport à ce trièdre T, mobile. Si Ton donne aux variables indépendantes w et r des accroissements infiniment petits, le trièdre T devient un trièdre analogue T, d'origine 0'; M devient M', et nous appellerons les coordonnées de ce nouveau point, par rapport au trièdre T', x + dx, y H- dij, z -^ dz, et par rapport au trièdre T, x + flX, ly-^-cfï, s -f- rfZ. Les axes sont supposés rectangulaires, et, par suite (n° 477, form. 11 et 12), l'élément d'arc a pour expression

ds^ = A^du^ 4- CMy»,

ds^ = Edu^ + Gdv^.

Cela posé, le théorème des projections permet d'écrire

projection OM' = projection 00' + projection O'M',

FiG. 44.

et, si Ton remarque que la projection de CM' peut être remplacée par la somme des projections de ses projections sur O'X', C'Y' et O'Z', on établira, sans peine, les formules, qui ne sont vraies qu'au second ordre près,

«A = Adu -\- dœ -\' ^z — yy \

dY = Cdv + dy -\- '(X — OLZ J;

d7j = dz '\- tiy — pa? 5

a, p, V, désignent les cosinus infiniment petits définis par le tableau suivant

Ces cosinus infiniment petits sont de la forme

a = pdu -^ p^dv \

p = qdu + qidv |. (59)

Y = rdu -\- r^dv ]

En portant ces valeurs dans les formules ^58), et remarquant que

dx = T— du -f- T~ ^ï^î dy z=i . . . ,

on aura finalement des équations telles que

d\ = ^\du +Nrfi?, <n z= Wdu + N'rfr, rfZ = Wdu + Wdv.

Si le point M est fixe, les six coefficients de (ùt et de dv doivent être nuls, ce qui donne des équations de la forme

^^ = pz — rx, ^ = C+i>,3--r,;r ,.(60)

^^ = qx-py, y^=<ux-p,y

En exprimant que les deux valeurs de . tirées de ces

équations sont égales entre elles, ainsi que celles do 7~5"

cP-z et de , . ) et en observant que les conditions obtenues

doivent avoir lieu, quel que soit le point fixe M, on obtient enfin les équations de Codazzi, qui sont fondamentales dans

cette théorie

C c>»' '■' ~ A iu

Pit

Ag< + Cp = 0

M. Darboux, auquel on doit los notations symétriques dont nous venons de nous servir, a observé que les quantités p, q^ r, sont les composantes de la rotation que subit le trièdre T, lorsqu'on fait varier n seulement, que /},, ^j, r^, sont les rotations correspondant à la variation de r, et il a tiré de ce point de vue cinématique les plus heureuses conséquences, qui sont développées dans son traité déjà si souvent cito. Nous nous bornerons à deux exemples, pour faire comprendre la fécondité de la méthode.

o2'{. S'il existe sur oz un point j: = 0, y = o et 2 = p, qui se déplace tangentiellement à os, on aura pour ce point

f/X = o, d\ — o, ou

\dii + p {qdu -j- q^dv) z= o, Cdv — p [pdu -\- Pydv) = o.

L'iUimination de p conduira à l'équation différentielle des lignes de courbure

Apdir- + Cq^dv^ + {Cq + Ai)<) dudv = o,

et celle de ^ à Téqualion aux rayons de courbure principaux

524. Prenons maintenant un point M, dans le |)lan X0Y(5 = o); exprimons que son déplacement a lieu dans ce plan {dz = o). Le lieu des points qui jouissent de cette propriété, c'est-à-dire la caractéristique du plan tangent XOY, sera la tangente conjuguée de 00'; en exprimant que sa direction coïncide avec 00, on aura l'équation des lignes asymptotiqucs. On trouve ainsi pour la caractéristique

