I.VTÉGBALES TBIPIES, INliCRALKS MULTIPLES

ce qu'on peut écrire aussi

>(p,9,(ji)p'8ine(/prf6rf<p.

Ces intégrales doDoent en particulier les volâmes si les fonctions f{x,y,s); fim,9, w) ou <p(?,a,7) se réduisent k t'asité.

355. Nous pouvons maintenant généraliser la notion à'iatt^grale et l'élendre à un nombre quelconque de variables ^,,x,, ... Tn- S)9pfosoas encore que ces vartables soient astremle» à vérifier eertaines inégalités

<ï.<fl;,<6„ a,<^,<fc,...,

les nombres a,, i,,a3,6, ... dépendant ou non des variables ffui précèdent celle qu'ils encadrent. Nous dirons que ces inégalités définissent un domaine. Afin d'abréger, nous emploierons encore le mot point du domaine pour désigner un système de valeurs simuftanées des variables j:,,x, ... x„. Le produit

où le signe d indique encore une didérentielle, constituera un élément Aa domaine.

Cela posé, ai /{x,,Xi.,. Xn) désigne une fonction continue des variables x, , ^9 . . . , la somme

S/|;ar„ar, ... x„) {x', — x,) {a/^ — a:,) ... {x'„ — x„), (6)

étendue k tous les points du domaine, tend, lorsque toutes les différences y, — x,, a/, — a;^ ... tendent vers zéro, vers une limite déterminée que noas représenterons soit par la notation

, 'S/\x„Xt, ... XnWx^.da:^ ... <h:„. (7)

soit par k notation

,. x„)dxi.{!Xf ... dx„, (8)

334 CHAPITRE YUI

soit encore par la suivante

dx^ ... dx^n (9)

Si la fonction /(xp x^ ...) n'est pas continue, la somme (6) pourra avoir, ou non» une limite déterminée ; ce sera une question à étudier dans chaque cas. Nous en verrons un exemple dans le chapitre suivant.

S56« Ces intéffrales peuvent étre^ comme les intégrales doubles, évaluées à F aide d'un certain nombre d^ intégrations simples. Supposons que toutes les variables, sauf x^, demeurent constantes, on aura, en faisant la somme des élémeob correspondants^

^*dx^ ••« dxn I fd^l\

Sif{x^,x^ ,*,)dx^,dx^ ... = cte.

faisons maintenant varier x^^ et faisons la somme. Il viendra

dx^ j fdx^.

Finalement, on aura

Sfdx^.dx^ ,,• dXn =

dxt

dx„^i ... / dx^ j fdxi.

Nous ne nous étendrons pas sur la démonstration, ni sur la possibilité d'intervertir Tordre des intégrations. Nous aurons d'ailleurs à revenir sur ce sujet dans le cas de trois variables.