Considérons l'intégrale

,-/ ir+tf.-rtr,'!

dans laquelle / est mis pour /(p, y, x) el /"/ es partielle prise par rapport à p, et cherchons que p {x, y) il faut substituer à p pour que l'intégrale

830 CHAFITilK XVII

pendante da chemin d'intégration. Nous ayons vn {*") (Chap. 11^ n*^ 97 "t qu'en mettant cette intégrale sous la forme

. [(f-Pf^)dx-^r;dy]r

on a la condition (oj^ = 0) .

by c\r*

qui donne;? comme solution d*une équation aux dérivées partielles du premier ordre ; cette condition développée est

■ C/i'' + Pf^^ I + /^î S -*- ?/;•'/+ fPp'^-fy'= 0- (97)

Elle a, comme on va le voir, un lien des plus intimes avec réquation jiilTérentielle des extrémales

dfe'-A' = 0 (»8>

relative à l'intégrale Donnons en effet à y une variation Sy ; nous aurons

(*) Le calcul du Chap. II peut se résamer en disant que lar rariatioi» de* l'intégrale appelée I est nulle. *

CALCUL DBS ^AB

Si donc on a choisi pourp une s lea courbes iatégrales de l'équaliob

seront jgaleîaeat intégrales de (9 extrémales -du problème de variai dans ce cas, 8J, se réduit & SJ et ces i ' en même temps. Réciproquement .

un paramètre, de courbes extrém fornijer une équation du premier or

dont ces courbes soient les solul

obtenue sera une intégrale de l'équ

11 résulte de ce qui précède qu'en

d'une extrémale et par ^ fea dérivé

[f(p)^(^-p)rr'if

la première intégral^ est prise le lop et la seconde le long d'une extré sont égales puisque, par suite du ( dante du chemin d'intégration. Ai raison de l'intégrale analogue priât avec l'intégrale prise, le long-d'une voulons parler de la difTérence

dont le signe nous fixera sur la que maximum ou un miniraum. Celte d

CALCUL DBe VABU

de s pour une surface quelconque. Li de reconnaître si l'intégrale

est mazimam ou bien minimum seri

Cucn mranrftiHU