OU

• itM,

soit enfin J, le déterminant obtenu en supprimant dans

dernière ligne et la dernière colonne.

Nous avona vu (n™ 196 et 197) que, dans le cas de <

variables, l'élément dxdy doit être, après la transforma remplacé par | J | dudv. Le résultat est idei^tique dans li de n variables ; puisqu'il est établi pour deax variable sutfit de prouver qu'en l'admettant pour n — 1 variables i encore exact pour n. L'hypothèse est donc que, dans la s titution de U|,u,...Ua, & x,,a;^...Xn^^, on remplace, soi signe d'intégration, l'élément du domaine dXf.dx^ ... d par ] J I dUtdUfdUn-t. L'intégrale

S/(a:,,a!, ... dtx^dXy.dx^ ... rfi-.

336 CHAPITRB VIIl

peut s'écrire

en n'écrivant pas les limites, pour abréger/

Dans la première intégration a?, ,a?j ... Xn^i restent constantes.

Remplaçons Xn par W;„ et par conséquent dxn par —^ du„ ; —

se tirera des équations (il) dans lesquelles il faut supposer ^i,a?2 ...a7„«j constantes. Eu prenant les dérivées par rapport à tint on trouve

on en tire, par élimination de ^ ... """' , L'intégrale multiple devient ainsi

/dx^ . . . da?n - i / A?i>?2 • *• ?») j" ^^«* , , '-^

11 faut maintenant laisser u„ constante et faire varier les autres variables ; mais ces antres variables peuvent èlre remplacées par Wj,Wa ...1^-1, et, par hypothèse, on sait f»ire cette substitution : il faut rem[dacer

par

J^diixdu^ . . . dun » j

1NTÂGRAI.BS TRIPLES, OTTiGRALES MULTIPLES

L'intégrale multiple sera ainsi de/enue

f{o„<fj ... 0„) j-. J,(^lf,rf(/^ ... t(u

ce qui démontre le théorème.

En particulier, dans le passage des coordonnée siennes aux coordonnées polaires par les formules

X ^= p Bill 0 cos o, y ^= ? sin 6 sin d, 3 ^ p cos

•on aura

*- r^.: BÎn 6 cos

sin

S=pc..si„„

S-, in

Oco

-et par suite

J =p*sin 0;

c'est la confirmation du résultat trouvé par des consii géométriques au n" 25t.

Pour que la démonstration qui vient d'être dooi vienne, J, ne doit pas s'annuler ; mais en suivant ' ordre pour U substitution des nouvelles variai anciennes, on introduirait d'autres mineurs que J,. et il y aura toujours un au moins de ces mineurs non seule hypothèse à faire est donc J ^ 0.

BTT

33S CHAPITRE VIll

Intég^rale de Dirleblet

258* Le problème à résoudre consiste dans Tévaluaiion de riatégrale

-J '//-"- 'i'"- '-'- '^[(f)" - {ïf - {lj]<^^<^y"'- 1 "

pour toutes les valeurs positives de cc^j/^z satisfaisant à rincgalité

Nous ferons un premier changenient de variables

{îï =--''- (ï) =y" (?)'=^'-

On trouve facilement

Ir-M

/ / / .>V^»~Vi^*"^'«'i'^*~V(^i+!/, + ^,HV.Vt^^-^ (*ÎJ.

en posant

de plus, la condition (14) devient

•^i -^ yi "^ ^1 < * 16

et les variables Xi, yi, sr, sont toujours positives.