CENTRES DE GRAVITÉ, MOMENTS D'INERTIE

Intégrales mtilUples

354. C'est encore d'une notion géométrique que no lerons découler la déGnïtîoD des intégrales triples, Soit u élément de volume en un point M dunt nous désignerons ! les coordonnées par u,v,iv; supposons qu'à chaque point soit attaché un coefficient, f{u,v,to), fonction des coordonna de H (la masse, par exemple, dans un corps hétérogène).

La somme

étendue k tous les points d'un volume déterminé aura, gûai!ral, une limite bien définie Ionique l'élément m tend vi zéro. Ce sera une inlégrele triple, dont la valeur sera inc pendante du système de coordonnées choisi.

Par exemple, si le point est rapporté h un trièdre trir langle et si ses coordonnées sont x,y,z, on pourra prent pour élément de volume un parallélépipède élémentaire

o> =: dx.dy,dz,

et l'intégrale s'écrira

'èf\x,y,s)dxdydz. (2

OU encore

f\OC,y, z)dœd\jdz.

Si le point M est déiîni par ses coordonnées polaires (distance au pôle p, longitude o, colatitude 6), on pourra prendre cbmme volume élémentaire le solide, assimilable à un parallélépipède rectangle, qui est compris entre deux sphères concentriques de rayons p et p + cZp, deux plans (mériiii^&â) passant par un diamètre de la sphère, et deux cônes de

FiG. 34

révolution d'angles 0 et 6 h- c^e, ayant pour axe commun 1« diamètre précédent et pour sommet le centre des sphères. On aura alors

w==AB.AC.AD

ou

(A) = c/p.p sin ddo.pdOy

et pour rintégrale triple

S©; p,6,cp)p* sin M^dMo