Omzièub bximplb. — ' Repr ■ehlet relatif au potentiel
NoQs avons cherché, page 400, 1' .grale triple
En supposant le champ d'intégri les valeurs de V et de ses premièn ■champ, oaa
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ou en intégrant par parties les'tn par rapport à x, à y et à z et, re intégrée? s'annulent aux limites du
Cette variation devant être nnlle i
C'est le théorème de Dirichlet. H mum existe, il est une solution d< Hais, ainsi que Weierstrass l'a fail
CALCUL DES VARUTIOI
De mémo le problème isopérîmétrique la manière suivante : connaissant les val satisfaire aux équations
àJ J d!/\ rfK
de manière que z, soit extremum.
600. D'une manière générale, nous ti suivant : connaissant les valeurs initiale des variables y, z, u qui satisfont aux éq
?i (x, tf, z. u. y", z', «') :
déterminer les fooctions y, z, u de m« finale inconnue soit un exlremum. Nous Va, z^, Ug, 3/p 2, ; u, devra ëlre extremum. que raccroissement de u^ conserve un sig que soient li^s variations arbitraires attril et z, c'est-à-dire, ainsi que nous l'avoi qu'on aura toujours la condition nécessaii
ÊM, = 0.
D'ailleurs, au lieu de donner y,, :« ..., ment supposer qu'il existe entre ces quai tions. Le lecteur traitera sans peine ce c formulées dans les sections précédentes. ] facilement ce qui va suivre au cas d'un pli variables. Nous ferons seulement obser actuel est plus général que ceux traités j exemple, il permettrait de trouver l'extrei
dx y/( .
Il surfirait d'écrire
pour, rentrer dans le type (94) .
Remarquons encore .que l'on podrrait éliminer une des fonctions, y par exempte, eatre les équations (94). Leproblème ne comporte donc au fond qu'une fonction arbitraire.
06I. Diftârenlions les équatîon8-(90) par rapport au signe S; nous obtenons ainsi les nouvelles équations
î'f» 8y +■— -»- ç'c»- sy + — = 0 I ïV» 2y Tt- ... -f- ift î/ + ... = 0 I
Multiplions ces équations par des indéterminées £, et £, ; ajoutons les et intégrons par rapport à x. Nous obtenons l'équation
«omme on a
ly-dx = [v3y]*|
réquatioQ (96) s'écrira
choisissons £, et £,de manièreà aonulerl parây.et par Sz, sous le signe /, il ei «n 8u devra être aussi nal, puisque le pr arbitraire ; on aura ainsi les conditions
qui, jointes aux équations (90), délermii La. partie tout intégrée devra être auss l'on observe que les valeurs initiales données, on aura identiquement
Sy, = Sî, = ÎM(, ^ 0
«t l'annulation de la partie intégrée doDii
Dans le cas actuel, y, et ?, sont données encore
et il en résulte
Sw, = 0 ;
la condition nécessaire pour qu'il y ait remplie. Les coDslaates introduites p équations (94) seront déterminées par lei
CA.LCDL DBS TARlATiOHB
Les coDBtaQtes b elx„ par exemple, seront ensu U((e3 par les conditions aux limites relatives & la fc
Elles sont faciles à écrire.
Indications sommaires permettant de c dansi certains cas le maximum ou le n
004. Le but que nous nous étions proposé est atteint ; les conditions nécessaires à l'existence di ou du miaimum sont établies, et le champ des est limité, l^es courbes ou surfaces extrémales d cherchées parmi les solutions d'équations que appris à former, au moins dans le cas où ces cou faces sont a priori supposées continues et analyt il restera au lecteur à vérîlier, dans chaque prob culier, s'il a eifectivoment un extrenium et mëmi blême comporte un extremum. Voici à cet égard c dicationsduesàM, Hilbert (Congrès des mathémati Compte rendu, p. 108).