(prfî/ -j- Pidr) y — [qdu -[- <?<û?i') a? = o,

et pour Téquation des asymptotiqucs

([du -\- q^dv C(/r

luhi Ar y^dv» Kdxi

5I25. Revenons aux lignes géodésiques. Pour cela, appelons (I) Tangle que la tangente à la courbe 00' fait axec OX, et utilisons les formules de Frenet, ainsi que la représentation sphérique (n° il7). Le point représentatif de la tan- . gcntc aura pour coordonnées, si Ton prend des axes parallèles à OX, OY, OZ, menés par le centre de la sphère

cos(t), sinct), 0,

et son déplacement, auquel on peut appliquer les formules (58), dans lesquelles on n'a qu'à supprimer les termes kdu et G^/i% qui proviennent du déplacement de l'origine, sera parallèle à la normale principale de la courbe ; si la courbe est géodésique, on aura pour ce point

rfX = o et rfY = o,

c'est-à-dire

— sin 0) cf (O — (rdu -}- r^dv) sin to = o, cos(D diû + [rdu + r^dx>) coscd = o,

en tenant compte des équations (59); ces deux équations se réduisent à l'équation unique

dm + rdu '\- r^dv=. o^ (63)

534 CHAPITRE XÏX

qui est Féquation différenliclle des lignes géodésiques. Il

kdti . Cdv

n y a plus qu à y remplacer cos w par --j~» sm u) par -^-j

1 rfA et d'après les formules de Codazzi (61), r par — ç ^' r^ par

— -7-î pour avoir une équation oii n'entrent plus que les

coefficients de ds^.

On obtient ainsi Téquation, que nous écrirons avec les notations de Gauss (form. 10, n** 477),

2(EG - F^) [dudH ~ chd^u) ::= (e ^ -t- F ^ - 2E f ) rf««

+ (3Ff + G^;f^^2F^^2E^)rfu»rf.

' V Di? ' ou eu ou/

— ( 3F ^; — h K T~ — 21^ ^;^ 2G T- ) rfu c?p*

\ ou ov ov ovj

On peut signaler, par exemple, les lignes de longueur nulle (rf5^==o), comme vérifiant Téquation (63); mais ces lignes imaginaires n'ont pas d'intérêt ici.

Gomme deuxième application, supposons que u soit l'arc de géodésique qui fait en M, avecuue droite donnée, l'angle v ; les deux coordonnées d'un point quelconque de la surface seront Tare // et l'angle r, analogues à des coordonnées polaires, et Ton aura

ds" := du^ + 2Fc£wrfi? 4- GdvK

Mais, puisque v = C** est une géodésique, et que E = 1, l'équation (63') se réduit à

F ne dépend que de v, et comme ce coefficient est évidemment nul pour w = o, on a

Oa obtient donc la forme très remarquable qui suit ds^ = du} + Grft?^

Surfaces applicables

5âO, Nous avons vu (n* 477) que Télément d'arc d'une surface, sur laquelle est tracé un réseau [u, v), est donné par la formule

ds^ = Edu^ + ^IFdxidv -\-Gdv^, (64)

Si les coordonnées des points M et m de deux surfaces peuvent s'exprimer en fonction des mômes paramètres 2/ et v, de manière que les ds'^ des deux surfaces soient donnés par la formule unique (6i), les deux surfaces seront dites applicables Tune sur Tautre. Pour justifier cette définition, prenons sur la première surface trois points infiniment voisins M, M', M", et sur la deuxième surface les trois points m, m'y m\ qui correspondent respectivement aux mêmes valeurs de u et de t? ; les deux triangles MM'M* et mmm" pourront être amenés à coïncidence, puisque, en vertu de l'égalité des ds^y ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

527. Donnons immédiatement un exemple. La surface de vis à filet carré, dont l'axe est oz, a pour équations

07 = « COSÎ?,

y = Il sin t?, z = av,

a étant une constante. Son ds^ sera donc

ds^ = dx^ + dy^ 4- dz^ = dxi^ + (a> + w») dv^.

Considérons maintenant Valysséide ou caténoïde, c'est-àdire la surface engendrée par la révolution d'une chaînette

autour de sa base. Nous prondrons cette base pour axe des 5, et Taxe de la chaînette pour axe des x ; si r désigne la distance d'un point de la mi^ridienne à 05, IVquation de la méridienne sera dans son plan

i^our avoir les coordonnées d'un point de la surface, en fonction de deux paramètres r et v, il suffit d'adjoindre à Téquation précédente les équations

j- = r cos r, y = r sint?, On on tire

r^ — a^ et il suffit de poser

ri zz: «2 -f- u'-

pour que l'élément linéaire prenne la forme

c'est-à-dire la même forme que dans la surface de vis à filet carré. Donc la surface de vis à filet carré est applicable sur la caténoïde. Les courbes r = C'*' sont sur la première les génératrices rectilignes, sur la seconde les méridiens qui sont des chaînct!es; de même, les hélices de la première correspondent aux parallèles de la seconde.

Le théorème précédent est un cas particulier d'un théorème plus général, dû à Bour [Journal de F Ecole Polytechnique^ XXXIX' Cahier, p. 82) : Les hélicoïdes sont applicables sur des surfaces de révolution.

5d28. Signalons, en passant, une importante propriété de la caténoïde. On a vu (n* 491) que les rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont celui de la

méridienne el la longueur de la normale limitée à Taxe. Or il est facile de voir que, dans la chaînette, la normale, ainsi définie, est égale et de sens contraire au rayon de courbure, et nous démontrerons, dans le second volume, cette propriété caractéristique. Donc, dans la caténoïde, les deux rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. On appelle surfaces minima^ celles pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. La caténoïde est donc la seule surface minima de révolution,

529. Plusieurs remarques se présentent à propos de l'exemple qui vient d'être traité. On voit d'abord que le rfv^ de la caténoïde ne s'est pas présenté immédiatement sous la môme forme que celui de Thélicoïde, et qu'il a fallu effectuer un changement de variables ; ici le changement a été très simple. Mais il peut y avoir des cas où le changement h effectuer est plus compliqué et, malgré les nombreux travaux des géomètres sur l'application des surfaces, le problème général, qui est désigné sous le nom de déformation des surfaces, est loin d'être résolu. Nous donnerons plus loin (n^ 531) une condition nécessaire pour qu'une surface puisse être appliquée sur une autre, et nous traiterons en particulier le cas des surfaces applicables sur un plan, qui sont les surfaces développables. Nous devons faire observer que le problème de la déformation est soumis h toutes sortes de restrictions : le lecteur, que ces questions intéressent, consultera avec fruit les Leçons sur la Théorie des surfaces^ de M. Darboux (livre I, chap. vm et passim),

530. Quoi qu'il en soit, et quelques variées, en apparence, que soient les surfaces qui ont un même rfs^, il est bon de se rendre compte que ces surfaces sont au fond bien déterminées par le ds'^. En effet, si l'on donne

ds^ = Ec/u« + ^l¥dudv + Grfu*,

les trois équations

(r:)'+gy+©'=o-

définiront, à des fonctions arbitraires près, introduites par l'intégration, les trois inconnues x, y, z, en fonction de u et de V,

531. Démontrons maintenant le théorème fondamental de Gauss : Toutes les surfaces applicables sur une même surface ont même courbure totale. On appelle courbure totale d'une surface, en un point, le produit des inverses des deux rayons de courbure principaux.

En effet Téquation (62) donne pour la courbure totale (Notations de M. Darboux) :

1 Dp "bu

IIR' ~ AC

Or les formules de Godazzi (61) montrent que r et r, dépendent seulement des coefficients de l'élément linéaire. Donc toutes les surfaces, qui ont même rf.s-, ont bien même courbure totale.

Avec les notations de Gauss, si Ton pose

T.- 1 Dr Dw ^. 1 Dm Di?

' 2 Gv/EG — F« ' 2ev/EG— F»

la courbure totale est donnée par l'équation

l'angle a étant défini par l'équation (12).

Pour F = o, on retrouve, aux notations près, Téquation (65).

On peut encore signaler la forme remarquablement simple que prend Féquation (65), si Ton adopte pour coordonnées une famille de géodésiques et leurs trajectoires orthogonales (n** 525 m fine) : on a, en effet, dans ce cas, en écrivant C^ au lieu de C dans le ds^

Enfin, si les variables indépendantes sont les coordonnées X et y, et si Ton adopte les notations du n** 485, on obtient la courbure totale sous la forme d'un déterminant fonc-* tionnel

Soit

! D(LM) ri — s^

RR'~ ^[œ,y) - [i ^ p^ ^ q^y

Téquation de la surface; un calcul facile montre qu'on peut encore écrire